广东省阳江市江城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份广东省阳江市江城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．|﹣3|
答案：D．
2．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A．
3．（3分）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．已知1纳米＝10⁻9米，则100纳米用科学记数法表示为（ ）
A．1×10⁻7米B．1×10⁻8米C．﹣1×107米D．1×10⁻11米
答案：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a6＝a18B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
答案：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点A，则A的坐标是（ ）
A．（6，1）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（6，﹣3）
答案：B．
6．（3分）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B．
7．（3分）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．πB．πC．πD．2π
答案：B．
8．（3分）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30°B．36°C．60°D．72°
答案：A．
9．（3分）已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．
答案：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： 答案不唯一，如y＝x ．
12．（3分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 110° ．
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 20 ．
14．（3分）某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元．若这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列得方程为 200（1﹣x）2＝162 ．
【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，AB分别交于点D，E．连接BD．若∠A＝15°，BD＝2，则△ADB的面积为 1 ．
16．（3分）如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18、19题各7分，共24分．
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
解：（1）原式＝1+4﹣2
＝3；
（2），
解不等式①得：x＞1；
解不等式②得：x＜2；
∴不等式组的解集为1＜x＜2．
18．（7分）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，
根据题意得：，
解得：x＝50．
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题目要求，
此时2x＝100，
答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是100平方米和50平方米．
19．（7分）已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电的用电器限制电流不能超过10A，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．
解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵图象经过（8，6），
∴1.8＝6＝，
解得：k＝8×6＝48，
∴这个反比例函数的解析式为I＝；
（2）∵I≤3，I＝，
∴≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
20．（8分）为提高学生的国家安全意识，某校九年级举行了国家安全知识竞赛活动．现从参赛学生中分别随机抽取15名男生和15名女生的竞赛成绩作为样本，对样本竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成4个组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），得到如图所示的统计图表．其中女生样本成绩在C组中的数据为85，88，87．
男、女生样本成绩对比统计表
（1）填空：a＝ 87 ，b＝ 20 ；
（2）若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，学校准备从样本成绩为70分以下的女生中抽取2人谈话，用列表法或画树状图的方法计算得分最低的女生被抽到的概率．
解：（1）由题意得，b%＝3÷15×100%＝20%，
∴b＝20．
女生样本成绩在D组的人数为15×40%＝6（人），
将15名女生样本成绩按照从大到小的顺序排列，排在第8名的成绩为87，
∴a＝87．
故答案为：87；20．
（2）女生样本成绩在A组的人数为15×（1﹣20%﹣20%﹣40%）＝3（人），
将这3名女生按分数从大到小分别记为A，B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中得分最低的女生被抽到的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），共4种，
∴得分最低的女生被抽到的概率为＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．
（1）求证：△ABC∽△ADB．
（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OB，
∵AB与圆相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABC+∠CBO＝90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠BAD，
∴△ABC∽△ADB．
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴AB：AD＝AC：AB，
∵AB＝5，AC＝3，
∴5：AD＝3：5，
∴AD＝，
∴CD＝AD﹣AC＝，
∴⊙O的半径是CD＝．
22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4）
解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，
则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cs∠BAF＝，
则AF＝ABcs∠BAF＝3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．（12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．
（1）如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度数；
（2）连接DG，求证：C、D、G三点共线；
（3）如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．
（1）解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEH﹣∠EHD＝360°﹣90°﹣90°﹣125°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAG＝∠EAG+∠BAE＝90°+35°＝125°；
（2）证明：连接DG，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G三点共线；
（3）解：过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，
则∠EKF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠B＝∠EKF，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEK＝90°，
∴∠BAE＝∠FEK，
∴△AEB≌△EFK（AAS），
∴BE＝FK，AB＝EK＝5，
∵点E是线段BC的中点，
∴BE＝EC＝×5＝，
∴FK＝CK＝，
∵∠CKF＝90°，
∴△CFK是等腰直角三角形，
∴CF＝FK＝．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
统计量
平均数
中位数
众数
男生
88
89
99
女生
88
a
98
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）