2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习02（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习02（含答案），共19页。试卷主要包含了2，故x=3，∴BG=2AG等内容，欢迎下载使用。
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；
(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m＋3)．其中，m≠0．
(1)当m＝1时．
①该二次函数的图象的对称轴是直线 ．
②求该二次函数的表达式．
(2)当|eq \f(1,2)m|≤x≤|eq \f(3,2)m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．
(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(﹣eq \f(1,2)，0)，B(3，eq \f(7,2))两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).
(1)当x= 时，PQ⊥AC，x= 时，PQ⊥AB；
(2)设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为 ；
(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(eq \f(3,2)，0)，且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)求∠ACB的度数；
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标.
已知抛物线经过A(﹣1，0)、B(0，3)、C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF；
(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2＋bx＋c经过A(﹣2，0)，B(1,﹣eq \f(9,4))两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线L1的表达式；
(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋2与x轴交点为A(-4,0)、B(1,0)，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求线段PD的最大值．
(3)如图2，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，直接写出点P的坐标．
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(0，3)和B(eq \f(7,2)，﹣eq \f(9,4))两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若PE∥x轴交AB于点E，求PD＋PE的最大值；
(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(m＞4).
(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；
(2)如图2，若∠ACP=45°，求m的值；
(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.
\s 0 答案
解：(1)把A(0，8)，B(﹣4，0)代入y=﹣eq \f(1,4)x2+bx+c
得，解得，
所以抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,4)5x2+x+8；
当y=0时，﹣eq \f(1,4)x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，
所以C点坐标为(8，0)；
(2)①连结OF，如图，设F(t，﹣eq \f(1,4)t2+t+8)，
∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，
∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=eq \f(1,2)×4×t+eq \f(1,2)×8×(﹣eq \f(1,4)t2+t+8)﹣eq \f(1,2)×4×8
=﹣t2+6t+16=﹣(t﹣3)2+25，
当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，
即E(t﹣8，﹣eq \f(1,4)t2+t+12)，
∵E(t﹣8，﹣eq \f(1,4)t2+t+12)在抛物线上，
∴﹣eq \f(1,4)(t﹣8)2+t﹣8+8=﹣eq \f(1,4)t2+t+12，解得t=7，
当t=7时，S△CDF=﹣(7﹣3)2+25=9，
∴此时S=2S△CDF=18．
解：(1)①∵A(0，3)、B(2m，3)，
∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，
∵m＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1；
②设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵m＝1，
∴B(2，3)、C(1，4)，
将点A、B、C代入y＝ax2＋bx＋c，
∴，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵A(0，3)、B(2m，3)两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
设抛物线的解析式为y＝a(x﹣m)2＋m＋3，
将点A(0，3)代入，
∴am2＋m＋3＝3，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣ (x﹣m)2＋m＋3，
当m＞0时，eq \f(1,2)m≤x≤eq \f(3,2)m，
∴当x＝m时，函数有最大值m＋3，
∴m＋3＝4，
∴m＝1；
当m＜0时，﹣eq \f(1,2)m≤x≤﹣eq \f(3,2)mm，
∴当x＝﹣eq \f(3,2)mm时，函数有最大值，
∴4＝﹣ (﹣m﹣m)2＋m＋3，解得m＝﹣；
综上所述：m的值为1或﹣；
(3)∵A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m＋3)，
∴AB＝|2m|，AC＝eq \r(2)|m|，BC＝eq \r(2)|m|，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，eq \f(1,2)AB为半径，
如图1，当m＞0时，∵⊙M与x轴相切，
∴MN＝AM＝|m|＝3，
∴m＝3，
∴C(3，6)；
如图2，当m＜0时，∵⊙M与x轴相切，
∴CM＝AM＝3＝|m|，
∴m＝﹣3，
∴C(﹣3，0)；
综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为(3，6)或(﹣3，0)．
解：(1)将点A(﹣eq \f(1,2)，0)，B(3，eq \f(7,2))代入到y＝ax2＋bx＋2中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋eq \f(7,2)x＋2；
(2)设点P(m，﹣m2＋eq \f(7,2)m＋2)，
∵y＝﹣x2＋eq \f(7,2)x＋2，∴C(0，2)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋c，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋2，∴D(m，eq \f(1,2)m＋2)，
∴PD＝|﹣m2＋eq \f(7,2)m＋2﹣eq \f(1,2)m﹣2|＝|m2﹣3m|，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，
∴点P的横坐标为1或2或或；
(3)①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM＋∠BHN＝∠HBN＋∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∴△CHM≌△HBN(AAS)，
∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H(m，n)，
∵C(0，2)，B(3，eq \f(7,2))，
∴，解得，
∴H(eq \f(9,4)，eq \f(5,4))，
设直线CH的解析式为y＝px＋q，
∴，解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x＋2，联立直线CF与抛物线解析式得
，解得或，
∴Q(，)；
②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理得Q(eq \f(1,2)，eq \f(7,2))．
综上，存在，点Q的坐标为(，)或(，)．
解：(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；
∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，
∴4﹣x=2×2x，∴x=eq \f(4,5)；
当x=eq \f(4,5)(Q在AC上)时，PQ⊥AC；如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=eq \f(1,2)x，AC＋AQ=2x；
∵AC=4，∴AQ=2x﹣4，
∴2x﹣4＋eq \f(1,2)x=4，
∴x=3.2，故x=3.2时PQ⊥AB；
综上所述，当PQ⊥AB时，x=eq \f(4,5)或3.2.
