人教版高中数学选择性必修三 精讲精练选择性必修3 全书总结及测试（2份，原卷版+解析版）

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选择性必修3 总结及测试考点一 排列组合【例1-1】（2024重庆开州）（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【解析】对于选项A：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故A错误；对于选项B：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故B正确；对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故C正确；对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有种；所有人去了两个小区，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故D正确；故选：BCD.【例1-2】（2023·重庆永川·阶段练习）（多选）从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（    ）A．偶数有个 B．比大的奇数有个C．个位和百位数字之和为的数有个 D．能被整除的数有个【答案】ACD【解析】对于A，先从，，中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，一共有个，故正确；对于B，分2种情况讨论,若百位数字为3或5,有个三位奇数,若百位数字为4或6,有个三位奇数,则符合题意的三位数有个，故错误；对于C，个位和百位的数可以是，，顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，所以一共有个，故正确；对于D，要使组成的数能被整除，则各位数之和为的倍数，取出的数有，，，，，，，，共种情况，所以组成的能被整除的数有个，故正确．故选：ACD.【例1-3】（2024江苏常州）（多选）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法，故共有个不同方法.正确；选项B：,方法总数不对.错误；选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有个方法，上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法.故共有个不同方法.正确；选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有个不同方法. 综合①②可知方法总数为：个不同方法.正确.故选：ACD【例1-4】（2023江苏泰州·开学考试）（多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.故选：.考点二 二项式定理【例2-1】（2024·江西）（多选）在的展开式中（    ）A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大C．所有项系数之和为 D．不含常数项【答案】ABD【解析】由于二项式系数之和为，故A正确．设展开式第项为，易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确,令得所有项系数之和为，故C错误，当，则，但，故展开式不含常数项，D正确．故选：ABD．【例2-2】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.令，得，故A正确；B.中，含有项的系数为，故B正确；C.当时，，①所以，故C不正确；D.当时，，②①+②，得，所以，故D正确.故选：ABD【例2-3】（2024·河北）（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ）A．展开式的常数项为B．C．展开式中系数最大的项的系数为80D．所有幂指数为非负数的项的系数和为【答案】ACD【解析】令，得，解得，B错误；因为的展开式的通项公式为，可得，则，则有：展开式的常数项为，A正确；展开式中系数最大的项的系数为80，C正确；所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确．故选：ACD.【例2-4】（2024·辽宁）的展开式中的系数为（    ）A．55 B． C．30 D．【答案】C【解析】对，有，令，有，令，有，则，故的展开式中的系数为.故选：C.【例2-5】（2024·安徽蚌埠）的展开式中，的系数为（    ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】依题意，，，所以的展开式中，的系数为.故选：B考点三 条件概率及全概率【例3-1】（2024河北）甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设“甲同学报的活动其他同学不报”，“4位同学所报活动各不相同”，由题得，所以.故选：C.【例3-2】（2024·宁夏吴忠）已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，则，，.故选：A.【例3-3】（2024·河南）已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），所以，，，，则所求概率为.故选：B【例3-4】（2023湖南邵阳）一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂，事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂，则，,故，则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为,故选：A【例3-5】（2024·河北沧州）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.【答案】(1)(2)①方案二中取到红球的概率更大；②【解析】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，所以试验一次结果为白球的概率为，所以，所以选到的袋子为甲盒的概率为.（2）①所以方案一中取到黑球的概率为：，方案二中取到黑球的概率为：，因为，所以方案二中取到黑球的概率更大.②随机变量的值为，依据以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以随机变量的数学期望的最大值.考点四 超几何分布及二项分布【例4-1】（2024·新疆）水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，0.8【解析】（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，故恰好抽到2个礼品果的概率为；（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，则，所以的分布列为：故的数学期望.【例4-2】（2024上海）袋中有大小和质地均相同的10个球，其中4个黄球，6个白球，从中随机地摸出3个球，用表示其中黄球的个数.(1)采用不放回摸球，求的分布；(2)采用有放回摸球，求的分布､期望和方差.【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析，，.【解析】（1）各次试验的结果不独立，故服从超几何分布.，其中.的分布为（2）每次摸到黄球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故.，其中.的分布为，期望，方差.【例4-3】（23-24高二上·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大.【解析】（1）由题知：可取2，4，6，8，则，，，，故的分布列为：则的期望.（2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，故（），假设当时，概率最大，则，解得，而.故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，故（），所以Y的分布列为：从分布列中可以看出，概率最大为，所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．考点五 正态分布【例5-1】（2024·湖南邵阳）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.附：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)0.02；69；(2)910（人）(3).