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2024年人教版数学七年级下册同步讲义+练习专题5.1 相交线 （2份，原卷版+教师版）
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专题5.1 相交线目标导航对顶角、余角、补角。等角的余角或补角的性质. 垂线、垂线段、垂线段的性质点到直线的距离.同位角、内错角、同旁内角。本节内知识点较多，建议教学和学习时做好网络化，即了解知识之间的关联，做到不缺不漏。考点精讲考点1：相交线与对顶角典例：（2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）如图，两条直线相交．(1)如果，求的度数；(2)如果，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“一个角与它的邻补角的和等于”求解即可；（2）根据“一个角与它的邻补角的和等于”可求出，然后利用“对顶角相等”即可确定的度数．【详解】（1）解：∵，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴．方法或规律点拨本题主要考查了邻补角的定义和对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题关键．巩固练习1．（2022春·七年级单元测试）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论．【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意；B．点M不在直线上，故本选项不合题意；C．点M不在直线上，故本选项不合题意；D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．2．（2022春·湖南怀化·七年级统考期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（ ）A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①【答案】B【分析】根据直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸依次判断即可．【详解】解：①射线和直线延伸后可以相交，符合题意；②线段不能向两端延伸，不能相交，不符合题意；③两条直线延伸后可以相交，符合题意；④射线和直线延伸后不能相交，不符合题意；故选：B．【点睛】题目主要考查直线、线段及射线的知识，掌握直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸是解题关键．3．（2022秋·四川绵阳·七年级东辰国际学校校考阶段练习）五条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同五点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（ ）A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝10【答案】A【分析】五条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这五条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m＝n．【详解】解：因为五条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m＝n，故选：A．【点睛】此题考查的是对顶角与邻补角，掌握直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关是解决此题关键．4．（2022秋·福建龙岩·七年级统考期中）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．【详解】解：A．由于直线l2不经过点M，故本选项不合题意；B．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；C．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．5．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则度数是（ ）A．65° B．50° C．25° D．130°【答案】A【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质，可得，进而得到答案．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查了对顶角相等和角平分线的定义等知识，关键是掌握对顶角相等．6．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）如图所示，直线，相交于点O，已知，则的大小为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对顶角相等解答即可．【详解】解：∵，，相交于点O，∴，故选：D．【点睛】此题考查对顶角，解答的关键是熟记对顶角相等这一性质并灵活运用．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，两条直线交于点，若，则的度数为（ ）A． B． C．100 D．【答案】D【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【详解】解：，，，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角的性质，对顶角相等，邻补角互补是解题的关键．8．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，，若，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对顶角求得，根据，根据平角的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，平角的定义，数形结合是解题的关键．9．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD=（ ）A．35° B．40° C．55° D．70°【答案】A【分析】根据OA平分∠EOC，可得，再由对顶角相等，即可求解．【详解】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，∴，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BOD=35°．故选：A【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．10．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有_____．【答案】45【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点．11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，，则∠DON的度数是__________．【答案】##65度【分析】先根据对顶角相等，得出，再根据OM平分∠BOD得出，最后根据∠MON是直角，即可求出结果．【详解】解：∵，∴，∵OM平分∠BOD，∴，∵∠MON是直角，∴．故答案为∶ ．【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，熟练掌握对顶角性质和角平分线的定义，是解题的关键．12．（2022春·七年级课时练习）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数=____．