2025年中考数学一轮复习 解直角三角形 解答题练习四（含答案）

这是一份2025年中考数学一轮复习 解直角三角形 解答题练习四（含答案），共10页。试卷主要包含了64米，AD＝0，4秒后，盛水筒P距离水面多高？，414，≈1，3m，等内容，欢迎下载使用。
解：在△ABC中，∵eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(6sin30°,sin45°)＝3eq \r(2).
理解应用：
如图，甲船以每小时30eq \r(2) 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20 min后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq \r(2) 海里.
(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
(2)乙船每小时航行多少海里？
图1是张乐同学在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是张乐锻炼时上半身由与地面垂直的EM位置运动到EN位置时的示意图.已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝30°.
(1)求AB的长；
(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)

筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转eq \f(5,6)圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m.求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.(参考数据：cs43°＝sin47°≈，sin16°＝cs74°≈，sin22°＝cs68°≈)
如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．)
如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10 cm.
(1)当∠AOB=20°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)
(2)保持∠AOB=20°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01 cm)
(参考数据：sin10°≈0.174，cs10°≈0.985，sin20°≈0.342，cs20°≈0.940)
为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423)
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1)，图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，
求塔杆CH的高.(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上.这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
\s 0 答案
解：(1)△A1A2B2是等边三角形.
证明：由已知，得A2B2＝10eq \r(2)海里，
A1A2＝30eq \r(2)×eq \f(20,60)＝10eq \r(2)(海里)，
∴ A1A2＝A2B2，
又∵∠A1A2B2＝180°﹣120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形；
(2)∵△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10eq \r(2)海里，
∵∠CB1A1＝180°﹣105°＝75°，
∴∠B2B1A1＝75°﹣15°＝60°，
又∵∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°，
∴在△A1B2B1中，eq \f(B1 B2 ,sin45°) ＝ eq \f(A1 B2 ,sin60°)，
B1B2＝eq \f(A1B2,sin60°)·sin45°＝eq \f(10\r(2),\f(\r(3),2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(20\r(3),3)(海里)，
∴乙船的速度为eq \f(20\r(3),3)÷eq \f(20,60)＝20eq \r(3)(海里/时).
答：乙船每小时航行20eq \r(3) 海里.
解：(1)作AF⊥BC于F.
∴BF＝BC﹣AD＝0.4米，
∴AB＝BF÷sin30°＝0.8米；
(2)∵∠NEM＝90°＋30°＝120°，
∴弧长为＝π米.
解：(1)如图1中，连接OA.
由题意，筒车每秒旋转360°×eq \f(5,6)÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cs∠AOC＝＝＝.
∴∠AOC＝43°，∴＝27.4(秒).
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点.
(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC＋∠AOP＝43°＋17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cs60°＝3×eq \f(1,2)＝1.5(m)，2.2﹣1.5＝0.7(m)，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m.
(3)如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cs∠POM＝＝，
∴∠POM＝68°，
在Rt△COM中，cs∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6(秒)，
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上.
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，
∴ED=AEtan45°=20m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，
∴AB=40≈69.3m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40﹣20≈29.3m．
答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．
解：(1)连接BA，作OC⊥AB于点C.
由题意可得，OA=OB=10 cm，∠OCB=90°，∠AOB=20°，
∴∠BOC=10°.
∴AB=2BC=2OB·sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，
即所作圆的半径约为3.5 cm.
(2)作AD⊥OB于点D，作AE=AB.
∵保持∠AOB=20°不变，则折断的部分为BE.
∵∠AOB=20°，OA=OB，∠ODA=90°，
∴∠OAB=80°，∠OAD=70°.
∴∠BAD=10°.
∴BE=2BD=2AB·sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，
即铅笔芯折断部分的长度是1.2 cm.
解：连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠ABD，AC=BD，
∵∠C=65°，AC=900，
∴∠ABD=65°，BD=900，
∴BM=BD•cs65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，
∵381÷3=127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，
∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，
∴CH=tan55°•x=1.4×45=63.
答：塔杆CH的高为63米.
解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH=x km，
在Rt△ACH中，∠A=37°，
∵tanA=eq \f(CH,AH)，
∴AH=eq \f(CH,tan37°)=eq \f(x,tan37°).
在Rt△CEH中，∠CEH=45°，
∵tan∠CEH=eq \f(CH,EH)，∴EH=eq \f(CH,tan45°)=x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴∠AHC=∠ADB=90°.
∴HC∥DB.∴eq \f(AH,HD)=eq \f(AC,CB).
又∵C为AB的中点，
∴AC=CB.∴AH=HD.
∴eq \f(x,tan37°)=x＋5.
∴x=eq \f(5×tan37°,1－tan37°)≈eq \f(5×0.75,1－0.75)=15.
∴AE=AH＋HE=eq \f(15,tan37°)＋15≈35(km).
因此，E处距离港口A大约35 km.