2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 正方形存在问题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 正方形存在问题（含答案），共23页。试卷主要包含了求它们二次项系数之和等内容，欢迎下载使用。
如图，抛物线y＝a(x﹣h)2＋k(a≠0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．
(1)当抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则a＝ ；当抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋k是美丽抛物线时，则k＝ ；
(2)若抛物线y＝ax2＋k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；
(3)若y＝a(x﹣h)2＋k是美丽抛物线时，(2)a，k的数量关系成立吗？为什么？
(4)系列美丽抛物线yn＝an(x﹣n)2＋kn(n为小于7的正整数)顶点在直线y＝eq \f(1,6)x上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．
如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
如图，某一次函数与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点为A(﹣1，0)，B(4，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c(b＞0，c＞0)图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
(1)如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
(2)当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋eq \f(1,2)QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．
(1)在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．
①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；
②如图2，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)x2，求a的值；
(2)如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为(3，2)，正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2＋bx＋c经过A(﹣2，0)，B(1,﹣eq \f(9,4))两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线L1的表达式；
(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，0)，(3，0)，(0，6)三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．
(1)求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．
(2)将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，
①当点C首次落在抛物线上，求h的值．
②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．
如图，已知直线y＝﹣eq \f(1,2)x＋1与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若正方形以每秒eq \r(5)个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
\s 0 答案
解：(1)函数y＝ax2＋k的图象如下：
①抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则AC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，
将点D的坐标代入y＝ax2＋1得：eq \f(1,2)＝a(eq \f(1,2))2＋1，解得a＝﹣2；
②同理可得，点D的坐标为(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)，
将点D的坐标代入y＝eq \f(1,2)x2＋k得：eq \f(1,2)k＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)k)2＋1，解得k＝0(不合题意)或﹣4；
故答案为：﹣4；
(2)由(1)知，点D的坐标为(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)，
将点D的坐标代入y＝ax2＋k得：eq \f(1,2)k＝a(eq \f(1,2)k)2＋k，解得ak＝﹣2；
(3)答：成立．∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．
∴美丽抛物线y＝a(x﹣h)2＋k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2＋k．
∴ak＝﹣2；
(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为(k,eq \f(1,6)k)和(m,eq \f(1,6)m)，(k，m为小7的正整数，且k＜m)，它们的内接正方形的边长比为eq \f(1,6)k：eq \f(1,6)m=1:4，
∴m＝4k，．
∴这两条美丽抛物线分别为和．
∵，＝﹣2，
∴a1＝﹣12，a4＝﹣3．
∴a1＋a4＝﹣15．
答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．
解：(1)由题意得，
，∴，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B(3，0)，
∵PC2＋BC2＝[1＋(4﹣3)2]＋(32＋32)＝20，PB2＝[(3﹣1)2＋42]＝20，
∴PC2＋BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC＝3，
∵S△BOC＝eq \f(9,2)，
∴S四边形BOCP＝S△PBC＋S△BOC＝3＋eq \f(9,2)＝eq \f(15,2)；
(3)如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，
设P(m，﹣m2＋2m＋3)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，