【答案】142.5°或127.5°【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．【详解】解：∵|∠BOD|＝30°，∴∠BOD＝±30°，当∠BOD-∠BOC=30°，如图，∵∠BOC与∠BOD是邻补角，∴∠BOC+∠BOD=180°，∵∠BOD-∠BOC=30°，∴∠BOC=∠BOD-30°，∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，∴∠BOD=105°，∴∠BOC=105°-30°=75°，∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=37.5°，∵∠COE=∠AOC+∠AOE，∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，∵∠BOC与∠BOD是邻补角，∴∠BOC+∠BOD=180°，∵∠BOC-∠BOD=30°，∴∠BOD=∠BOC-30°，∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，∴∠BOC=105°，∴∠BOD=105°-30°=75°，∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=52.5°，∵∠COE=∠AOC+∠AOE，∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，综上：∠COE=142.5°或127.5°，故答案为：142.5°或127.5°．【点睛】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．考点2：邻补角性质的应用典例： 19．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）直线、相交于点，平分，射线于O点，且，求的度数．【答案】【分析】根据及，求得，再由平分，求得，最后由，求得的值．【详解】解：∵于O点，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴．方法或规律点拨本题考查了相交线相关的角度计算问题，熟练掌握角平分线的定义，补角的定义是解题的关键．巩固练习1．（2022春·贵州黔东南·八年级校联考期中）下面四个选项中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据邻补角、对顶角的性质判断即可．【详解】解：A.∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误，不符合题意；B.∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误，不符合题意；C.∠1、∠2是对顶角，∠1=∠2，故本选项正确，符合题意；D.∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等，是解题关键．2．（2022秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（ ）A．对顶角 B．相等但不是对顶角 C．邻补角 D．互补但不是邻补角【答案】A【分析】根据对顶角、邻补角的概念进行判断即可．【详解】解：∵∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，∴∠1与∠3是对顶角，故选：A．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握概念是解题的关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．3．（2022春·七年级课时练习）下面四个图形中，与互为邻补角的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有C图中的是邻补角，其它都不是．故选：C．【点睛】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，熟记邻补角的定义是解题的关键．4．（2022秋·山东德州·七年级统考期中）如图，与是（ ）A．同位角 B．内错角 C．邻补角 D．对顶角【答案】C【分析】根据邻补角的概念进行判断．【详解】解：由图可知，与是邻补角．故选：C．【点睛】本题考查邻补角的概念，掌握两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角是解题关键．5．（2022秋·山东德州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（ ）A． B． C．和 D．和【答案】D【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可．【详解】：解：根据邻补角的定义可知，∠COF的邻补角是∠DOF和∠EOC．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角的概念，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．6．（2022秋·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，∠1的邻补角是（ ）A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOE D．∠BOE和∠AOF【答案】D【分析】根据邻补角的定义：邻补角是指两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角，或两个角有一个公共顶点并且一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线，进行判断即可得到答案.【详解】解：∠1的邻补角是∠AOF和∠BOE，故选D.【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握邻补角的定义.7．（2022春·七年级单元测试）如图，，，点B，O，D在同一条直线上，∠2＝（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余角的概念与邻补角的概念解答即可．【详解】解：∵，，∴．∵点B，O，D在同一条直线上，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了角的和差运算，互余角的关系以及邻补角的关系．准确使用邻补角的关系是解题的关键．8．（2022秋·广东东莞·七年级统考期中）若，则的邻补角是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据邻补角的和是进行求解即可．【详解】解：∵，∴的邻补角为，故选：B．【点睛】此题考查了邻补角，熟练掌握邻补角的和为是解题的关键．9．（2022春·山东菏泽·七年级阶段练习）如图，已知O是直线上一点，，平分，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义得出，再由邻补角计算即可．【详解】解：∵平分，∴．又∵，∴，解得．故选：A．【点睛】题目主要考查角平分线的计算及邻补角，结合图形得出各个角的关系是解题关键．10．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图，直线相交于点O，则的对顶角是____________，的邻补角是____________．【答案】 ## 和【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可．【详解】解：的对顶角是；的邻补角是，；故答案为：；，．【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解．11．