2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 矩形存在问题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 矩形存在问题（含答案），共21页。试卷主要包含了当y0＝﹣1时，求m的值等内容，欢迎下载使用。
已知抛物线y＝x2﹣2mx＋2m＋1．
(1)写出抛物线y＝x2﹣2mx＋2m＋1的顶点坐标(用含m的式子表示)．
(2)当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
(3)当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx＋2m＋1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
(4)当m＞0时，分别过点A(2，1)、B(2，4)作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象(包括边界)的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
如图；已知抛物线y＝ax2＋3x＋c与直线y＝x＋1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．
(1)求a，c，n的值；
(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD＋CD的最小值．
已知二次函数y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
(1)当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m＋5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D(A与D不重合)，与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
(1)当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
(2)求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m＋5恒有两个交点．
(3)当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(4)当抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点B到x轴距离的eq \f(1,2)时，直接写出m的取值范围．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c(c≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)点C的纵坐标为 (用含b的式子表示)，∠OBC＝ 度；
(2)当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为(3，2)．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．
(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵y＝x2﹣2mx＋2m＋1＝(x﹣m)2﹣m2＋2m＋1，
∴顶点坐标为(m，﹣m2＋2m＋1)；
(2)∵抛物线开口向上，
∴m≤1时，y随x的增大而增大，
故答案为：m≤1；
(3)当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，
∴y0＝2＋4m，
∵y0＝﹣1，
∴2＋4m＝﹣1，解得m＝﹣eq \f(3,4) (舍)；
当m＞2时，x＝2，函数有最小值，
∴y0＝5﹣2m，
∵y0＝﹣1，
∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；
当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，
∴y0＝﹣m2＋2m＋1，
∵y0＝﹣1，
∴﹣m2＋2m＋1＝﹣1，解得m＝eq \r(3)＋1(舍)或m＝﹣eq \r(3)＋1；
综上所述：m的值为3或﹣eq \r(3)＋1；
(4)当0＜m≤eq \f(1,2)时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；
当eq \f(1,2)＜m≤1时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4﹣2m＋1，
解得m＝eq \r(2)＋2(舍)或m＝﹣eq \r(2)＋2；
当1＜m≤eq \f(3,2)时，﹣m2＋2m＋1＋2＝2m＋1，解得m＝eq \r(2)或m＝﹣eq \r(2)(舍)；
当eq \f(3,2)＜m≤2时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；
当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，
∴3≠4，∴此时不符合题意；
综上所述：m的值为eq \r(2)或2﹣eq \r(2)．
解：(1)对直线y＝x＋1，当x＝3时，n＝4，当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A(﹣1，0)，B(3，4)，
将点A和点B的坐标代入抛物线y＝ax2＋3x＋c，得
，解得：．
(2)①∵a＝﹣1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(25,4)，
∴P的坐标为(m，﹣m2＋3m＋4)，顶点坐标为(eq \f(3,2),eq \f(25,4))，
∴点D的坐标为(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，
∵直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，
∴C(m＋5，m＋6)，
∵抛物线的顶点在矩形PDCE内部，
∴，
解得：eq \f(1,4)＜m＜eq \f(3,2)，∴m的取值范围为eq \f(1,4)＜m＜eq \f(3,2)．
②∵P的坐标为(m，﹣m2＋3m＋4)，
点D的坐标为(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，C(m＋5，m＋6)，
∴PD＝5，CD＝m＋6﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m2﹣2m＋2，
∴PD＋CD＝m2﹣2m＋2＋5＝(m﹣1)2＋6，
∴当m＝1时，PD＋CD的最小值为6．
解：(1)①当n＝2时，y＝﹣eq \f(1,2)x2＋2x﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)2＋1，
∴顶点为(2，1)；
②∵﹣1≤x≤3，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值﹣3.5，
当x＝2时，函数有最大值1，
∴﹣3.5≤y≤1；
(2)∵y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3＝﹣eq \f(1,2)(x﹣n)2＋2n﹣3，
∴顶点为(n，2n﹣3)，
∵点A的横坐标为n﹣1，
∴A(n﹣1，2n﹣3.5)，
∵点B的横坐标为2n﹣2，
∴B(2n﹣2，eq \f(1,2)n2＋4n﹣5)，
∵AD⊥y轴，
∴D(0，2n﹣3.5)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝(eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)n)x＋eq \f(1,2)n2﹣2，
∴C(0，eq \f(1,2)n2﹣2)，
∵以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，
∴E(n﹣1，eq \f(1,2)n2﹣2)，
当n﹣1＞0时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；
当n﹣1＜0，即n＜1，顶点在CD边上时，n＝0；
(3)如图1，当2n﹣2≥n，即n≥2时，
2n﹣eq \f(7,2)≥eq \f(1,2)n2＋4n﹣5，解得n≥3或n≤1，
∴当n≥3时，3n﹣4﹣2n＋eq \f(7,2)≥3，3n﹣4﹣2n＋3＜3时，
解得eq \f(7,2)≤n＜4时，图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3；
如图2，当n﹣1＞2n﹣2时，即n＜1，
2n﹣eq \f(7,2)﹣3n＋4≥3，3n﹣4﹣(eq \f(1,2)n2＋4n﹣5)≥3，解得n≤﹣eq \f(5,2)；
综上所述：eq \f(7,2)≤n＜4或n≤﹣eq \f(5,2)时，图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3．
解：(1)观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标关于原点O对称．
(2)∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，
∴点A的坐标为(1，1)，
∴点B的坐标为(﹣1，﹣1)；
当y＝0时，﹣x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
∴点M的坐标为(2，0)，
∴点N的坐标为(﹣2，0).