(2)y=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x，
如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=eq \r(3)x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=eq \f(1,2)BC=2，∴DP=2﹣x，
∴y=eq \f(1,2)PD•QN=eq \f(1,2)(2﹣x)•eq \r(3)x=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x；
(3)当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，∴BP=NC，
∵BD=CD，∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
解：(1)当x＝0，y＝3，∴C(0，3).
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x﹣eq \f(3,2)).
将C(0，3)代入得：﹣eq \f(3,2)a＝3，解得：a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋x＋3.
(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N.
∵OC＝3，AO＝1，
∴tan∠CAO＝3.
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
∵AC⊥BM，
∴BM的一次项系数为﹣eq \f(1,3).
设BM的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋b，将点B的坐标代入得：﹣eq \f(1,3)×eq \f(3,2)＋b＝0，解得b＝eq \f(1,2).
∴BM的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2).
将y＝3x＋3与y＝﹣eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)联立解得：x＝﹣eq \f(3,4)，y＝eq \f(3,4).
∴MC＝BM＝eq \f(3,4)eq \r(10).
∴△MCB为等腰直角三角形.
∴∠ACB＝45°.
(3)如图2所示：延长CD，交x轴与点F.
∵∠ACB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD＞45°.
又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC＝∠DEC＝90°，
∴∠CAO＝∠ECD.
∴CF＝AF.
设点F的坐标为(a，0)，则(a＋1)2＝32＋a2，解得a＝4.
∴F(4，0).
设CF的解析式为y＝kx＋3，将F(4，0)代入得：4k＋3＝0，解得：k＝﹣eq \f(3,4).
∴CF的解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3.
将y＝﹣eq \f(3,4)x＋3与y＝﹣2x2＋x＋3联立：解得：x＝0(舍去)或x＝eq \f(7,8).
将x＝eq \f(7,8)代入y＝﹣eq \f(3,4)x＋3得：
y＝. ∴D(，).
解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A(﹣1，0)、B(0，3)、C(3，0)代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
(3)解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2＋2x＋3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E(2，3)，
①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M＋∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由(2)得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF＋∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3eq \r(3)﹣2；
②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF＋∠MFD＝2∠BDF，
由(2)得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM＋∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣eq \r(3)，
综上所述，ME的值为：3eq \r(3)﹣2或2﹣eq \r(3)．
解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)，
∵抛物线L1过点A(﹣2，0)，
∴a(﹣2﹣1)2﹣eq \f(9,4)=0，解得a=eq \f(1,4)，
∴y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)．
即抛物线L1的表达式是y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣eq \f(9,4)；
(2)令x＝0，则y＝﹣2，∴C(0，﹣2)．
Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，
∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，
∴点D3的坐标为(0，0)，点E3的坐标为(﹣2，﹣2)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx，则b=eq \f(3,2)
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x．
Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，
如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．
∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为(0，2)，点E1的坐标为(2，0)．
设y=eq \f(1,4)x2＋bx＋2，则b=﹣eq \f(3,2)，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x＋2．
第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，
则有△AD2M≌△AD1O，
∴AO＝AM，D1O＝D2M．
过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，