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）与是对顶角，与是邻补角，则________度．【答案】【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，，∴，故答案为．【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补，解题的关键是根据题意得到角度关系．12．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）如图，O是直线上一点，，则___．【答案】##148度【分析】依据邻补角进行计算，即可得到∠1的度数．【详解】解：∵O是直线上一点，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．邻补角互补，即和为．13．（2022秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，在所标注的角中．(1)对顶角有_________对，邻补角有_________对；(2)若，，求与的度数．【答案】(1)2，6(2)，【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义结合图形进行判断即可；（2）利用角的和差关系，邻补角的定义进行计算即可．【详解】（1）解：图中的对顶角有∠5与∠7，∠6与∠8共2对，邻补角有：∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5，共6对．故答案为：2；6．（2）∵与是邻补角，∴，∵，∴，∵，∴，∵与是邻补角，∴．【点睛】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角互补是正确解答的前提．14．（2022秋·陕西咸阳·七年级校联考期中）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)在图中与∠AOC互补的角是 ；(2)若∠COF＝26°求∠BOD的度数．【答案】(1)∠BOC，∠AOD，(2)38°．【分析】（1）根据补角的定义可求解；（2）由角的和差可求出∠EOF的度数，利用角平分线的定义可求得∠AOE的度数，结合补角的定义可求得∠BOE，∠DOE的度数，进而可求∠BOD的度数．（1）解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC+∠AOD＝180°，∴与∠AOC互补的角是∠BOC，∠AOD，故答案为：∠BOC，∠AOD；（2）∵∠COF＝26°，∠COE＝90°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣26°＝64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝64°×2＝128°，∴∠BOE＝180°﹣128°＝52°，∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣52°＝38°．【点睛】本题考查了补角的定义，角平分线的定义，角的和差运算等，准确找出角与角之间的关系是解题的关键．15．（2022秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）阶段练习）如图，直线，相交于点，平分，．(1)若，求的度数；(2)猜想与之间的位置关系，并证明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的定义即可得出答案；（2）根据平角的定义，角平分线的定义以及对顶角，设未知数表示图形中的各个角，再根据角之间的和差关系得出结论．【详解】（1）解：，，平分，，，即；（2），证明：设，则，，，又平分，，又，， ，即．【点睛】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．16．（2022春·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，相交于点，．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可；（2）根据，以及互为补角的定义可求出，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．17．（2022秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，直线，相交于，是的角平分线．(1)的对顶角是 ___________；(2)若，求、的度数．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据对顶角定义直接解答即可；（2）由邻补角定义求出的度数，再根据角平分线定义求出，即可得到的度数．【详解】（1）解：由对顶角的定义可知，的对顶角是，故答案为：；（2），，，又是的角平分线．，，答：的度数为．【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角定义，对顶角定义，正确理解各定义并理解图形中各角的位置关系及数量关系是解题的关键．18．（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知直线经过点，，是的平分线.(1)如图1，若，求；(2)如图1，若，直接写出______；（用含的式子表示）(3)将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由．【答案】(1)(2)(3)成立，【分析】（1）如图1，根据平角的定义和，从而，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；（2）如图1，根据平角的定义和，从而，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；（3）如图2，根据平角的定义得，根据角的差可得（2）中的结论还成立．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，，∵平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：（2）中的结论还成立．理由如下：∵，，∴∵平分∴∵∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．考点3：点到直线的距离与垂线段最短典例：17．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE．（1）若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______；（2）若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______．【答案】 1.5## 115°##度【分析】（1）根据点到线的距离解答即可；（2）根据垂直的定义求出∠COE=90°，根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD＝25°，即可求出∠AOE．【详解】解：（1）∵于点O，∴点E到直线CD的距离是OE＝1.5，故答案为：1.5；（2）∵于点O，∴∠COE=90°，∵∠AOC=∠BOD＝25°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°，故答案为：115°．方法或规律点拨此题考查了点到直线的距离定义，垂直的性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，，，为垂足，那么，，三点在同一条直线上，其理由是（ ）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，三点在同一条直线上，其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：D【点睛】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键．