安徽省芜湖市师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）

A B.
C. D.
3. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）
A. 点和点关于轴对称B. 点和点关于轴对称
C 点和点关于轴对称D. 点和点关于原点中心对称
4. 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. 或
B.
C.
D. 或
5. 已知点，，，则外接圆的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A 直线始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或D. 当时，不过第四象限
10. 点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 两个圆的公切线有2条
B. 的取值范围为
C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B. 点到平面的距离为
C. 点到所在直线的距离为2
D. 若线段的中点为，则一定平行于平面
12. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 点在曲线上
B. 面积的最大值为1
C. 点在椭圆上，若，则点也在曲线上
D. 的最大值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．
14. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________.
15. 加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______.
16. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的斜率.
18. 已知圆的方程为.
（1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
（2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
21. 如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.

（1）证明：平面；
（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
22. 知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值.