将B(﹣1，﹣1)，N(﹣2，0)代入y＝a2x2＋b2x中，
得：，解得：，
∴对称抛物线C2的解析式为y＝x2＋2x．
(3)∵MN＝4，
∴OM＝eq \f(1,2)MN＝eq \f(1,2)×4＝2，
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝1，点M的坐标为(2，0)，
∴点N的坐标为(﹣2，0)．
设点A的坐标为(1，m)，则AM2＝(1﹣2)2＋m2，AN2＝[1﹣(﹣2)]2＋m2．
∵四边形ANBM是矩形，
∴△AMN为直角三角形，
∴AM2＋AN2＝MN2，
即(1﹣2)2＋m2＋[1﹣(﹣2)]2＋m2＝42，解得：m1＝eq \r(3)，m2＝﹣eq \r(3)，
∴点A的坐标为(1，eq \r(3))或(1，﹣eq \r(3))．
当点A的坐标为(1，eq \r(3))时，将A(1，eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x；
当点A的坐标为(1，﹣eq \r(3))时，将A(1，﹣eq \r(3))，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x；
∵点A，B关于原点O对称，
∴点B的坐标为(﹣1，﹣eq \r(3))或(﹣1，eq \r(3))，
同理，可得出对称抛物线C2的解析式为y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x或y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为y＝﹣eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x，y＝eq \r(3)x2＋2eq \r(3)x
或y＝eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x，y＝﹣eq \r(3)x2﹣2eq \r(3)x．
解：(1)把(0，﹣1)和(2，7)代入y＝x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2＋2x﹣1，
∵y＝x2＋2x﹣1＝(x＋1)2﹣2，
∴顶点C的坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)①当x＝﹣1﹣2m时，y＝(﹣1﹣2m＋1)2﹣2＝4m2﹣2，
∴B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，
则AC＝BC，
又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，
∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，
∴A(2m﹣1，4m2﹣2)，
∵点A的横坐标为m，
∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，
∴A(1，2)，B(﹣3，2)，
∵由(1)得，C(﹣1，﹣2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]＝8；
②∵A(m，(m＋1)2﹣2)，B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣eq \f(1,3)时，
则h＝(m＋1)2﹣2﹣(﹣2)＝(m＋1)2；
当点B是最高点，即﹣eq \f(1,3)＜m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣(﹣2)＝4m2，
综上，h与m之间的函数关系式为：h＝(m＋1)2(m＞1或m＜﹣eq \f(1,3))或 h＝4m2(﹣eq \f(1,3)＜m＜1)；
(3)①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；
②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
⑤当3≤m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；
⑥当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点)；
⑦当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点．
综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．
解：(1)当x＝2时，y＝﹣eq \f(3,2)．
∴点B的坐标为(2，﹣eq \f(3,2))，
当y＝0时，eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3．
∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，
∴点A的坐标为(3，0)．
由题意，得，解得，
∴直线AB对应的函数关系式为y＝eq \f(3,2)x﹣eq \f(9,2)．
(2)当点P与点A重合时，m＋1＝3．解得m＝2．
∴2m＝4．
∵点D的纵坐标为1．
∴点E的坐标为(4，1)．
(3)将y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)配方，得y＝eq \f(1,2)(x﹣1)2﹣2．
∴抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)．
由题意，得点E的坐标为(2m,eq \f(1,2)m2﹣1)．
∵点E在该抛物线上，
∴．解得，．
当2m＜1时，即meq \f(1,2)，顶点(1，﹣2)在EF的左边．
∵，
∴抛物线的顶点到EF的距离为．
综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或．
(4)当点F(2m，eq \f(3,2)m﹣3)在抛物线上时，eq \f(3,2)m﹣3＝2m2﹣2m﹣eq \f(3,2)，解得m＝eq \f(3,4)或1，
当E在抛物线上时，m＝，当点P与A重合时，m＝2，
观察图1，图2，图3可知，当或或
m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．
也可以写成：当或m≠1或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．
解：(1)由题意得：M(0，﹣m)，A(0，m＋5)，D(0，﹣2m)，
当m＋5＞﹣2m，即m＞﹣eq \f(5,3)时，