2．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）已知：如图，于点O，c为经过点O的任意一条直线，那么与的关系是（ ）A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等【答案】A【分析】根据对顶角相等得到，利用，得到，即可推出．【详解】解：由题意得，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了对顶角相等，垂直的定义，余角的定义，熟记各定义是解题的关键．3．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，图中直角的个数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据直角的定义进行求解即可．【详解】解：由题意得，图中的直角有一共五个，故选D．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知垂线的定义是解题的关键．4．（2022春·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（ ）A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对C．两人都对 D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．5．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）A．OA B．OB C．OC D．OD【答案】B【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．【详解】由垂线段最短，得四条线段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是，故选：B．【点睛】本题考查了垂线段的的性质，熟记性质是解题关键．6．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：C．【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．【详解】解：①线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故原说法正确；②线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；综上所述，正确的说法有①③；故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．8．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据余角的性质判断①；根据对顶角的性质判断②；根据垂线的性质判断③④；根据点到这条直线的距离判断⑤．【详解】解：同角的余角相等，故①符合题意；对顶角相等，故②符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③不符合题意；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④符合题意；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意；正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了点到直线的距离，余角和补角，垂线，垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．9．（2022春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③相等的两个角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，内错角相等；⑤如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质求解判断即可．【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，故正确，符合题意；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故正确，符合题意；相等的两个角不一定是对顶角，故错误，不符合题意；两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，不符合题意；如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故错误，不符合题意；综上，符合题意得有个，故选：B．【点睛】此题考查了对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．10．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，直角三角形中，，，垂足是点，则下列说法正确的是（ ）A．线段的长表示点到的距离 B．线段的长表示点到的距离C．线段的长表示点到的距离 D．线段的长表示点到的距离【答案】C【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可．【详解】解：A．线段的长度表示点A到的距离，说法错误，不符合题意；B．线段的长度表示点C到的距离，说法错误，不符合题意；C．线段的长度表示点B到的距离，说法正确，符合题意；D．线段的长度表示点B到的距离，说法错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．11．（2022秋·广东揭阳·七年级校考期中）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意；∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意；点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意；点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意；线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意；同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意．综上，正确的有①⑤⑤共3个，故选：B．【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．12．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）①与互相垂直；②与互相垂直；③点A到的垂线段是线段；④点C到的垂线段是线段．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】用直线垂直的定义以及点到直线距离的定义对选项进行判断，从而得出正确的个数．【详解】解：①∵∠ACB=90°，∴BC与AC互相垂直，①正确；②∵∠ACB=90°，∠ACD＜∠ACB，∴AC与CD不互相垂直，②错误；③点A到BC的垂线段是线段AC，③错误；④∵CD⊥AB，垂足为点D，∴点C到AB的垂线段是线段CD，④正确；综上所述，结论中正确的有两个，故选：B．【点睛】本题考查了点到直线距离的基本定义，关键在于熟练掌握该定义，并对选项进行正确判断从而得出答案．13．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，．