∴CO＝CN，E1O＝E2N．
则点D2的坐标为(﹣4，﹣2)，点E2的坐标为(﹣2，﹣4)，设C，
则，解得，
即抛物线L2的解析式是y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．
综上所述：L2的表达式为：y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x，y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋2或y=eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x﹣4．
解：(1) SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)① SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
②设过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值2，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，
SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，有以下两种情形，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 (与点 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去)， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)将A(0，3)和B(eq \f(7,2)，﹣eq \f(9,4))代入y＝﹣x2＋bx＋c，
，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋n，把A(0，3)和B(eq \f(7,2)，﹣eq \f(9,4))代入，
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣eq \f(3,2)x＋3，
当y＝0时，﹣eq \f(3,2)x＋3＝0，解得：x＝2，
∴C点坐标为(2，0)，
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PE＝eq \f(2,3)PD，
∴PD＋PE＝eq \f(5,3)PD，
设点P的坐标为(a，﹣a2＋2a＋3)，则D点坐标为(a，﹣eq \f(3,2)a＋3)，
∴PD＝(﹣a2＋2a＋3)﹣(﹣eq \f(3,2)a＋3)＝﹣(a﹣eq \f(7,4))2＋，
∴PD＋PE＝﹣eq \f(5,3)(a﹣eq \f(7,4))2＋，
∵﹣eq \f(5,3)＜0，
∴当a＝eq \f(7,4)时，PD＋PE有最大值为；
(3)①当△AOC∽△APD时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2＋2x＋3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为(2，0)；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22＋2×2＋3＝3，
∴点P的坐标为(2，3)，点D的坐标为(2，0)；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则D点坐标为(m，﹣eq \f(3,2)m＋3)，
则，解得：m＝eq \f(4,3)，
∴D点坐标为(eq \f(4,3)，1)，P点坐标为(eq \f(4,3)，)，
综上，点P的坐标为(2，3)，点D的坐标为(2，0)或P点坐标为(eq \f(4,3)，)，D点坐标为(eq \f(4,3)，1)．
解：(1)将点A(2，0)和点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4，
得，解得：.
∴该抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣3x+4.
过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G(如图1所示)，则∠G=90°.
∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，
∴△GAB∽△OAC.
∴=═=2.∴BG=2AG.
在Rt△ABG中，∵BG2+AG2=AB2，
∴(2AG)2+AG2=22.解得： AG=eq \f(2\r(5),5).
∴BG=eq \f(4,5)eq \r(5)，CG=AC+AG=2eq \r(5)+eq \f(2\r(5),5)=.
在Rt△BCG中，tan∠ACB═=.
(2)如图2，过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK.易得四边形OBHC是正方形.
应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK.
设K(4，h)，则BK=h，HK=HB﹣KB=4﹣h，AK=OA+HK=2+(4﹣h)=6﹣h.
在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2.
∴22+h2=(6﹣h)2.解得h=eq \f(8,3).∴点K(4，eq \f(8,3)).
设直线CK的解析式为y=hx+4.
将点K(4，eq \f(8,3))代入上式，得eq \f(8,3)=4h+4.解得h=﹣eq \f(1,3).
∴直线CK的解析式为y=﹣eq \f(1,3)x+4.
设点P的坐标为(x，y)，则x是方程eq \f(1,2)x2﹣3x+4=﹣eq \f(1,3)x+4的一个解.
将方程整理，得3x2﹣16x=0.解得x1=eq \f(16,3)，x2=0(不合题意，舍去).
将x1=eq \f(16,3)代入y=﹣eq \f(1,3)x+4，得y=2eq \f(2,9).
∴点P的坐标为(eq \f(16,3)，2eq \f(2,9)).
(3)四边形ADMQ是平行四边形.理由如下：
∵CD∥x轴，∴yC=yD=4.
将y=4代入y=eq \f(1,2)x2﹣3x+4，得4=eq \f(1,2)x2﹣3x+4.解得x1=0，x2=6.
∴点D(6，4).
根据题意，得P(m，eq \f(1,2) m2﹣3m+4)，M(m，4)，H(m，0).
∴PH=eq \f(1,2)m2﹣3m+4，OH=m，AH=m﹣2，MH=4.
①当4＜m＜6时，DM=6﹣m，
如图3，
∵△OAN∽△HAP，
∴=.∴=.
∴ON===m﹣4.
∵△ONQ∽△HMQ，
∴=.∴=.∴=.
∴OQ=m﹣4.
∴AQ=OA﹣OQ=2﹣(m﹣4)=6﹣m.
∴AQ=DM=6﹣m.
又∵AQ∥DM，
∴四边形ADMQ是平行四边形.
②当m＞6时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形.
综上，四边形ADMQ是平行四边形.