九年级上学期第二次月考数学试题 (30)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (30)，共18页。
【命题范围：第21至23章】
（全卷三个大题，共24个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）
1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称和中心对称的概念；判断一个图形是不是轴对称的关键是找到对称轴，对称轴两旁能够互相重合，判断一个图形是不是中心对称的关键是找到对称中心，旋转能够与自身重合．
2. 将抛物线向右移动1个单位，再向下移动7个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图像的平移．熟练掌握在平面直角坐标系中函数图像平移的规律是解答此题的关键．
根据在平面直角坐标系中函数图像平移的规律：左加右减，上加下减；即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
∴．
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. 1C. 7D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出的值，然后代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键．
4. 如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，，，推出，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于正半轴，由此即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于正半轴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 0B. C. 4D. 0或4
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程的根的定义将代入，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由一元二次方程的定义可得，则，
将代入，得
，
即，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
6. 若一元二次方程的一个根为1，则（ ）
A. a+b+c＝0B. a﹣b+c＝0C. ﹣a﹣b+c＝0D. ﹣a+b+c＝0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入方程中即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴把代入方程得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
7. 已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）
A. 8B. C. 21D.
【答案】B
【解析】
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，由矩形的长和宽是方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由勾股定理及完全平方公式的变形即可求得矩形的对角线的长．
【详解】设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽是方程的两个实数根，
∴，
∴矩形的对角线长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、矩形的性质及完全平方公式的变形，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
8. 用配方法解方程时，配方后得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法的解法步骤解答即可．
【详解】解：移项，得，
配方，得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟知配方法的解法步骤是解答的关键．
9. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根的判别式大于或等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
10. 某种药品的原来价格是每盒220元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都为，且第二次降价后每盒价格为168元，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：若每次降价的百分率都为x，则可列方程，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，点向右平移5个单位长度得到点，点绕原点逆时针旋转得到点，则点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据平移的性质可得点的坐标为，从而可得，，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用平角定义可得，进而利用同角的余角相等可得，最后证明≌△，从而利用全等三角形的性质可得，，即可解答．
【详解】如图：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
由平移得：点的坐标为，
，，
由旋转得：
，，
，
，
≌△，
，，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，平移，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12. 如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，是对称轴，有下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则当时，，则可对②进行判断；利用，则可对③进行判断；根据，当时可得，将代入函数即可对④进行判断．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
即，所以②正确；
由图形可知，当时，，
即，所以③正确；
∵，抛物线与x轴的一个交点坐标为
∴，
当时，，所以④正确；
所以正确的结论有个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据以及对称轴为求出二次函数还经过点是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 设、是方程的两个根，且，则m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【详解】、是方程的两个根，
，，
又，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
14. 代数式的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，然后利用完全平方式的非负性分析其最值．
【详解】解：
∵
∴
∴代数式的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．
15. 抛物线与轴有________个交点．
【答案】2
【解析】
【分析】令，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解．
【详解】解：令，得，
则
方程有两个不相等的实数根，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式等知识点的理解和掌握，能根据根与系数的关系进行判断是解此题的关键．
16. 已知二次函数开口向上，且，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次函数开口朝上，得到，然后化简，即可求得a的值．
【详解】∵二次函数开口向上，
∴，
∵
∴或
∴或
又∵
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判断a的正负．
17. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为______秒．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
当汽车停下来时，最大，故将写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求．
【详解】解：∵，
∴当秒时，S取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：2．
18. 如图，在中，，，是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，得出是等边三角形．则，则可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴．
∵是由绕点顺时针旋转角度得到的，
∴．
∴是等边三角形．
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分46分）
19. 解下列一元二次方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）移项后再利用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
分解因式得：，
或
解得：，．
【小问2详解】
移项得：，
分解因式得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20. 已知二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
（3）判断点是否在该二次函数图象上．
【答案】（1）
（2）顶点坐标，对称轴：
（3）点不在该二次函数的图象上
【解析】
【分析】（1）将点，代入二次函数求解即可；
（2）将二次函数转化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）将代入二次函数表达式判断即可．
【小问1详解】
解：将，代入得
解得：，
所以二次函数解析式为；
【小问2详解】
由
∴顶点坐标，对称轴为：．
【小问3详解】
当时
所以点不在该二次函数的图象上．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）直接写出点关于轴对称的点的坐标：________；
（2）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
（3）画出绕原点逆时针旋转后得到的．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于y对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此可得答案；
（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，进而首尾顺次连接即可；
（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
【小问1详解】
解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵平移后点的对应点的坐标为，
∴将向右平移3个单位、再向上平移1个单位，可得到，
如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查基本作图—平移变换、旋转变换、对称变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22. 新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次
（1）若本班人数为20，则共通话________次，若本班人数为（，且为正整数），则共通话________次；
（2）若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
（3）王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点、），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【答案】（1）190，
（2）50人 （3）
【解析】
【分析】（1）利用通话总次数本班人数（本班人数），即可得出结论；
（2）根据同学们共通话1225次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）利用线段的总数点的个数（点的个数），即可用含m的代数式表示出线段的总数．
【小问1详解】
解：根据题意得：若本班人数为20，则共通话次，
若本班人数为，则共通话；
故答案为：190，
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该班同学的人数为50人．
【小问3详解】
解：线段上共有个点（包含端点、），则相当于通话人数为，
所以线段总数为（条）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出通话总数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出线段总数．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根？
（2）在等腰三角形中，，若、为方程的两个实数根，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出判别式的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：当为腰时，则或有一条边为腰，
的解为3，
∴，
解得：，
当为底时，则，为腰，
方程有两个相等的实数根，
由（1）得无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
24. 某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x之间的函数表达式为．
（2）该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
（3）当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，再在表中任选两组数据代入计算出k和b的值即可．
（2）依题意列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可．
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【小问1详解】
设y与x之间的函数表达式为，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为．
【小问2详解】
由题意得：，
解得．
答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
【小问3详解】
设当天销售利润为w元，则：
，
，
∵，
∴当时，．
答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40