人教版八年级下册18.1 平行四边形综合与测试教学设计

2020-2021学年八年级数学人教版下册期末复习：

平行四边形（一）

一．选择题

1．下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

2．设A，B表示两个集合，我们规定“A∩B”表示A与B的公共部分，并称之为A与B的交集．例如：若A＝{正数}，B＝{整数}，则A∩B＝{正整数}．如果A＝{矩形}，B＝{菱形}，则所对应的集合A∩B是（　　）

A．{平行四边形} B．{矩形} C．{菱形} D．{正方形}

3．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（　　）

A．8条 B．9条 C．10条 D．11条

4．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（　　）

A．3 B． C．5 D．

5．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（　　）

A．AB B．AC C．AB D．AC

二．填空题

6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为　 　．

7．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝　 　．

8．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是　      　．

9．某多边形从一个顶点出发有5条对角线，则该多边形共有　   　条对角线．

10．已知一个多边形有且只有两条对角线，则该多边形的内角和为　     　．

11．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正六边形，记作（6，6，6）；又如，（3，3，6，6）表示2个正三角形和2个正六边形的组合．请你再写出除了以上所举的三例以外的三种方案：　                　．

三．解答题

12．如图，点D、E、F是△ABC各边的中点，已知△ABC的面积是16．分别求出△DBF和△DEF的面积？

13．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．

（1）若EF＝5cm，则AB＝　   　cm；若BC＝9cm，则DE＝　   　cm；

（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．

14．BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，易证FG＝（AB+BC+AC）．

（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形并说明理由；

（2）若BD、CE分别是△ABC的内角和外角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形并说明理由．

15．在证明三角形中位线性质“如图，已知EF是△ABC的中位线，求证：EF∥BC，EF＝BC”时，小雨根据老师的引导给出了一种思路：延长EF至D，使EF＝DF，连接AD、CE，证明四边形AECD是平行四边形即可．

小婷思考后认为小雨的思路是正确的，可行的．

你能在这样的思路下完成证明吗？请写出你的证明过程．

16．在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过程．

17．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．

18．小张升入高中，开学第一天，老师让班级的同学每两个人相互握手，结成好朋友，其中发现所有的同学一共握手820次．我们可以通过这个数据求出班级里的学生人数，设班级共有学生n人，则每一个学生需握手n﹣1次，这样n个学生就握了n（n﹣1）次手，而每两人之间的握手被重复计算了一次，所以可得，这样就可以解出n了．你看明白了没有？

（1）请你运用上述方法，探索8边形对角线的条数．并写出你的思路；

（2）请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式．

19．实践与探索！

①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成　 　个三角形；

②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成　 　个三角形；

③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外　 　个顶点连线可以把n边形分成　 　个三角形（用含n的代数式表示）．

