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黑龙江省牡丹江市省级示范高中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份黑龙江省牡丹江市省级示范高中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32 D. 51
3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为( )
A．2.5尺 B．3.5尺 C． 4.5尺 D．1.5尺
5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量D. 若，则
10. 在等比数列中，，则（ ）
A. 的公比为B. 的公比为2
C. D. 数列递增数列
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量满足，且，则________.
13. 若，且，则__________.
14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
16. （15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若点在边上，且，求的取值范围.
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)写出EXn与EXn−1n≥2的递推关系式，并证明EXn+50为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26≈2.986）
19.已知.
(1)求的定义域；
(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；
(3)证明：.
数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念分析判断.
【详解】因为，则，
所以．故选B．
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32D. 51
【答案】C
【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：.
3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
【详解】由，解得.
设，则.
4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 147B. C. 63D.
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得【详解】二项式展开式中项分别为，
所以的展开式中的常数项为．故选：C
5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.
【详解】在区间上单调递增，令单调递减，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以．故选：D．
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】结合根与系数关系可得，，再利用两角和的正切公式可求出的值.
【详解】因为，是一元二次方程的两个根，
显然，所以，，
所以，所以．故选：A．
7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.
【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.由，得，即，从而，即故选：D
【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围
8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【分析】就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.
【详解】令，则或，
由，当时，在0,4上没有零点，
则在0,4上应有3个零点，因为，所以，即，与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；当时，在0,4上有1个零点，
在0,4上有3个零点，不满足题意；当时，在0,4上有2个零点，故在0,4上应有1个零点，因为，所以该零点与的零点不相同，所以，即，与联立得，因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量D. 若，则
【答案】AD
【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.
【详解】对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，由，共线，得，解得，B错误；
对于C，当时，是单位向量，C错误；
对于D，当时，，则，D正确．
故选：AD
10. 在等比数列中，，则（ ）
A. 的公比为B. 的公比为2
C. D. 数列递增数列
【答案】BC【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.
【详解】设等比数列an的公比为，
依题意得解得所以故，故BC正确，A错误；对于D，，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.
【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误；
把，，代入，整理得，B正确；
分别作出与的图象如下：
两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条．
因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确；
因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，
直线的方程为，与联立得，
所以，所以，
由且可得，
设，则，所以，所以，D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量满足，且，则________.
【答案】【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.
【详解】因为，所以，则，
所以.故答案为：.
13. 若，且，则__________.
【答案】【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解.【详解】由，得.
因为，所以，则，则.
由，得，则，解得.故答案为：.
14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 －eq \f(9,25)
解析 依题意，B，C，P三点共线，
∴eq \f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq \f(a3,b3)，
依题意，eq \f(a3,b3)＝eq \f(2a3,2b3)＝eq \f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq \f(a1＋a5×\f(5,2),b1＋b5×\f(5,2))＝eq \f(S5,T5)＝eq \f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq \f(17,25)，
∴λ＝1－2×eq \f(17,25)＝－eq \f(9,25).
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
【答案】(1);(2)，
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，
根据题意可得，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以.
16. （15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.（2）若点在边上，且，求的取值范围.
【答案】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以，整理得又，所以，从而，整理得，则.
由，得，
即，结合锐角中，，
则，即.
【小问2详解】
如图，由，可得，则.
在中，由正弦定理得，
整理得.
因为，且是锐角三角形，所以解得，
则，
从而，即的取值范围为.
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）记，则，
，所以，
因为，
所以且，，．
（2）令，则，
恒成立，在递增，在递增，
在递增，，即.
（3）由题，，则，则，
令，
易得在上递增，在上递减，从而，
即当且仅当时取等号），
，即，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)写出EXn与EXn−1n≥2的递推关系式，并证明EXn+50为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26≈2.986）
【答案】(1)EX1=40，分布列见解析；
(2)EXn=1.2EXn−1+10(2≤n≤6)，证明见解析；
(3)所得奖券数额的期望约为593.7元.
【分析】（1）利用古典概型求出抽到红球、黑球的概率，求出EX1，再求出X2的可能值及对应概率列出分布列.
（2）分析求出递推关系，利用构造法证明即可.
