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湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷（Word版附解析）
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命题学校：黄冈中学 命题教师：董明秀
审题学校：黄梅一中 审题教师：石亚林
考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1:1B. 3:2C. D.
2. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A. A与B互斥B. B与C互对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行
B. 已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A 该次数学史知识测试及格率超过90%
B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
10. 已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若A，B，C三点共线，则
C. 若向量与垂直，则最小值为1
D. 向量与的夹角正切值的最大值为
11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（ ）
A. 平面B. 到平面的距离为1
C. 平面平面D. 正方体的棱长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则___________．
13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.
14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足，．
（1）求；
（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．
16. 如图，在三棱柱中，，，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角平面角的正弦值．
17. 在锐角中，其内角的对边分别为，已知．
（1）求值；
（2）若，，求△ABC的面积．
18. 辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级. 若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别；甲、乙在面试中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.
19. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则．
如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．
（1）在图2中，用三面角余弦定理求的值；
（2）在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：；
（3）在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值．
命题学校：黄冈中学 命题教师：董明秀
审题学校：黄梅一中 审题教师：石亚林
考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1:1B. 3:2C. D.
2. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A. A与B互斥B. B与C互对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行
B. 已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A 该次数学史知识测试及格率超过90%
B. 该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名
10. 已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若A，B，C三点共线，则
C. 若向量与垂直，则最小值为1
D. 向量与的夹角正切值的最大值为
11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（ ）
A. 平面B. 到平面的距离为1
C. 平面平面D. 正方体的棱长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则___________．
13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.
14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足，．
（1）求；
（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．
16. 如图，在三棱柱中，，，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角平面角的正弦值．
17. 在锐角中，其内角的对边分别为，已知．
（1）求值；
（2）若，，求△ABC的面积．
18. 辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级. 若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别；甲、乙在面试中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.
19. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则．
如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．
（1）在图2中，用三面角余弦定理求的值；
（2）在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：；
（3）在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值．
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