【解析】（1），.样本平均数的估计值为.（2）..能参加复试的人数约为（人）.（3）由题意有.答对两道题的概率.而.令，则，当时，在内单调递减；时，在内单调递增.当时，.故概率的最小值为.【例5-2】（2024高二下·江苏·专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．(1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题．①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）；②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．【答案】(1)①；②答案见解析(2)分布列见解析，【解析】（1）解：①因为，所以，又因为，所以，因为，所以.②由①知，又由这25个面包的平均质量为，因为，而为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包的理由.（2）解：设取出黑色面包的个数为，则的所有可能取值为，可得，，，所以分布列为所以期望为.考点六 回归方程及独立性检验【例6-1】（23-24山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ）A．-2 B．-1 C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，则.故选：C.【例6-2】（2024·河南郑州）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；(3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求．参考数据：，，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】(1)说明见解析(2)(3)【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得，，，，，，，∴．因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）由及（1）得，，所以y关于x的回归方程为．（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列所以.【例6-3】（2024湖南邵阳）为响应国家绿色环保的政策，改善空气质量，某监测部门对某地区空气质量进行调研，随机抽查该地区100天空气中的PM2.5和浓度（单位：），得下表：(1)估计事件“该地区一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：根据所列的列联表计算，并判断是否有99%的把握认为该地区一天空气中PM2.5浓度与浓度有关？附公式和参考数据：【答案】(1)(2)列联表见解析，有【解析】（1）由表格可知，该地区天中，空气中的PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的天数有天，所以该地区一天中，空气中的PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率；（2）由所给数据，可得列联表为：根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该地区一天空气中PM2.5浓度与浓度有关．【例6-4】（23-24广东广州·阶段练习）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.  表中：，(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（2）参考数据：，，，，【答案】(1)②更适宜，；(2)7.5min.【解析】（1）由散点图知，更适宜的回归方程为②，即.由，得，两边取自然对数，得，令，则，，结合表中数据，得，结合参考数据可得，由，得，所以茶水温度y关于时间x的回归方程为.（2）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳，即，整理得，于是，解得，所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感.单选题1．（2024·内蒙古呼和浩特）在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（    ）种.A．6 B．9 C．12 D．24【答案】C【解析】男生的分配方法有,女生的分配方法有，所以总的分配方法有，故选：C2.（福建省泉州市2024届高三质量监测（三）数学试题）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）附：若：，则，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【答案】D【解析】骰子向上的点数为偶数的概率，故，显然，其中，，故，，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为.故选：D3．（2023·四川宜宾）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ）A．百只 B．百只C．百只 D．百只【答案】D【解析】由题意，两边取自然对数得，令，则，，，∵回归直线必过样本点的中心，∴，得，∴，则，当时，．故选：D.4．（2024·辽宁）展开式中的系数为（    ）A．15 B．20 C．75 D．100【答案】A【解析】展开式中：若提供常数项3，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得．可知时，可得展开式中的系数为．可知时，可得展开式中的系数为．展开式中的系数为：．故选：A．5．（2023山东）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x可能的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员．则由已知，，所以，所以，故C正确．故选：C6.（2023吉林长春）随机变量服从正态分布，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，则，，，且，，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：D.7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ）①事件与相互独立        ②③                ④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】显然，，，是两两互斥的事件，且，，而，①错误；，，所以，②正确；，③正确；，④错误，综上：结论正确的个数为2.故选：C.8．（2023广东梅州）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则不正确的是（    ）A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】B【解析】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；故选：B多选题9．（2023山西晋中）现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（    ）A． B．C． D．【答案】CD【解析】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况．则有种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，则歌手不相邻有种排法．故选：CD10．（2023江苏苏州）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A．所有可能的方法有种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【解析】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD11．（23-24 湖北襄阳 ）已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论正确的是（    ）A． B．展开式中常数项是160C．展开式共有6项 D．展开式所有项系数和是【答案】AB【解析】的展开式第3项为，则由已知可得，解得，A正确；展开式的通项为，令得，故展开式中常数项是，B正确；展开式共有项，C错误；令可得展开式所有项系数和是，D错误.