④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．

20．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．

21．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系，并说明理由；

（2）如果∠C＝128°，求∠AEB的度数．

参考答案

一．选择题

1．解：矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直．故选：B．

2．解：∵“A∩B”表示A与B的公共部分，A＝{矩形}，B＝{菱形}，

∴A∩B＝{正方形}．

故选：D．

3．解：∵多边形的每个内角都等于150°，

∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°＝30°，

∴边数n＝360°÷30°＝12，

∴对角线条数＝12﹣3＝9．

故选：B．

4．解：延长BD交CA的延长线于E，

∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，

∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADB（ASA），

∴BD＝DE，AB＝AE＝6，

∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，

又∵M为△ABC的边BC的中点，

∴DM是△BCE的中位线，

∴MD＝CE＝×15＝7.5．

故选：D．

5．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．

又∵点D是AB的中点，

∴EF＝AE．

∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，

∴∠FBC＝∠BFC，

∴BC＝FC，

∴BC+2AE＝AC．

故选：B．

二．填空题（共6小题）

6．解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝4，

故答案为：4．

7．解：在△CDA和△CDF中，

，

∴△CDA≌△CDF，

∴AD＝DF，CF＝AC＝15，

∴BF＝BC﹣CF＝12，

∵AD＝DF，AE＝EB，

∴DE＝BF＝6，

故答案为：6．

8．解：第一个是1×3，

第二个是2×4，

第三个是3×5，

…

第 n个是n•（n+2）＝n2+2n

故答案为：n2+2n．

9．解：设多边形有n条边，

则有条对角线，

则n﹣3＝5，

解得n＝8．

＝＝20，

故该多边形共有20条对角线．

故答案为：20．

10．解：∵一个多边形有且只有两条对角线，

∴该多边形的边数为4，

∴该多边形的内角和为360°，

故答案为：360°．

11．解：正方形的一个内角度数为180﹣360÷4＝90°，4个能组成镶嵌，记做（4，4，4，4）；

正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么一个正三角形，2个正方形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，4，4，6）；

4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，3，3，3，6），

∴三种方案为：（4，4，4，4）、（3，4，4，6）、（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．

三．解答题（共10小题）

12．解：∵点D，F分别是△ABC的三边AB，BC上的中点，

∴DF∥AC，DF＝AC．

∴△DBF∽△ABC，且相似比为．

∴S△DBF＝S△ABC＝×16＝4；

∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，

∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，

∴△DEF∽△ABC相似，相似比是，

S△DEF＝S△ABC＝×16＝4．

综上所述，△DBF和△DEF的面积都是4．

13．解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AB且EF＝AB．

又EF＝5cm，

∴AB＝10cm．

同理，DE＝BC＝4.5cm；

故答案是：10、4.5

（2）互相平分，

理由：如图，连接DF，

∵AD＝EF，AD∥EF，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∴中线AF与DE的关系是互相平分．

14．解：（1）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，

∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，

∴∠BAF＝∠BMF

∴MB＝AB

∴AF＝MF

同理：CN＝AC，AG＝NG，

∴FG＝MN，

＝（BM+CN﹣BC），

＝（AB+AC﹣BC），

∴线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）；

（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，

同样由（1）中可知，MB＝AB，AF＝MF，CN＝AC，AG＝NG

∴FG＝MN，

＝（CN+BC﹣BM），

＝（AC+BC﹣AB）．

∴线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AC+BC﹣AB）．

15．证明：延长EF至D，使EF＝DF，连接AD、CE，CD，

∵EF＝DF，AF＝CF，

∴AECD是平行四边形

∴AB∥CD，AE＝CD，

∴BE＝CD

∴BEDC是平行四边形

∴ED∥BC，且ED＝BC

∴EF∥BC，EF＝BC．

16．解：27条．

思考过程：通过四边形和五边形的对角线图形可知，

过n边形的1个顶点可以作（n﹣3）条对角线，

故过n个顶点可作n（n﹣3）条对角线，

而这些对角线重复一遍，

故n边形的对角线为条，

所以凸九边形的对角线为＝27．

17．解：凸八边形的对角线条数应该是20．

理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，

∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；

∵n边形共有n个顶点，

∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，

∴能引条．

∴凸八边形的对角线条数应该是：＝20．

18．解：（1）．

答：8边形对角线的条数是20．

（2）从每一个n边形的顶点出发，可以画（n﹣3）条对角线，n个顶点就有n（n﹣3）条，

而每一条又重复了一次，所以有条．

19．解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1＝3个三角形；

②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1＝4个三角形；

③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成 （n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．

④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，

这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，

以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，

所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°．

故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．

20．解：连接AC．

∵AF∥CD，

∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，

又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，

∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．

连接BD．

∵AB∥DE，

∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．

又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，

∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．

21．（1）B′E∥DC，

证明：由折叠得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，

∴B′E∥DC；

（2）解：∵B′E∥DC，∠C＝128°，

∴∠B′EB＝128°，

由折叠得：∠AEB＝∠AEB′＝×128°＝64°．