湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题中条件，根据交集和补集的概念，即可求出结果.
【详解】因为全集，，所以，
又，所以.
故选：A.
2. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B错误；
对于C，，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，由，可知在定义域内是奇函数，
又，在上是增函数，在上单调递增，且在上连续不断，
故在定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确；
故选：D
3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.
【详解】解：因为函数为减函数，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
4. 已知函数，则的图象大致是（ ）
A B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性判断A选项；由可以判断B、C选项，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
在定义域内有，
所以函数在定义域上是偶函数，则A选项错误；
又，则B、C选项错误；
故选：D.
5. 设是实数，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合幂函数及指数函数的单调性以及特殊值逐项判断即可.
详解】选项A，可得或或，
反之若则，有取时，
故是的既不充分也不必要条件，故A错误，
选项B，因为，且函数在上单调递增，
所以，不能得出，例如，满足，但此时，
反之，则也即，故B正确，
选项C，推不出，比如，
反之若则有取时，
故是的既不充分也不必要条件，故C错误，
选项D，，同时，
所以是的充要条件，故D错误，
故选：B.
6. 若函数是上的奇函数，且函数在上有最大值2，则函数在上有（ ）
A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最小值0
【答案】D
【解析】
【分析】设，判断其奇偶性，根据在上有最大值，可确定的最值，结合奇函数性质，即可求得答案.
【详解】由题意可设，
而函数是上的奇函数，故，
即为奇函数，
函数在上有最大值2，
即在上有最大值1，
故在上有最小值-1，
则函数在上有最小值0，
故选：D
7. 车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（ ）（参考数据：）
A. 156元/千克B. 158元/千克C. 160元/千克D. 164元/千克
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数运算，化简求的值.
【详解】由题意可知，解得，由，可得．
故选：A.
8. 若实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，然后利用单调性可求解.
【详解】因，
故，
故可构造函数，
根据指数函数的性质可得：在上单调递增，而函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
又由可得，
故，
所以，
故选：C.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若，则函数的最小值为2
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义域不同判断A；由抽象函数定义域求法可判断B；利用基本不等式求函数最值，由等号取得条件判断C；利用不等式性质计算D.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不相同，故不是相同的函数，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，由于无实数根，故取不到最小值2，故C错误；
对于D，由题意 ，所以，又因为，所以，又，则，故D正确.
故选：BD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 函数的图象过定点
D. 若函数在内单调递增，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A根据所给条件化简根式即可，B选项利用完全平方公式计算即可，C选项利用指数型函数过定点判断即可，D选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围.
【详解】选项A，因为，
所以，故A错误，
选项B，因为，所以，
由
，
所以，故B选项正确，
选项C，当时，，
所以函数恒过，故选项C正确，
选项D，由函数是由复合而成，
由在上单调递增，
故由函数在内单调递增，
则可知函数在内单调递增，
所以，即，故D正确，
故选：BCD.
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递减，在上单调递增
D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，据此分析选项，作出函数图象，综合即可得答案．
【详解】根据题意，函数的图象过原点，即，则有，
又由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则，
故，则，故A正确；
的定义域为，且，为偶函数，故B正确；
函数的图象如下：
由图可得函数在上单调递增，在上单调递减，值域为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
12. 若实数x，y满足，，，则（ ）
A. 且B. m的最大值为
C. n的最小值为7D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
对于B：，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
对于C：
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 计算得________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数的运算性质即可求解.
【详解】.
故答案为：
【点睛】本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
14. 若为奇函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.
【详解】由题得函数的定义域为R,
因为函数是奇函数，所以.
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15. 关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式即可得出.
【详解】关于x的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，
当时，不等式化为，此时无解，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
16. 设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解.
【详解】
作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.
要使恒成立，必有，即，
又，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数的大致图象，然后根据函数与的图象的关系，数形结合判段的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，.
（1）求集合和；
（2）集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于的不等式，求出集合，再求出的补集，求出即可；
（2）根据，得到关于的不等式组，求出即可.
【小问1详解】
由集合可知，，得，解得，
所以，
因为，，
所以
【小问2详解】
由题意可得，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为
18. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若正实数，满足，求的最小值.
【答案】18.
19.
20.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【小问1详解】
由为幂函数得：，
且在上单调递增，
所以，
又，所以或，
当时，为奇函数，不满足题意，
当时，为偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
由函数为偶函数，
所以
且在上单调递增，
所以，
即，
所以的取值范围为：，
【小问3详解】
因为且，
所以，
所以
，
当且仅当
且，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）当时，求，的值：
（2）若函数在上单调递减.
（i）求实数的取值范围：
（ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到时的解析式，求出，的值；
（2）（i）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出；（ii）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为恒成立，求出答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，，，
因为为定义在上的奇函数，
所以，故，所以，
所以；
【小问2详解】
（i）在上单调递减，
，开口向下，对称轴为，
所以，解得，
（ii）为定义在上的奇函数，
故，
又在上单调递减，故在R上单调递减，
故，即恒成立，
由于，故，
实数的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性与单调性，并加以证明；
（2）设函数，，，利用（1）中的结论求函数的最小值.
【答案】（1）奇函数；在，上皆为增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义即可判断的奇偶性，利用单调性定义判断在上的单调性，再结合其奇偶性即可判断上的单调性；
（2）化简，并换元，确定t的范围，将化为，讨论二次函数对称轴和给定区间的位置关系，即可求得答案.
【小问1详解】
判断为奇函数，在，上皆为增函数，
证明如下：
由题意知函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
任取，则，
因为，，所以，
则，所以，
即在上为增函数，
又为奇函数，故在上也为增函数.
【小问2详解】
，
设，由（1）知在上单调递增，故，
故即为，其图象对称轴为，
当时，在上单调递增，则；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，在上单调递减，则；
故.
21. 某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）.
（1）试将用和表示；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标后，可知；
（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.
【小问1详解】
解：由抛物线方程得： ，
∵，均为圆半径，
，圆的半径为：，
∴，入抛物线方程可得，解得，
∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，
∴，
∴，.
【小问2详解】
解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，
，整理可得：，
，
（当且仅当时取等号），
，
.
∴的取值范围为：
22. 已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】分析：（1）问题等价于恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可；
（2）由，令，分 三种情况进行讨论求出的最小值，令其为，即可求出的值.
（3）由题意对任意恒成立，当时容易判断，当时转化为函数的最值问题即可求解.
详解：（1）
（2），令，则，
当时，无最小值，舍去；
当时，最小值不是，舍去；
当时， ，最小值，
综上所述，.
（3）由题意，对任意恒成立.
当时，因且，故，即；
当时，，满足条件；
当时，且，故，；
综上所述，.