（3）由（2）的结论，利用分组求和及等比数列前n项和公式求解即得.
【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为610=0.6，抽到一个黑球的概率为0.4，
显然X1的值为25，50，则PX1=25=0.4,PX1=50=0.6，
所以EX1=25×0.4+50×0.6=40，
又X2的值为25,50,100，
则PX2=25=0.4,PX2=50=0.4×0.6=0.24,PX2=100=0.6×0.6=0.36，
所以X2的分布列为：
（2）依题意，当n≥2时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为2EXn−1，对应概率为0.6，
抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4，
因此当2≤n≤6时，EXn=2EXn−1×0.6+25×0.4=1.2EXn−1+10，
EXn+50=1.2EXn−1+60，即EXn+50=1.2EXn−1+50，又EX1+50=40+50=90，
数列EXn+50为等比数列，公比为1.2，首项为90.
（3）由（2）得，EXn+50=90×1.2n−11≤n≤6，即EXn=90×1.2n−1−50，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为i=16E(Xn)=90(1−1.26)1−1.2−50×6≈90×(1−2.986)−0.2−300=593.7（元）.
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
18.已知.
(1)求的定义域；
(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；
(3)证明：.
【答案】(1)(2)1(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组，构造函数，通过求导推出，即可得到函数的定义域；
（2）由题设不等式恒成立等价转化为，恒成立，讨论函数得，则须使，令得其当且仅当时取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到，取，推得再对进行赋值相加即可得证.
【详解】（1）要使函数有意义，需满足，令，
则，令解得，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
∴fx的定义域为0,+∞；
（2）由恒成立得，，当时，不等式恒成立；
下面说明当且为整数时不等式成立的情况.当时，不等式显然成立，
当时，等价于恒成立，此时恒成立，
令，则，令得，
当即且为整数时，无解；
当即且为整数时，
若，则，若，则，即ℎx在上单调递增，在上单调递减，
则要使不等式恒成立，须使恒成立，
令则故单调递增，
从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述，能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当时，恒成立，即，即，
当时，，即，
令，则有即
于是，
，得证..
X2
25
50
100
P
0.4
0.24
0.36
考试时间:120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32 D. 51
3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为( )
A．2.5尺 B．3.5尺 C． 4.5尺 D．1.5尺
5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量D. 若，则
10. 在等比数列中，，则（ ）
A. 的公比为B. 的公比为2
C. D. 数列递增数列
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量满足，且，则________.
13. 若，且，则__________.
14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
16. （15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若点在边上，且，求的取值范围.
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)写出EXn与EXn−1n≥2的递推关系式，并证明EXn+50为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26≈2.986）
19.已知.
(1)求的定义域；
(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；
(3)证明：.
数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念分析判断.
【详解】因为，则，
所以．故选B．
2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32D. 51
【答案】C
【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：.
3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
【详解】由，解得.
设，则.
4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 147B. C. 63D.
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得【详解】二项式展开式中项分别为，
所以的展开式中的常数项为．故选：C
5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.
【详解】在区间上单调递增，令单调递减，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以．故选：D．
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】结合根与系数关系可得，，再利用两角和的正切公式可求出的值.
【详解】因为，是一元二次方程的两个根，
显然，所以，，
所以，所以．故选：A．
7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.
【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.由，得，即，从而，即故选：D
【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围
8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【分析】就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.
【详解】令，则或，
由，当时，在0,4上没有零点，
则在0,4上应有3个零点，因为，所以，即，与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；当时，在0,4上有1个零点，
在0,4上有3个零点，不满足题意；当时，在0,4上有2个零点，故在0,4上应有1个零点，因为，所以该零点与的零点不相同，所以，即，与联立得，因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量D. 若，则
【答案】AD
【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.
【详解】对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，由，共线，得，解得，B错误；
对于C，当时，是单位向量，C错误；
对于D，当时，，则，D正确．
故选：AD
10. 在等比数列中，，则（ ）
A. 的公比为B. 的公比为2
C. D. 数列递增数列
【答案】BC【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.
【详解】设等比数列an的公比为，
依题意得解得所以故，故BC正确，A错误；对于D，，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.