由﹣x＋3＝﹣m2＋2m＋3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣(m2﹣2m)＝﹣m2＋3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，
∴当m＝时，()最大＝，
当m＝eq \f(3,2)时，y＝﹣(eq \f(3,2))2＋2×eq \f(3,2)＋3＝eq \f(15,4)，∴P(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))，
设Q(n，﹣n2＋2n＋3)，
如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，
∴＝，
∴＝，∴n＝，
如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，
∴＝，
∴＝，
可得n1＝1，n2＝eq \f(5,2)，
如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，
同理可得：＝，∴n＝，
综上所述：点Q的横坐标为：eq \f(11,3)或1或eq \f(5,2)或；
(4)如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．
∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G(n，0)，H(3，3＋n)，
∴K(，)，∴I(，﹣()2＋n＋3＋3)，
∵TM＝IW，
∴＝()2＋n＋6﹣(3＋n)，
∴(n＋3)2＋2(n＋3)﹣12＝0，
∴n1＝﹣4＋eq \r(13)，n2＝﹣4﹣eq \r(13)(舍去)，
∴G(﹣4＋eq \r(13)，0)．
解：(1)将A(﹣1，0)，B(4，5)代入y＝x2＋mx＋n得，
，∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，
，∴，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1，
∵AC＋BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC＋BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C(1，2)，
故答案为：(1，2)；
(3)设D(a，a2﹣2a﹣3)，则E(a，a＋1)，
∴DE＝(a＋1)﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2＋3a＋4(﹣1＜a＜4)，
∴当a＝eq \f(3,2)时，DE的最大值为eq \f(25,4)；
(4)当CF为对角线时，如图，
此时四边形CMFN是正方形，
∴N(1，1)，
当CF为边时，若点F在C的上方，
此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N(1，4)，
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，
同理可得N(﹣1，2)，
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，
同理可得N(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))，
综上：N(1，1)或(1，4)或(﹣1，2)或(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))．
解：(1)①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝﹣(x﹣eq \f(1,2)b)＋eq \f(1,4)b2＋c，
∴顶点A(eq \f(1,2)b，eq \f(1,4)b2＋c)，C(0，c)，
连接OA，交BD于点P，如图1，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴PA＝PO，
∴P(eq \f(1,4)b，eq \f(1,8)b2＋eq \f(1,2)c)，
∵CD∥x轴，
∴eq \f(1,8)b2＋eq \f(1,2)c＝c，
∴b2＝4c；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E(eq \f(1,2)b，0)，
∴OE＝eq \f(1,2)b，AE＝eq \f(1,4)b2＋c＝eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,2)b2，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)b，
∴D(b，c)，
∴PD＝b﹣eq \f(1,4)b＝eq \f(3,4)b，
∴BD＝2PD＝eq \f(3,2)b，
∵▱ABOD是矩形，
∴OA＝BD，
∴OA2＝BD2，
∴OE2＋AE2＝BD2，
∴(eq \f(1,2)b)2＋(eq \f(1,2)b2)2＝(eq \f(3,2)b)2，
∴eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)b4＝eq \f(9,4)b2，即b2(b﹣2eq \r(2))(b＋2eq \r(2))＝0，
∵b＞0，
∴b＝2eq \r(2)，
∴c＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2eq \r(2)x＋2；
(2)当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，
当b＝2时，y＝﹣x2＋2x＋c＝﹣(x﹣1)2＋c＋1，
∴抛物线顶点A(1，c＋1)，
若四边形ABOD是正方形，
则GA＝GO，OA⊥BD，
即BD是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC，
∴AC2＝OC2，
∴(1﹣0)2＋(c＋1﹣c)2＝c2，
∵c＞0，
∴c＝eq \r(2)，
∴y＝﹣x2＋2x＋eq \r(2)，
∴A(1，eq \r(2)＋1)，G(eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2)+eq \f(1,2))，C(0，eq \r(2))，
设直线CG的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线CG的解析式为y＝(1﹣eq \r(2))x＋eq \r(2)，
令(1﹣eq \r(2))x＋eq \r(2)＝﹣x2＋2x＋eq \r(2)，解得：x＝0(舍去)或x＝1＋eq \r(2)，
∴D(1＋eq \r(2)，eq \r(2)﹣1)，
∴DG2＝(1＋eq \r(2)﹣eq \f(1,2))2＋(eq \r(2)﹣1﹣eq \f(\r(2),2)-eq \f(1,2))2＝5﹣eq \f(\r(2),2)，
OA2＝1＋(eq \r(2)＋1)2＝4＋2eq \r(2)，
若四边形ABOD是正方形，则OA＝2DG，即OA2＝4DG2，
