九年级上学期第二次月考数学试题 (2)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (2)，共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一 选择题（每题3分，共30分）
1. 下列选项是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、化简为，是一元一次方程，故不符合题意；
B、不是方程，故不符合题意；
C、，是一元二次方程，故符合题意；
D、不是整式方程，故不符合题意；
故选：C．
2. 一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（ ）
A. 2，1，B. ，1，C. 1，，8D. 8，1，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，，
故选：B．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
方程常数项移动右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：方程，
移项得：，
两边同时加4，得：，即．
故选：C．
4. 若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键．
利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到，及值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．
【详解】解：∵
∴
∴，，，
解得：，，，
∵，，
∴
∴是直角三角形．
故选：D．
5. 若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A. B. C. 7.5D. -1.8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
．
故选：A．
6. 某宿舍学生在春节都将自己的贺卡送给其他同学作为纪念，一共送出90张贺卡，问宿舍有（ ）人
A. 9B. 11C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用，设宿舍有人，则每位同学需要送出张贺卡，共需送出张贺卡，根据“一共送出90张贺卡”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设宿舍有人，则每位同学需要送出张贺卡，共需送出张贺卡，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
宿舍有人，
故选：C．
7. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设宽为，将剩下的试验田面积可以平移成长方形，且能表示出长和宽，结合试验田面积为列出方程即可．
【详解】解：设宽为，
由题意得：，
故选：C．
8. 已知，点，，都在的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，从而得出当时，随的增大而减小，结合得出，即可得解．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
，
，
故选：C．
9. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题一次函数与二次函数的图象问题，先由二次函数图象得出抛物线开口向上，，，从而得出一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，故B错误，不符合题意；
的图象交于轴负半轴，
，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故C正确，符合题意；
故选：C．
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，⑤其中说法不正确的是（ ）
A. ①④⑤B. ②③⑤C. ③④⑤D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质，二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点关于抛物线对称轴对称．
由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得到，所以，从而可对①进行判断；利用可对②进行判断；由于在对称轴右侧随的增大而增大，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，所以当时，，则，从而可对③进行判断；根据抛物线线开口向上，利用比较点，到对称轴的距离大小，距离越大，值越大得出、大小，从而可对④进行判断；由于时，，所以，把代入得到，从而可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
即，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，所以①正确；
，即，，
，
∴，所以②错误；
抛物线对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，当时，y随x增大而增大，
当时，即，所以③错误；
抛物线的的开口向上，抛物线的对称轴是直线，
∴点、到对称轴的距离为1.5、1.4，
∵，
，所以④错误；
时，，
，
，
，
即，所以⑤正确．
综上，正确的有①⑤，不正确的有②③④，
故选：D．
二，填空题（每题3分，共15分）
11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，先由题意得出，再将变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
，
，
故答案为：．
12. 代数式的最值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用、偶次方的性质，先将原式配方得出，结合，即可得出答案，正确配方是解此题的关键．
【详解】解：
，
，
当时，有最大值，为，
故答案为：．
13. 抛物线经过向上平移个单位，向右平移个单位变成，则抛物线的对称轴是________．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的几何变换，根据平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．
【详解】由向上平移个单位，向右平移个单位所得．
由向下平移个单位，向左平移个单位所得．
向下平移个单位得
再向左平移个单位可得
即便是抛物线的顶点式．
对称轴为：
故答案为：．
14. 二次函数在范围内，函数值的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，故当时，抛物线有最小值为，分别求出当时，当时的函数值，即可得出答案．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，抛物线有最小值为，
