初中数学人教版（2024）七年级下册6.1 平方根精品课后练习题

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类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值
类型三：巧用算术平方根的最小值求值
类型四：巧用平方根的定义解方程
【类型一：巧用非负性求值】
1．（2023秋•余姚市期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵，
∴m﹣4＝0，n+9＝0，
解得m＝4，n＝﹣9，
∴＝＝﹣．
故选：B．
2．（2023春•祥云县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
故选：A．
3．（2023春•五华区校级期中）已知x，y满足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（ ）
A．B．C．1D．±1
【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出x，y的值，再利用平方根的定义求出答案．
【解答】解：∵x，y满足+（y+1）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，
∴x﹣y的平方根是：±．
故选：A．
4．（2023秋•大东区期中）+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．
【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
则＝＝1．
故选：D．
5．（2023春•西岗区月考）已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由题意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，
∴4﹣a＝0，b+1＝0，
解得a＝4，b＝﹣1，
∴a﹣b＝5，
∴a﹣b的平方根是，
故选：C．
6．（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若，则的值等于（ ）
A．1B．﹣C．2D．﹣2
【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再将a，b，c代入中即可求解．
【解答】解：∵，
，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，
∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，
∴a＝2，b＝，c＝﹣4，
∴＝＝＝2，
故选：C．
7．（2023春•赛罕区期中）已知，则a2+b2的值为（ ）
A．2B．C．1或﹣1D．1
【分析】由已知得，两边平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，从而可选出正确答案．
【解答】解：，
则两边平方得，
整理得，
两边平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，
所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，
所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，
故选：D．
8．（2023春•南山区校级月考），则a+b＝（ ）
A．a+b＝﹣1B．a+b＝1C．a+b＝2D．a+b＝3
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，
∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1．
故选：B．
【类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值】
9．（2023秋•榆阳区校级月考）一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．
【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
∴（±7）2＝49，
即这个数是49，
故选：A．
10．（2023春•台江区校级期末）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（ ）
A．﹣7B．﹣4C．1D．16
【分析】根据平方根的定义得出3m+1+2m﹣6＝0，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，
∴3m+1+2m﹣6＝0，
∴m＝1；
故选：C．
11．（2023秋•玄武区校级期中）若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，则a＝ ﹣1 ，这个正数是 16 ．
【分析】根据平方根的性质即可求得a的值，然后根据平方根的定义即可求得这个正数的值．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，
∴2a﹣2﹣a+3＝0，
解得：a＝﹣1，
则﹣a+3＝1+3＝4，
那么这个正数是16，
故答案为：﹣1；16．
12．（2023春•南通期末）已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，则x＝ 3 ．
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后将其代入2a2x+（a+b）2x＝27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．
【解答】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，
∴x＝a2＝（a+b）2，
∵2a2x+（a+b）2x＝27，
∴2x•x+x•x＝27，
即3x2＝27，
则x2＝9，
∵x为正实数，
∴x＝3，
故答案为：3．
13．（2023秋•太和区期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．
【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，
∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，
∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，
∵＝2，
解得a＝5，
∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，
∴18的平方根是±3．
14．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．
【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
15．（2023秋•临汾月考）若实数b的两个不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．
【分析】根据平方根的性质进行解题即可．
【解答】解：由题意得 （2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，
解得a＝2，
∴b＝（2a﹣3）2＝1，
∴5a﹣b＝9．
∴5a﹣b 的平方根为±3．
16．（2023春•惠阳区期末）已知正实数x的两个平方根分别为a和a+b．
（1）若a＝﹣2，求b和x的值；
（2）若b＝6时，求a和x的值；
（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．
【分析】（1）根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x的值；
（2）根据平方根的定义及性质即可求得a的值和x的值；
（3）根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x的值即可．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，
∴a+a+b＝0，
即2a+b＝0，
∵a＝﹣2，
∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；
（2）∵2a+b＝0，b＝6，
∴2a+6＝0，
解得：a＝﹣3，
∴x＝（﹣3）2＝9；
（3）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，
∴x＝a2＝（a+b）2，
∵a2x+（a+b）2x＝8，
∴x2+x2＝8，
即2x2＝8，
解得：x＝±2，
∵x为正实数，
∴x＝2．
【类型三：巧用算术平方根的最小值求值】
17．（2023•墨玉县一模）当x＝ 4 时，式子3+有最小值，且最小值是 3 ．
【分析】先根据二次根式非负的性质求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵，
∴当x﹣4＝0时，会有最小值，
∴当x＝4时，会有最小值，且最小值是3．
故答案为：4，3．
18．（2023春•东湖区校级期中）已知y＝﹣9+，当x＝ 13 时，y的最小值＝ ﹣9 ．
【分析】由算术平方根的非负性求解即可．
【解答】解：∵，
∴当x＝13时，有最小值是0，
∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，
故答案为：13；﹣9．
19．（2023春•潮阳区期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9，进而求出答案．
【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是3，
故选：B．
20．（2023春•海淀区校级期中）关于式子m2+1（m为实数），下列结论中错误的是（ ）
A．式子m2+1定有平方根
B．当m＝0时，式子m2+1有最小值
C．无论m为何值，式子m2+1的值一定是有理数
D．式子m2+1的算术平方根一定大于等于1
【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解．
【解答】解：∵m2+1（m为实数）≥1，
∴A：m2+1定有平方根，
B：当m＝0时，m2+1有最小值1，
D：m2+1的算术平方根大于等于1，
C：当m＝π时，m2+1是无理数，
故选：C．
21．（2023春•淮北月考）当a取什么值时，的值最小？请求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则的最小值是1．
【类型四：巧用平方根的定义解方程】
22．（2023秋•永修县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a﹣11．
（1）求a及m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+5+2a﹣11＝0，
解得：a＝2，
∴m＝（a+5）2＝49；
（2）原方程为：2x2﹣16＝0，
∴x2＝8，
解得：．
23．（2023春•牧野区校级期中）解方程：
（1）16x2＝49；
（2）（x﹣2）2＝64．
【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．
【解答】解：（1）16x2＝49，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）（x﹣2）2＝64，
∴x﹣2＝±8，
∴x＝10或x＝﹣6．
24．（2023春•西和县期中）解方程：
（1）25x2﹣49＝0；
（2）2（x+1）2﹣49＝1．
【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；
（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．
【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，
化为：，
∴x＝±，
∴；
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
化为：（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x1＝4，x2＝﹣6．
25．（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与互为相反数．
（1）求5a﹣4b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；
（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，
解得：a＝4，b＝﹣4，
∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，
∴5a﹣4b的平方根为±6；
（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，
得4x2﹣25＝0，
解得：．
26．（2023春•鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得，2a+10＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣5，b＝，
所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，
即﹣x+5＝﹣6，
解得x＝11．
27．（2023春•天河区期中）已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程ax3﹣64＝0的解．
【分析】（1）根据平方根的定义可求出a的值；
（2）将a的值代入后，再由立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，
∴a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
答：a＝1；
（2）当a＝1时，原方程可变为x3﹣64＝0，由立方根的定义可知，
x＝4，
即方程x3﹣64＝0的解为x＝4．
28．（2023春•昭平县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；
（3）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
29．（2023春•东港区校级月考）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；
（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2．
（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，
∴2a﹣3b的平方根为±4．
（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，
解得x＝±3．