数学3.4 实际问题与一元一次方程教案

这是一份数学3.4 实际问题与一元一次方程教案，共10页。
课例编号
2020QJ07SXRJ056
学科
数学
年级
七年级
学期
第一学期
课题
实际问题与一元一次方程（二）
教科书
书名：数学七年级上册
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2012年 6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
田悦
北京师范大学附属实验中学
指导教师
黄婉华
北京市西城区教育研修学院
教学目标
教学目标：1、学习如何用一元一次方程解决实际问题中的工程问题。熟悉审题方法和解题步骤，正确理解问题情境，分析问题中的数量关系，找出合适的相等关系，借助表格、式子分析，选择适当的等量关系，建立一元一次方程；
2、用数学的符号语言正确表达相等关系，即建立问题的方程模型，经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会用一元一次方程刻画实际生活中的问题，逐步提高对数学模型的认识和理解，加强数学建模思想的应用意识，培养运用一元一次方程解决实际问题的能力；
3、在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，感受到数学在生活中的价值，产生对数学学习的兴趣，并能用数学的眼光看待世界.
教学重点：寻找实际问题中的等量关系，建立一元一次方程。
教学难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
创 设 情 境
回顾：
1、工程问题有哪些基本量呢？
工作时间、工作效率、工作总量、
他们之间有哪些关系呢？
计算工作量的基本公式“工作总量=工作效率（一个人一小时完成的工作量）×工作时间”。
基本公式的变形公式为：，
其他：
各阶段（部分）的工作量的和=总工作量
工作量=人均效率×人数×时间
工作总量看作单位“1”
练习：
两支施工队合修一条道路，一队单独修12天修完，
二队单独修18天修完，完成下面填空：
（1）一队平均每天完成全部工作的______，
二队平均每天完成全部工作的______；
（2）一队 t 天完成的工作量是______，
二队 t天完成的工作量是______；
（3）一队、二队合修，平均每天完成全部工作量的_____；
（4）一队、二队合修, t天完成的工作量是_______.
分析问题
解决问题
例 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：
1、第一遍读题，要明确几个基本量，几个阶段，明确哪类问题，初步分析出一部分等量关系，用到的公式
本题的基本量有工作时间，人数. 从而判断本题为工程问题；本题有“先做”“然后”“完成这项工作”所以本题可分成两个阶段（第一阶段：一部分人先做4小时，第二阶段：增加2人后与他们一起做8小时）；根据工程分成两个阶段，得到数量关系：因为是工程问题，有人数这一基本量所以可能用到公式“工作量=人均效率×人数×时间”
2、第二遍读题：逐句分析，表示相关量，重点寻找表示量与量关系的关键词（如增加、减少、倍、几分之几、相等、以及隐含的相等关系等）然后找到等量关系。用半文字半数学符号的式子表示出来。
（黑字为题目，蓝字为教师分析，红字为相等关系）
整理一批图书，由一个人做要40h完成.（对应的一个人的工作效率题目中没有信息，这种情况下，通常把全部工作量表示为1，则人均工作效率可表示为，这句话也可以说成：40工时完成整个工作，所以可以把40h看作总的工作量），现计划由一部分人先做4h（这部分人每个人的工作效率都是，工作时间为4h,人数未知，第一阶段工作量可以表示为），然后增加2人与他们一起做8h（增加2与他们一起做，说明第二阶段人数为第一阶段人数加上2人，第一阶段工作人数+2=第二阶段人数，这部分人每个人的工作效率都是，工作时间为8h,第二阶段工作量可以表示为，）完成这项工作（第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量）.假设这些人的工作效率相同（人均工作效率相等（两层含义这些人工作效率相等、工作效率等于），第一阶段的工效=第二阶段的工效=），具体应先安排多少人工作？
3、检验等量关系是否正确、遗漏、重复：不同阶段，同一类量之间的关系（人数和人数之间，工效和工效之间，时间和时间之间，工作量和工作量之间，单位一致），本题涉及到四个基本量，可以从这四个方面去找等量关系（如果某个基本量都知道可以不考虑）时间是已知的，所以本题从人数、工作量、工效三个方面检验等量关系，得到下面几个不同的等量关系
①第一阶段工作人数+2=第二阶段人数
②第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量（两种工作总量单位1或40工时）
（全程工作的人工作12小时的工作量+后增加的两人工作8小时的工作量=工作总量）
③人均工作效率相等（两层含义这些人工作效率相等、工作效率等于）；第一阶段的工效=第二阶段的工效=
4、列表整理信息（基本量），未知量通过设未知数表示
人均效率
人数
时间
工作量
第一阶段
4
第二阶段
8
人数和工作量都是未知的我们可以找和这两个基本量有关的等量关系，①第一阶段工作人数+2=第二阶段人数②第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量选两个等量关系，
第一阶段人数、工作量和第二阶段人数、工作量，四个未知量中设谁是x都可以，根据前面所学一般用设直接未知量的方法稍简单。所以可以
设先安排x人做4h.
