2024年人教版数学八年级下册同步讲义+分层练习专题18.1 平行四边形（2份，原卷版+教师版）

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专题18.1 平行四边形（教师版）1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．掌握平行四边形的判定定理； 3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题；4. 掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。知识点01 平行四边形的性质【知识点】1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：（1）性质1（边）： = 1 \* GB3 ①对边相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。【知识拓展1】平行四边形的性质例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直【即学即练】1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积例2． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【即学即练】1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（　　）A．150° B．40° C．80° D．90°2．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标例3．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【即学即练】1．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题例4．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）A．40° B．36° C．50° D．45°【即学即练4】1．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题） 例5．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练】1．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【知识拓展6】平行线间距离的应用例6．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．【即学即练】1．（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．知识点02 平行四边形的判定【知识点】平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。注： = 1 \* GB3 ①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； = 2 \* GB3 ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。【知识拓展1】平行四边形的判定例1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形【即学即练1】1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形例2．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）A． B． C． D．【即学即练2】2．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）A． B． C． D．【知识拓展3】证明四边形是平行四边形例3．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【即学即练3】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解例4．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．【即学即练4】1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）A．5 B．2 C．2 D．3【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明例5．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．【即学即练】1．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明；（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．【知识拓展6】平行四边形中的动态问题 例6．（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．【即学即练】1．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？2．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．知识点03 三角形的中位线定理【知识点】三角形的中位线定理：1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。【知识拓展1】与中位线相关的计算问题 例1．（2022·福建·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）A．25° B．30° C．35° D．50°【即学即练】1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）A． B． C． D．【知识拓展2】三角形的中位线与面积 例2．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．【即学即练】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）A． B． C． D．【知识拓展3】与中位线相关的证明问题 例3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．【即学即练3】1．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长．题组A 基础过关练1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）A．24