当时，，
当时，，
函数值的取值范围是，
故答案为：．
15. 抛物线经过点（，，并且当时，，则a的取值范围是______________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到是解题的关键．
把点、代入可求得，根据题意得到，即可求得；当时，，即可求得．
详解】解：抛物线经过点、，
，
①②得，，
，
在抛物线中，当满足时，则，
当
，
，
，
当时，
．
故答案为：或．
三 解答题（16-23共8题，75分）
16. 用要求的方法解方程
（1）（直接开平方法）；
（2）（因式分解法）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解此题的关键．
（1）利用直接开平方法计算即可得出答案；
（2）利用因式分解法计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
17. 判断关于的方程的根的情况．
【答案】当或或时，方程有一个实数根；当且或时，方程有两个实数根；当时，方程没有实数根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．分两种情况：当，即时；当，即时；分别讨论即可得出答案．
【详解】解：当，即时，原方程为，
解得：，此时方程有一个根，
当，即时，原方程变形为，
故，
当，即且或时，方程有两个实数根，
当，即或时，方程有一个实数根，
当，即时，方程没有实数根，
综上所述，当或或时，方程有一个实数根；当且或时，方程有两个实数根；当时，方程没有实数根．
18. 设方程的两根为，不解方程，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
（1）根据题意得：，，将原式变形为，代入计算即可得出答案；
（2）根据题意得：，，将原式变形为，代入计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
．
19. 某经销店为工厂代销一批建筑材料，当每吨售价为260元时，月销量45吨．该店为了提高利润，采取降价策略促销，当每吨售价下降10元，月销量增加7.5吨．每销售一吨建筑材料共需支付厂家和房租水电税收工资共100元．
（1）当每吨售价240元时，计算此时的月销量；
（2）在遵循薄利多销的基础上，问每吨建材售价是多少时，该店的月利润为9000元．
【答案】（1）此时的月销量为吨
（2）每吨建材售价是元时，该店的月利润为9000元
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据“当每吨售价下降10元，月销量增加7.5吨”，列式计算即可得出答案；
（2）设每吨建材售价是元时，该店的月利润为9000元，根据总利润每吨利润吨数列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：当每吨售价240元时，此时的月销量为：（吨），
此时的月销量为吨；
【小问2详解】
解：设每吨建材售价是元时，该店的月利润为9000元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
在遵循薄利多销的基础上，
，
每吨建材售价是元时，该店的月利润为9000元．
20. 一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是时，水面距离拱顶高度是．当水面下降后，水面宽度比之前多多少？结合上图已建立的坐标系，解决实际问题
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，解题时要建立合适的坐标系，学会用待定系数法求出方程的解析式．
先建立直角坐标系，设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式，由题意水面下降后，将值代入解析式，求解即可得到水面下降后，水面宽度，从而可求解．
【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系，设水面下降前与y轴交于点C，抛物线与水面交于点B，水面下降后，抛物线与水面交于点C、D，

根据题意，得， ，
当水面下降后，则C、D的纵坐标为，
设抛物线的函数关系式为：，
把代入，得，
解得：，
∴
把代入，得，
解得：，，
∴，，
∴水面下降后，水面宽度为，
∴水面下降后，水面宽度比之前多了．
21. 二次函数 过，，求出二次函数的解析式，指出该函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，当x取多少时，最值是多少？
【答案】该函数图像的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最大值，最大值为
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质；用待定系数法求出抛物线的解析式是解决问题的关键．
用待定系数法求出函数解析式，再化成顶点式，由抛物线的解析式即可得出开口方向、对称轴以及顶点坐标，函数增减性和最值．
【详解】解：把，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴该函数图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，函数有最大值，最大值为．
22. 如图，已知直线经过横轴上的点，纵轴上的点．点的横坐标是，，直线与二次函数的图象在第三象限交于点，若的面积是4．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意结合图形得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据的面积是4得出，再利用待定系数法求解即可；
（3）联立，得出，再根据计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：点的横坐标是，
，，
，
，
，
设一次函数解析式，
将，代入解析式得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：点的横坐标是，
，
的面积是4
,
，
点位于第三象限，
，
中，令，则，解得，
，
将代入得：，
解得：，
二次函数解析式为；
【小问3详解】
解：联立，
解得：，，
，
．
23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动，动点从点开始沿边向以的速度移动．已知分别从同时出发，求的面积与出发时间的函数表达式和的取值范围，并求出在什么位置时，的面积为最大，最大值是多少？
【答案】，点为的中点时，的面积为最大，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用—面积问题，由题意得：，，根据即可得出表达式，结合，得出，再由二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键，注意单位的换算．
【详解】解：，
由题意得：，，
，
，，
，
解得：，
故，
当时，此时，即此时点为的中点时，的面积为最大，最大值为