故选：AB.12．（2024·云南）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（    ）A． B．C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则【答案】ACD【解析】因为，A正确，B错误；由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确；若A，B互斥，则，，，D正确．故选：ACD填空题13．（2023高三上·全国·专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 .【答案】【解析】，，解得：，.故答案为：.14．（23-24·上海·阶段练习）三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 .【答案】/【解析】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q，且相互独立，则，设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，则.故答案为：.15．（23-24·山东·开学考试）从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 ．【答案】【解析】表示“取到的两个数为偶数且和为偶数”，，而，故，故答案为：.16．（2024·江苏·专题练习）小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是，第二个球的号码是，记，若公司规定时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元．【答案】【解析】由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是，取一次球，取得号码是2的概率是，取一次球，取得号码是3的概率是，因为，，当，所以或，故；当，则，所以，当，则，所以，设奖金为，则．则它的分布列为所以．故答案为：解答题17．（23-24高二下·云南红河）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．【答案】(1)表格见解析，演算步骤见解析(2)【解析】（1）根据三个年级的人数比值为，则，，，由每个年级的抽取比例可知，，，由全概率公式，得，（2）该学生来自于高一年级的概率.18．（2024·安徽安庆 ）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．参考数值：，，．(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)68(2)①；②分布列见解析，.【解析】（1）．所以符合该项指标的学生人数为：人．（2）①记表示解答A类试题第一次测试合格，，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，则，．②设X的取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为数学期望．19．（2024黑龙江大兴安岭地 ）碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）(1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？(2)根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程．①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？参考数据：．参考公式：．【答案】(1)3.3（亿吨），0.21（亿吨）(2)①；②大约在2026年实现碳达峰【解析】（1）2017年的估计值：（亿吨），从而估计减少碳排放量为（亿吨）．（2）①设，则，，∴∴∴，②∵y的对称轴为，∴大约在2026年实现碳达峰，20．（2024·内蒙古包头）为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：  (1)根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；(2)求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值的中位数，并将日平均降低血压数值超过和不超过的患者数填入下面的列联表：(3)根据（2）中的列联表，能否有的把握认为这两种药物的疗效有差异？附：，【答案】(1)乙药的疗效更好，理由见解析(2)，列联表见解析(3)没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异【解析】（1）乙药的疗效更好．参考理由如下：（ⅰ）用各自的平均数说明．设甲药观测数据的平均数为，乙药观测数据的平均数为，由茎叶图可知，，，因为，所以乙药的疗效更好．（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．由茎叶图可知，用甲药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，用乙药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．（ⅲ）用各自的中位数说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为，用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为，所以乙药的疗效更好．（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；用乙药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间内，所以乙药的疗效更好．（2）由茎叶图可知内有个数据，内有个数据，内有个数据，，则中位数位于之间，且内的数据从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，所以中位数．列联表如下：（3）由于，所以没有的把握认为这两种药物的疗效有差异．21．（2024江苏·专题练习）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.  (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；(2)中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）参考数据：，，.【答案】(1)(2)分布列见解析，总金额为元【解析】（1）依题意，，所以，故．（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于74分的概率为．Y的所有可能取值分别为10，20，30，40．，，，，所以Y的概率分布为所以，所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元．22．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.【答案】(1)分布列见解析；(2)(3)证明见解析【解析】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率.设事件表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量表示第二题得分.依题得，可能取值为.因为，， 所以所以的分布列为:所以.（2）依题得，，所以，又因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以，.（3）由（2）可知，，.依题得，可能取值为.，，所以.等级标准果优质果精品果礼品果个数个10254025012012301232468012345012 346722.54.57x159165170176180y6771737678XPM2.53218468123710PM2.50.0500.0100.001k3.8416.63510.828PM2.5合计641680101020合计742610073.53.85第个月123繁殖数量10005002000事件概率概率值事件概率概率值X012P年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567年度碳排放量y（单位：亿吨）2.542.6352.722.802.8853.003.09超过不超过服用甲药服用乙药0.150.100.052.0722.7063.841超过不超过服用甲药713服用乙药137Y10203040P