2025年中考数学一轮复习讲练测课件第30讲 投影与视图（含解析）

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投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长. 2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 图1 图2【小技巧】1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： ，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等. 4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等） 中心投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　　　　　　　　　　图3 图4 【小技巧】1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.正投影的分类：1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.　　　　　　　　　　　①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
 3）立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.投影的判断方法：1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（　　）A．白天旗杆的影子B．阳光下广告牌的影子C．灯光下演员的影子D．中午小明跑步的影子
【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（    ）
三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系：1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.由三视图确定几何体的方法：1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
题型01 判断简单几何体三视图
题型02 判断简单组合体三视图
题型03 判断非实心几何体三视图
【例3】（2022·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（    ）
题型04 画简单几何体的三视图
题型05 画简单组合体的三视图
【例5】（2021·河北·模拟预测）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（    ）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
题型06 由三视图还原几何体
【例6】（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱
题型07 已知三视图求边长
题型08 已知三视图求侧面积或表面积
【例8】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（　　）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【变式8-1】（2021·宁夏吴忠·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
题型09 求小立方块堆砌图形的表面积
【例9】（2020·江苏南京·统考一模）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ．
【详解】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．
题型10 已知三视图求体积
题型11 求几何体视图的面积
题型12 由三视图，判断小立方体的个数
【例12】（2022·江苏南通·统考二模）如图是由n个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n的值为（    ）．A．4B．5C．6D．7
【详解】解：根据主视图及左视图得出该几何体共有2行3列2层，再结合其俯视图可得几何体底层有4个小正方体，第2层有1个，共计有5个小正方体．故选：B．