∵点M在线段AD上，
∴﹣2m＜﹣m＜m＋5，
∴m＞0；
当m＋5＜﹣2m，即m＜﹣eq \f(5,3)时，
∵点M在线段AD上，
∴m＋5＜﹣m＜﹣2m，
∴m＜﹣eq \f(5,2)；
综上所述，m的取值范围为m＞0或m＜﹣eq \f(5,2)．
(2)证明：当x2﹣2mx﹣m＝m＋5时，
整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，
Δ＝(﹣2m)2﹣4×1×(﹣2m﹣5)＝4(m＋1)2＋16，
∵4(m＋1)2≥0，
∴4(m＋1)2＋16＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m＋5恒有两个交点．
(3)解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝(x﹣m)2﹣m2﹣m，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，﹣m2﹣m)，开口向上，与y轴的交点M(0，﹣m)，
①当m＋5＜﹣2m，即m＜﹣eq \f(5,3)时，如图1，
此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；
②当m＋5＞﹣2m，即﹣eq \f(5,3)＜m≤0时，如图2，
此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；
③当m＞0时，如图3，
令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，
当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部(不包括边界)的函数值y随着x的增大而减小；
综上，m的取值范围为m＜﹣eq \f(5,3)或﹣eq \f(5,3)＜m≤0或m≥．
(4)解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B(4，m＋5)到x轴的距离为|m＋5|，当x＝4时，y＝16﹣9m，
∵抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点B到x轴距离的eq \f(1,2)，
∴抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标为eq \f(1,2)|m＋5|，
①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的坐标为(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2)，﹣2m)，
∴﹣2m＝(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))2﹣2m(﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣eq \f(17,5)±eq \f(2,5)eq \r(41)，
∵m＜﹣5，∴m＝﹣eq \f(17,5)﹣eq \f(2,5)eq \r(41)；
②当﹣5≤m＜﹣eq \f(5,3)时，抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的坐标为(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2)，﹣2m)，
∴﹣2m＝(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))2﹣2m(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣1±eq \f(\r(21),3)，
∵﹣5≤m＜﹣eq \f(5,3)，∴m＝﹣1﹣eq \f(\r(21),3)；
③当m＞﹣eq \f(5,3)，且16﹣9m≥m＋5，即﹣eq \f(5,3)＜m≤eq \f(11,10)时，
抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的坐标为(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2)，m＋5)，
∴m＋5＝(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))2﹣2m(eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2))﹣m，解得：m＝﹣3±eq \f(4\r(6),3)，
∵﹣eq \f(5,3)＜m≤eq \f(11,10)，∴m＝﹣3＋eq \f(4\r(6),3)；
综上所述，m的值为﹣eq \f(17,5)﹣eq \f(2,5)eq \r(41)或﹣1﹣eq \f(\r(21),3)或﹣3＋eq \f(4\r(6),3)．
解：(1)将(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得0＝﹣1﹣b＋c，解得c＝b＋1，
∴y＝﹣x2＋bx＋b＋1，
设点B坐标为(x2，0)，
则抛物线对称轴为直线x＝，解得x2＝b＋1，
∴点B坐标为(b＋1，0)，
∴OC＝OB＝b＋1，
∴∠OBC＝45°，
故答案为：b＋1，45．
(2)当b＝1时，y＝﹣x2＋x＋2，
作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
将B(2，0)，(0，2)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋2．
设点P坐标为(m，﹣m2＋m＋2)，则点E坐标为(m，﹣m＋2)，
∴PE＝﹣m2＋2m，
∵S△BCP＝S△CEP＋S△BEP＝eq \f(1,2)PExP＋eq \f(1,2)PE(xB﹣xP)＝eq \f(1,2)PExB＝﹣m2＋2m＝﹣(m﹣1)2＋1，
∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为(1，2)．
(3)①∵y＝﹣x2＋bx＋b＋1＝﹣(x﹣)2＋＋b＋1，
∴点Q坐标为(， ＋b＋1)，
∵A(﹣1，0)，
∴点A，Q中点坐标为(﹣＋， ＋＋)，
∴＋＋＝2，解得b＝2或b＝﹣6，
当b＝2时，点Q坐标为(1，4)，
当b＝﹣6时，点Q坐标为(﹣3，4)．
②∵E(3，2)，
∴点F坐标为(0，2)，
将(0，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得b＋1＝2，解得b＝1，