但4DG2＝4×(5﹣eq \f(\r(2),2))＝20﹣2eq \r(2)≠4＋2eq \r(2)＝OA2，
即OA≠2DG，
故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
解：(1)函数的表达式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)＝a(x2﹣4x＋3)，
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x＋3，
∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，
∴顶点D(2，﹣1)；
(2)证明：∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AM＝MB＝ABsin45°＝eq \r(2)，
∵AD＝BD＝eq \r(2)，
∴AM＝MB＝AD＝BD，
∴四边形ADBM为菱形，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
(3)解：存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作AH⊥CH，垂足为H，交OC于点Q，
则HQ＝eq \f(1,2)CQ，AQ＋eq \f(1,2)QC最小值＝AQ＋HQ＝AH，
∵∠HCQ＝30°，
∴直线HC所在表达式中的k值为eq \r(3)，
∴直线HC的表达式为：y＝eq \r(3)x＋3…①，
则直线AH所在表达式中的k值为﹣eq \f(\r(3),3)，
则直线AH的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋s，将点A的坐标代入并解得：s＝eq \f(\r(3),3)，
则直线AH的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)…②，
联立①②并解得：x＝，故点H(，)，
∵点A(1，0)，则AH＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)，
即：AQ＋eq \f(1,2)QC的最小值为 eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)．
解：(1)①如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，
∵过B(2，2)，
∴2＝4a，
∴a＝eq \f(1,2)，
∴所求的抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2．
②如图2中，设B(a，a)．
则有a＝eq \f(1,4)a2，解得a＝4或0(舍弃)，
∴B(4，4)，
∴OA＝4，
∴正方形的边长为4．
(2)如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为(5，4)．
理由：∵正方形ABCD的边长为4，A(3，2)，
∴B(7，2)，C(7，6)，D(3，6)，
∴以A为顶点的对角抛物线为y＝eq \f(1,4)(x﹣3)2＋2，
以B为顶点的对角抛物线为y＝eq \f(1,4)(x﹣7)2＋2，
以C为顶点的对角抛物线为y＝﹣eq \f(1,4)(x﹣7)2＋6，
以D为顶点的对角抛物线为y＝﹣eq \f(1,4)(x﹣3)2＋6，
由可得M(5，3)，
由可得N(5，5)，
由可得P(3＋2eq \r(2)，4)，
由可得Q(7﹣2eq \r(2)，4)，
∴PM＝，PN＝，
QN＝，QM＝，
∴PM＝PN＝QN＝QM，
∴四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为(5，4)．
解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)，
∵抛物线L1过点A(﹣2，0)，
∴a(﹣2﹣1)2﹣eq \f(9,4)=0，解得a=eq \f(1,4)，
∴y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)．
即抛物线L1的表达式是y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)；
(2)令x＝0，则y＝﹣2，∴C(0，﹣2)．
Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，
∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，
∴点D3的坐标为(0，0)，点E3的坐标为(﹣2，﹣2)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx，则b=eq \f(3,2)
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x．
Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，
如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．
∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为(0，2)，点E1的坐标为(2，0)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx＋2，则b=﹣eq \f(3,2)，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x＋2．
第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，
则有△AD2M≌△AD1O，
∴AO＝AM，D1O＝D2M．
过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，
∴CO＝CN，E1O＝E2N．
则点D2的坐标为(﹣4，﹣2)，点E2的坐标为(﹣2，﹣4)，设C，
则，解得，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．
综上所述：L2的表达式为：y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x，y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋2或y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．
解：(1)把A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c得，
，解得，
∴抛物线的关系式为y＝x2＋2x﹣3．
(2)设P的纵坐标为y．∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．
∴eq \f(1,2)(32＋y2)＝eq \f(5,2)×eq \f(1,2)×3×|y|．解得：y＝±eq \f(3,2)或＝±6．