图表整理信息可以补全为：
人均效率
人数
时间
工作量
第一阶段
x
4
第二阶段
x+2
8
方法一、根据第一阶段工作量+第二阶段工作量=工作总量，把全部工作量简单表示为单位1，
列出方程
解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
我们需要检验一下是否是方程的解，代入后等式左边等于右边。还需要检验一下是否符合实际意义，安排的工人数量应该为非负整数，符合实际意义。
答：应先安排 2人做4 h.
答题时注意单位和语言的完整性
小结：
方法一中用①设未知数，用②列方程，可以找两个含有未知量的等量关系，一设一列，即用一个等量关系来设未知数，用一个等量关系列方程
方法二、若用②设未知数，用①列方程，设间接未知量的方法，把全部工作量简单表示为单位1，
设第一阶段的工作量为x，则第二阶段的工作量为1-x，因为“工作量=人均效率×人数×时间”则，可列方程：
方法三、如果把40工时看作是工作总量，用①设未知数，设先安排x人做4h.用②列方程可得：
人均效率
人数
时间
工作量
第一阶段
1
x
4
4x
第二阶段
1
x+2
8
8(x+2)
则可列方程
方法四、如果把40工时看作是工作总量，用②设未知数，用①列方程可得：
人均效率
人数
时间
工作量
第一阶段
1
4
x
第二阶段
1
8
40-x
则可列方程
方法五、参与第一阶段的工人也参与了第二阶段的工作，这部分人每个人都工作了（4+8）小时，第二阶段新加入的2人，每人工作8小时，所以也可以把整个工作看作是这样两部分，“全程工作的人工作12小时的工作量”和“后增加的两人工作8小时的工作量”
可以得到等量关系“全程工作的人工作12小时的工作量+后增加的两人工作8小时的工作量=工作总量”列出方程
，（各阶段的工作量的和=总工作量）
课堂练习
练习：
一条地下管线由甲工程队单独铺设，需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
分析：如果一件工作需要n个小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是
设要x天可以铺好这条管线，
工效
工时
工作量
甲
x
乙
x
甲的工作量+乙的工作量=总工作量，可列方程
也可根据等量关系：甲的工效+乙的工效=总工效，设要x天可以铺好这条管线，
列方程
甲工作12天，乙单独完成需24天，甲的工效是乙工效的2倍，工作时间相同，甲的工作量是乙工作量的2倍，甲的工作量是总工作量的，乙的工作量是总工作量的，可列方程，
课堂小结，布置作业
1.解决有关工程问题时，
（1）工程问题一般涉及三个量：
工作效率，工作时间，工作量；
关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）工程问题通常把工作总量设为1，分析题目得出人均效率；
（3）各部分工作量之和等于总工作量.
2.审题方法：
粗读（问题类型、关系式）；
精读（找与工作时间、工作效率、工作量有关的等量关系）.
3.注意
语言和单位的完整性、一致性；
检验内容，是不是方程的解，有没有实际意义；
选择合适未知量设未知数.
课后作业：教科书习题3.4 第4、5题