将E(3，2)代入y＝﹣x2＋bx＋b＋1得2＝﹣9＋4b＋1，解得b＝eq \f(5,2)，
∴1≤b＜eq \f(5,2)，满足题意．
当抛物线顶点Q(， ＋b＋1)落在y轴上时，＝0，解得b＝0，
当抛物线经过原点时，0＝b＋1，解得b＝﹣1，
∴﹣1＜b≤0符合题意．
综上所述，1≤b＜eq \f(5,2)或﹣1＜b≤0．
解：(1)把A(﹣6，0)、B(2，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x＋12；
(2)存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x＋12＝﹣(x＋2)2＋16，
∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣(x＋2﹣4)2＋16＝﹣(x﹣2)2＋16＝﹣x2＋4x＋12，
令﹣x2﹣4x＋12＝﹣x2＋4x＋12，解得：x＝0，
当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x＋12＝12，
∴点C的坐标为(0，12)，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D坐标为(0，﹣12)，
①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则yM＝yC，即﹣x2＋4x＋12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，
∴M1(4，12)；
②当M在x轴下方时，
要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则yM＝yD，即﹣x2＋4x＋12＝﹣12，解得：x1＝2＋2eq \r(7)，x2＝2﹣2eq \r(7)，
M2(2＋2eq \r(7)，﹣12)，M3(2﹣2eq \r(7)，﹣12)．
综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为(4，12)或(2＋2eq \r(7)，﹣12)或(2﹣2eq \r(7)，﹣12)．
解：(1)抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，
∴A(﹣1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3，∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋3，
将点B(3，0)代入得：0＝3k＋3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3；
设点D坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，则点N(t，﹣t＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AN2＝(t＋1)2＋(﹣t＋3)2＝2t2﹣4t＋10，CN2＝t2＋(3＋t﹣3)2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t＋10，解得t1＝2，t2＝0(不合题意，舍去)，
∴点N的坐标为(2，1)；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，解得t1＝eq \r(5)，t2＝﹣eq \r(5) (不合题意，舍去)，
∴点N的坐标为(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t＋10＝2t2，解得t＝eq \f(5,2)，
∴点N的坐标为(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
综上，存在，点N的坐标为(2，1)或(eq \r(5)，3﹣eq \r(5))或(eq \f(5,2)，eq \f(1,2))；
(3)设E(1，a)，F(m，n)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴BC＝3eq \r(2)，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2＋BE2，
∴(3eq \r(2))2＝12＋(a﹣3)2＋a2＋(3﹣1)2，
解得：a＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，或a＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，∴E(1，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(1，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋1＝0＋3，n＋eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3或n＋eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)＝0＋3，
∴m＝2，n＝eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)或n＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，
∴点F的坐标为(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))；
②以BC为边时，BE2＝CE2＋BC2或CE2＝BE2＋BC2，
∴a2＋(3﹣1)2＝12＋(a﹣3)2＋(3eq \r(2))2或12＋(a﹣3)2＝a2＋(3﹣1)2＋(3eq \r(2))2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E(1，4)或(1，﹣2)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴m＋0＝1＋3，n＋3＝0＋4或m＋3＝1＋0，n＋0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为(4，1)或(﹣2，1)，
综上所述：存在，点F的坐标为(2，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(2，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))或(4，1)或(﹣2，1)．