∴点P的坐标为：P1(0，eq \f(3,2))或P2(0，﹣eq \f(3,2))或P3(0，6)或P4(0，﹣6)．
(3)设P(0，m)，连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．
∵四边形AMPN是正方形，
∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，
∵A(﹣3，0)，P(0，m)，
∴T(﹣eq \f(3,2)，eq \f(1,2)m)，
∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，
∴∠PTE＋∠NTF＝90°，∠NTF＋∠TNF＝90°，
∴∠PTE＝∠TNF，
∴△PET≌△TFN(AAS)，
∴ET＝FN，PE＝TF，
同法可证△PET≌△TGM，
∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，
∴M(﹣eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)m，eq \f(1,2)m＋eq \f(3,2))，N(﹣eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)m，eq \f(1,2)m﹣eq \f(3,2))，
当点M在抛物线上时，eq \f(1,2)m＋eq \f(3,2)＝(﹣eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)m)2＋2(﹣eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)m)﹣3，解得m＝±eq \r(21)，
当点N在抛物线上时，eq \f(1,2)m﹣eq \f(3,2)＝(﹣eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)m)2＋2(﹣eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)m)﹣3，解得m＝2±eq \r(13)
∴满足条件的点P的坐标是：(0，eq \r(21))或(0，﹣eq \r(21))或(0，2﹣eq \r(13))或(0，2＋eq \r(13))．
解：(1)由题意得：
，解得，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x＋6，
由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2，﹣2)，
当x＝﹣1时，y＝2x2﹣8x＋6＝16，
故当﹣1≤x≤4时，x＝﹣1时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值﹣2，
∴y的最大值与最小值的差为16﹣(﹣2)＝18；
(2)①当点C首次落在抛物线上，yC＝4＝2x2﹣8x＋6，解得x＝2±eq \r(3)，
因为点C首次落在抛物线上，x＝2＋eq \r(3)舍弃，
则h＝x＝2﹣eq \r(3)；
②当点C首次落在抛物线上，h＝2﹣eq \r(3)，当h＞2﹣eq \r(3)时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当h＝3时，即正方形运动到点(3，0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当h＞3时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故h≤3；
故2﹣eq \r(3)＜h≤3．
解：(1)∵直线y＝﹣eq \f(1,2)x＋1，
∴当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，
∴OA＝1，OB＝2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，
∴∠ABO＋∠CBZ＝90°，∠OAB＋∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBZ，
在△AOB和△BZC中，
，
∴△AOB≌△BZC(AAS)，
∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，
∴C(3，2)，
同理可求D的坐标是(1，3)；
设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∵抛物线过A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)，
则，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋1；
(2)∵OA＝1，OB＝2，
∴由勾股定理得：AB＝eq \r(5)，
①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，
∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝t，
∴S△FB′G＝eq \f(1,2)FB′×GB′＝eq \f(5,4)t2；
②当点C运动x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，
∵AB＝A′B′＝eq \r(5)，
∴A′F＝eq \r(5)t﹣eq \r(5)，
∴A′G＝eq \f(\r(5),2)(t﹣1)，
∵B′H＝eq \f(\r(5),2)t，
∴S四边形A′B′HG＝eq \f(1,2)(A′G＋B′H)A′B′＝eq \f(5,2)t﹣eq \f(5,4)；
③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G＝eq \f(\r(5),2)(t﹣1)，
∴GD′＝eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)t，
∵S△AOF＝eq \f(1,2)×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴＝()2，∴S△GA′F＝()2，
则S五边形GA′B′CH＝﹣eq \f(5,4)t2＋eq \f(15,2)t﹣eq \f(25,4)；
综上，S＝；
(3)设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，
则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，
联立y＝﹣eq \f(1,2)x＋1与y＝﹣x2＋x＋1并解得，
∴E(4，﹣1)，
∴BC＝BE，CE＝eq \r(10)，
当顶点D落在x轴上时，抛物线向下平移了3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐标为(10，﹣4)，
∴EE′＝3eq \r(5)，
∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′BC＝3eq \r(5)×eq \r(5)＝15．