【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误；
把，，代入，整理得，B正确；
分别作出与的图象如下：
两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条．
因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确；
因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，
直线的方程为，与联立得，
所以，所以，
由且可得，
设，则，所以，所以，D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量满足，且，则________.
【答案】【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.
【详解】因为，所以，则，
所以.故答案为：.
13. 若，且，则__________.
【答案】【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解.【详解】由，得.
因为，所以，则，则.
由，得，则，解得.故答案为：.
14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 －eq \f(9,25)
解析 依题意，B，C，P三点共线，
∴eq \f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq \f(a3,b3)，
依题意，eq \f(a3,b3)＝eq \f(2a3,2b3)＝eq \f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq \f(a1＋a5×\f(5,2),b1＋b5×\f(5,2))＝eq \f(S5,T5)＝eq \f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq \f(17,25)，
∴λ＝1－2×eq \f(17,25)＝－eq \f(9,25).
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
【答案】(1);(2)，
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，
根据题意可得，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以.
16. （15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.（2）若点在边上，且，求的取值范围.
【答案】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以，整理得又，所以，从而，整理得，则.
由，得，
即，结合锐角中，，
则，即.
【小问2详解】
如图，由，可得，则.
在中，由正弦定理得，
整理得.
因为，且是锐角三角形，所以解得，
则，
从而，即的取值范围为.
17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）记，则，
，所以，
因为，
所以且，，．
（2）令，则，
恒成立，在递增，在递增，
在递增，，即.
（3）由题，，则，则，
令，
易得在上递增，在上递减，从而，
即当且仅当时取等号），
，即，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
18. （17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)写出EXn与EXn−1n≥2的递推关系式，并证明EXn+50为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26≈2.986）
【答案】(1)EX1=40，分布列见解析；
(2)EXn=1.2EXn−1+10(2≤n≤6)，证明见解析；
(3)所得奖券数额的期望约为593.7元.
【分析】（1）利用古典概型求出抽到红球、黑球的概率，求出EX1，再求出X2的可能值及对应概率列出分布列.
（2）分析求出递推关系，利用构造法证明即可.
（3）由（2）的结论，利用分组求和及等比数列前n项和公式求解即得.
【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为610=0.6，抽到一个黑球的概率为0.4，
显然X1的值为25，50，则PX1=25=0.4,PX1=50=0.6，
所以EX1=25×0.4+50×0.6=40，
又X2的值为25,50,100，
则PX2=25=0.4,PX2=50=0.4×0.6=0.24,PX2=100=0.6×0.6=0.36，
所以X2的分布列为：
（2）依题意，当n≥2时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为2EXn−1，对应概率为0.6，
抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4，
因此当2≤n≤6时，EXn=2EXn−1×0.6+25×0.4=1.2EXn−1+10，
EXn+50=1.2EXn−1+60，即EXn+50=1.2EXn−1+50，又EX1+50=40+50=90，
数列EXn+50为等比数列，公比为1.2，首项为90.
（3）由（2）得，EXn+50=90×1.2n−11≤n≤6，即EXn=90×1.2n−1−50，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为i=16E(Xn)=90(1−1.26)1−1.2−50×6≈90×(1−2.986)−0.2−300=593.7（元）.
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
18.已知.
(1)求的定义域；
(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；
(3)证明：.
【答案】(1)(2)1(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组，构造函数，通过求导推出，即可得到函数的定义域；
（2）由题设不等式恒成立等价转化为，恒成立，讨论函数得，则须使，令得其当且仅当时取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到，取，推得再对进行赋值相加即可得证.
【详解】（1）要使函数有意义，需满足，令，
则，令解得，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
∴fx的定义域为0,+∞；
（2）由恒成立得，，当时，不等式恒成立；
下面说明当且为整数时不等式成立的情况.当时，不等式显然成立，
当时，等价于恒成立，此时恒成立，
令，则，令得，
当即且为整数时，无解；
当即且为整数时，
若，则，若，则，即ℎx在上单调递增，在上单调递减，
则要使不等式恒成立，须使恒成立，
令则故单调递增，
从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述，能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当时，恒成立，即，即，
当时，，即，
令，则有即
于是，
，得证..
X2
25
50
100
P
0.4
0.24
0.36
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