初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程教学设计，共7页。

课程基本信息
课例编号
2020QJ07SXRJ059
学科
数学
年级
七年级
学期
第一学期
课题
实际问题与一元一次方程（八）——古代问题
教科书
书名：数学七年级上册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 年 月
教学人员
姓名
单位
授课教师
胡波平
北京师范大学附属实验中学
指导教师
黄婉华
北京市西城区教育研修学院
教学目标
教学目标：
1．会准确地将简单的古代问题翻译成现代问题；了解一些代数学的历史知识；能分析出题目中所蕴含的量与量之间的数量关系，设恰当的未知数，建立方程模型。
2. 在具体问题的分析与解决的过程，经历利用字母表示未知量，寻找量与量之间的关系过程，体会“方程”是解决实际问题的有效模型．
3. 在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，提升对数学问题学习与研究的兴趣.
教学重点、难点：能分析出题目中所蕴含的量与量之间的数量关系，设恰当的未知数，建立方程模型。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
例题讲解
例1：今有共买鸡，人出九，盈十一;人出六，不足十六。问人数、物价各几何?
题意是：“有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，则还差16文钱，问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？”
第一遍读题，边读遍圈画出关键词。本题涉及：鸡的价钱，人数，每人出的钱数，人出的总钱数四个量。其中：人数×每人出的钱数=人出的总钱数。
第二遍逐句分析，得出两个相等关系。
人数×9-11=鸡的价钱①
人数×6+16=鸡的价钱②
两个未知量，两个含有这两个未知量的相等关系，可以列方程求出未知量的值。若设人数为x人，则可以用选两个相等关系中任意一个用含有x的式子表示鸡的价钱，比如由①得，鸡的价钱为9x-11 .由相等关系②列方程，得6x+16=9x-11.
我们也可以直接用已学的“表示同一个量的不同式子相等”将相等关系①②变为一个相等关系“人数×9-11=人数×6+16”，一个未知量，一个含未知量的方程。设人数为x人，得出方程6x+16=9x-11.
给出完整的解题过程
可以设鸡的价钱为x文，由①得人数为：，由②：人数为，
利用“表示同一个量的不同式子相等”得，这个方程显然比设人第一种方法复杂得多。
例1这个问题出自于《九章算术》第七章《盈不足》。
《九章算术》是中国古代一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，当时大体已成定本。最后成书最迟在东汉和帝时期，现今流传的大多是在魏晋时期，刘徽为《九章》所作的注本。
《九章算术》内容十分丰富，共收有246个数学问题，分为九章，总结了先秦至东汉时期的数学成就。书中的分数计算方法、联立一次方程解法、负数等，在当时世界上都属于杰出的数学研究成果。《九章算术》第七章《盈不足》总结出了盈亏问题的解法和用同类计算方法计算其他类型算术题的方法。
例2、希腊数学家丢番图(公元3-~4世纪)
的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
他结了婚，又度过了一生的七分之一；
再过五年，他有了儿子，感到很幸福；
可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”
根据以上信息，请你算出：
（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄．
（1）分析：第一遍读题发现，丢番图人生每个阶段的时间长度都与他的寿命有关，我们只需要设他的寿命为x岁，就可以用含有x的式子表示他的人生每个阶段的时间长度了，而每个阶段又组成了他的整个寿命。即“每个阶段时间长度之和=丢番图的寿命”
第二步，逐句读题，用含有x的式子表示丢番图人生的每个阶段的时间长度。
“生命的六分之一”表示为，
“生命的十二分之一” 表示为，
“一生的七分之一” 表示为，
“儿子只活了他父亲全部年龄的一半” 表示为， 儿子的生命长度也是丢番图生命的一个阶段的时间长度。
由相等关系“每个阶段时间长度之和=丢番图的寿命”得
解:设丢番图活了x岁，由相等关系“每个阶段时间长度之和=丢番图的寿命”得
答:丢番图活了84岁.
（2）.丢番图开始当爸爸的年龄:
（岁）
或（岁）
答:丢番图开始当爸爸的年龄为38岁。
（3）儿子死时丢番图的年龄:
(岁)
答:儿子死时丢番图的年龄为80岁。
丢番图(公元3-~4世纪) ，古希腊数学家，对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》（这是公元500年前后的遗物，其中有46首和代数问题有关的短诗）中，收录了丢番图的墓志铭，流传至今。丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上的影响可以和欧几里得的《原本》媲美。《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，代数也披上了几何的外衣。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为“代数学之父”(还有韦达)。
例3、在物理学家辛格尔的回忆录里，曾提到俄国文学家列夫·托尔斯泰很喜欢的一道数学题：
一组割草人要把两片草地的草割完.两片草地一大一小，大的比小的大一倍
大家先都在大片的草地割了半天.午后分成两组，一半人继续在大草地上割,到下午收工时才把草割完；另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块.这一小块次日又由一人去割，割完恰好需要一天功夫.这组割草人有多少人?
分析：第一遍读题，可以获取的信息有：割草人的人数，任务即大、小草坪，时间等信息，说明这是一道工程问题。工程问题的基本关系为：“工作总量=人数×时间×每人每天的工作量.”
第二遍逐句分析题意：无论是大片的草地还小片草地都没有具体面积数量，明显的相等关系有“大片草地面积=2×小片草地面积”①
“大片草地面积=一半人一天的工作量+一半人半天的工作量”②
从而得“大片草地面积=一半人一天半的工作量”
再根据：“工作总量=人数×时间×人均工作效率.”得
“大片草地面积=总人数××人均工作效率” ②
“小片草地面积=一半人半天的工作量+一个人1天的工作量”③
即“小片草地面积=总人数××人均工作效率+1×1×人均工作效率”
“小片草地面积=(总人数× +1) ×人均工作效率③
总人数××人均工作效率=2×(总人数× +1) ×人均工作效率
即总人数× =2×(总人数× +1)
一个未知量，一个含有未知量的相等关系，可以通过列方程求出未知量的值。
解：设割草人的人数为x人，根据相等关系“大片草地面积=2×小片草地面积” 即总人数× =2×(总人数× +1)
列方程:
经检验是方程的解，且符合实际情况.
答：这组割草人共8人.
列夫·托尔斯泰是19世纪中期俄国的文学家，代表作有《战争与和平》、《安娜·卡列尼娜》、《复活》等，据说列夫·托尔斯泰在文学工作之余对数学也很感兴趣，他还写过一本算术课本。
本节小结
本节课主要讲了古代数学问题及与之相关的书籍，人物。帮助大家了解一些与代数学发展有关的历史知识。
（1）遇到古代问题时要将其内容正确地翻译成现代语言.
（2）古代问题反映了人类用数学方法解决生活中的问题的智慧.
课后练习
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”
题意是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”
分析：1里=500米=0.5公里.
本题为典型的行程问题中的追及问题.
慢马先走12天到达C地，快马出发追慢马，慢马继续前行，在B地追上，即同时到达B地，通过线段图可以直观地得到路程之间的相等关系：
慢马12天所行路程+快马出发后慢马所行路程=快马的路程.
“12×150+快马出发后的时间×150=快马出发后的时间×240”
解：设快马x天可以追上慢马，根据相等关系
“慢马12天所行路程+快马出发后慢马所行路程=快马的路程”.
即“12×150+快马出发后的时间×150=快马出发后的时间×240”
得方程为：
经检验是方程的解，且符合实际情况.
答：快马20天可以追上慢马.