【答案】10或70##70或10【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．【详解】解：如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴(秒)；如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴旋转角为，∴(秒)；故答案为：10或70．【点睛】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的定义求解即可．14．（2022秋·北京·七年级校考期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，……，其中，这些线段，…中，最短的线段是 ___ ，理由 ___．【答案】 ## 垂线段最短【分析】根据点到直线垂线段最短可得答案．【详解】解：根据点到直线垂线段最短可知，最短的线段是，理由：垂线段最短，故答案为：①，②垂线段最短．【点睛】本题考查了点到直线垂线段最短，题目比较简单，属于基础题．15．（2022秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）阶段练习）如图，，，，，，，则点A到直线的距离是______，点到直线的距离是______，点到直线的距离是______．【答案】 【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．【详解】解：，，，，，，点A到直线的距离是，点到直线的距离是，点到直线的距离是．故答案为：，，．【点睛】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．16．（2022春·七年级单元测试）如图，，垂足为．(1)比较的大小，并用“”号连接．(2)若，求和的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图形可判断各角的大小．（2）根据图形可得，根据平角的定义求得．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题考查了角的关系，垂直的定义，通过已知角求得未知角，数形结合是解题的关键．考点4：与垂线有关的作图问题典例：（2022春·广东惠州·七年级统考期末）如图，平面上有三个点A，B，C．(1)根据下列语句按要求画图（保留作图痕迹）．①画射线AB，在线段AB的延长线上截取BD＝AB；②连接CA，CD；③过点C画CE⊥AD，垂足为E．(2)在线段CA，CE，CD中，线段 最短，依据是 ．【答案】(1)见解析(2)、垂线段最短【分析】（1）利用直尺、圆规和三角板根据题目要求作图即可；（2）利用平面内直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短求解可得．（1）解：画出图形，如图所示．（2）在线段，，中，线段最短，依据是垂线段最短，故答案为：、垂线段最短．方法或规律点拨本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段、射线的概念及垂线段的性质．巩固练习1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意；B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；D．没有垂直于，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．2．（2022秋·北京西城·七年级期中）画图并回答：(1)如图，点P在的边上，①过点P画的垂线交于C；②画点P到的垂线段；(2)上述画图中表示点C到边的距离的线段为________；(3)比较、、的大小_________．【答案】(1)①见解析②见解析(2)(3)【分析】（1）根据垂线的画法作出、即可；（2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断；（3）根据垂线段最短即可判断．【详解】（1）如图，、为所作；（2）是垂线，表示点C到OA边的距离的线段为，故答案为：；（3），，，，，故答案为：．【点睛】本题考查作图——基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短．3．（2022秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；(3)点O到直线PE的距离是线段 的长；(4)点P到直线CD的距离为 ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OP(4)0【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．（1）解：如图，直线PE即为所求；（2）解：如图，直线PF即为所求；（3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．故答案为：OP；（4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．（2022秋·河北邯郸·七年级校考阶段练习）如图，在三角形中，．(1)过点画的垂线，交于点；(2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度；(3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AH(3)AB>AH【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可．（1）解：如图所示（2）∵，∴点到直线的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）AB>AH，理由如下：∵∴AB>BC，∵，∴∴BC >CH，∴AB>AH．【点睛】本题主要考查的是垂线段的画法以及性质，直角三角形的性质，需要熟练掌握垂线的画法，准确判断点到直线的垂线段．5．（2022秋·山东淄博·七年级校考阶段练习）如图，在同一平面内有三个点A，B，C，按要求画出下列图形：(1)线段AB(2)直线AC(3)射线CB(4)BD⊥AC【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】根据线段，直线，射线和垂线的定义画图即可．（1）解：如图，线段AB即为所求；（2）如图，直线AC即为所求；（3）如图，射线CB即为所求；（4）如图，即为所求．【点睛】本题考查了直线、线段、射线以及垂线的定义，属于基础知识，要学会这些线条的画法，考验学生的理解和动手能力．6．（2022春·江苏无锡·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G；(2)比较BC与BG的大小：BC BG，理由是 ．(3)已知AB=5，求△ABC中AB边上的高h的长．【答案】(1)见详解(2)，垂线段最短(3)【分析】（1）利用网格正方形的性质画垂线即可；（2）利用垂线段最短可得答案；（3）利用等面积法列方程，再解方程即可．（1）解：如图，直线BG即为所求；（2）BCBG，理由是垂线段最短．故答案为：，垂线段最短；（3）如下图，∵，又∵，∴，解得，∴△ABC中AB边上的高h的长为．【点睛】本题主要考查了在网格图中画已知直线的垂线、垂线段的性质、等面积法的应用等知识，掌握“网格正方形的特点及垂线段的性质”是解本题的关键．7．（2022秋·河南平顶山·七年级校考阶段练习）如图，P是∠AOB的边OB上一点．(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；(3)点O到直线PC的距离是线段________的长度；(4)比较PH与PC的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OP(4)PH
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