高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步训练题

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1．等差数列的概念
(1)等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
(2)对等差数列概念的理解
①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
②由概念可知，如果 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒等于一个常数，那么数列{ SKIPIF 1 < 0 }就是等差数列.
③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，
那么这个数列不是等差数列.
④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数
列不是等差数列.
⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d，其中 SKIPIF 1 < 0 为首项，d为公差.
(2)等差数列通项公式的变形
已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }中的任意两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (n,m SKIPIF 1 < 0 ,m≠n)，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =(n-m)d SKIPIF 1 < 0
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d，可得 SKIPIF 1 < 0 =dn+( SKIPIF 1 < 0 -d)，当d=0时， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 为常数列，当d≠0时， SKIPIF 1 < 0 =
SKIPIF 1 < 0 +(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的图象是直线y=dx+( SKIPIF 1 < 0 -d)上一群均匀分布的孤立的点.
5．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d0的等差数列{}的四个结论：p1：数列{}是递增数列；p2：数列{n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
【题型5 等差数列的判定与证明】
【方法点拨】
判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法： SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =d(常数)(n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
(2)递推法(等差中项法)： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 (n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
(3)通项公式法： SKIPIF 1 < 0 =pn+q(p,q为常数,n SKIPIF 1 < 0 ){ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列.
【例5】已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【变式5-1】在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【变式5-2】已知数列满足，，且．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式5-3】若数列的各项均为正数，对任意n∈N*，，为常数，且．
(1)求的值；
(2)求证：数列为等差数列．
【题型6 利用等差数列的性质解题】
【方法点拨】
对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8B．12C．15D．24
【变式6-1】公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式6-3】已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
等差数列的概念（重难点题型检测）
一．选择题
1．与的等差中项是（ ）
A．B．C．D．
2.已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
3．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（ ）
A． B．
C．D．
5．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法错误的是（ ）
A．B．数列为递增数列
C．数列为周期数列D．
6．图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题
7．设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（ ）
A．B．C．D．
8．在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为 D．数列的通项公式为
9．已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
10．已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（ ）
A． B．对任意，恒成立
C．不存在正整数，，使，，成等差数列 D．数列为等差数列
三．填空题
11．已知等差数列中，，，则与的等差中项为 .
12．已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .
13．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列，并且得到递推关系为．则 ．
四．解答题
14．已知数列为等差数列，且公差为.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差.
15．已知等差数列中，且，为方程的两个实根．
(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
16．已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
17．无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
18．已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
专题4.3 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）
1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (公式一). SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )n，令 SKIPIF 1 < 0 =A， SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =B，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +Bn.
(1)当A=0，B=0(即d=0， SKIPIF 1 < 0 =0)时， SKIPIF 1 < 0 =0是常数函数，{ SKIPIF 1 < 0 }是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0， SKIPIF 1 < 0 ≠0)时, SKIPIF 1 < 0 =Bn是关于n的一次函数，{ SKIPIF 1 < 0 }是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0， SKIPIF 1 < 0 ≠0)时， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +Bn是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
【题型1 求等差数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】记为等差数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 等差数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【方法点拨】
根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.
【例3】在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知是各项不全为零的等差数列，前项和是，且，若，则正整数（ ）
A．20B．19C．18D．17
【变式3-3】在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【题型4 求等差数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例4】已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14B．28C．35D．70
【变式4-1】已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116B．232C．58D．87
【变式4-2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（ ）
A．30B．36C．42D．48
【变式4-3】已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【题型5 等差数列前n项和的最值】
【方法点拨】
1.通项法
若 SKIPIF 1 < 0 >0，d