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    第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质同步练习(湘教版选择性必修第一册)
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    高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题

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    这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题,共10页。试卷主要包含了若椭圆C等内容,欢迎下载使用。

    3.1.2 椭圆的简单几何性质

    A级必备知识基础练

    1.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(  )

    A.=1 B.=1

    C.=1 D.=1

    2.(2022天津三中高二期中)椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1的关系为(  )

    A.有相同的长轴长与短轴长

    B.有相同的焦距

    C.有相同的焦点

    D.有相同的离心率

    3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,面积为2π,且短轴长为2,则C的标准方程为(  )

    A.+y2=1 B.=1

    C.=1 D.=1

    4.(2022广东人大附中深圳学校高二期中)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准方程是(  )

    A.=1 B.+y2=1

    C.+y2=1 D.x2+=1

    5.以椭圆=1的长轴端点作为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆的焦距是(  )

    A.16 B.12 

    C.8 D.6

    6.(多选题)(2022河北唐县一中高二期中)若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论正确的有(  )

    A.m=2 B.C的长轴长为

    C.C的短轴长为 D.C的离心率为

    7.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为     . 

    8.已知椭圆C的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,C的离心率为,且点P(1,1)到C的一个焦点的距离为,求C的标准方程.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    B级关键能力提升练

    9.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为(  )

    A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.10 cm

    10.(2022浙江宁波北仑中学高二月考)若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是(  )

    A.=1 B.=1

    C.=1 D.=1

    11.(2022吉林田家炳高级中学高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在椭圆上,且PF1F2=30°,PF2F1=60°,则椭圆的离心率等于(  )

    A.-1 B.-1 

    C. D.

    12.如图,椭圆的中心在原点O,顶点是A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,延长B1F2A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为(  )

    A.0, B.,1 

    C.0, D.,1

    13.(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为21,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(  )

    A.=1 B.=1

    C.=1 D.=1

    14.如图,椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点Py轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该椭圆的离心率为     . 

    15.已知椭圆E的中心为原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).

    (1)求椭圆E的标准方程;

    (2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MPMH,求实数t的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    C级学科素养创新练

    16.(2022浙江宁波高二期中)如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长PF2与椭圆交于点Q.|PF1|=4|QF2|,则直线PF2的斜率为(  )

    A.-2 B.-1 C.- D.1

     


    参考答案

    3.1.2 椭圆的简单几何性质

    1.A 由题意知2a=8,解得a=4.

    e=,即,解得c=3.

    所以b2=a2-c2=7.

    又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为=1.

    故选A.

    2.D 椭圆x2+2y2=2可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为2,焦距为2,离心率为,且焦点在x轴上;2x2+y2=1可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为,焦距为,离心率为,且焦点在y轴上.可得A,B,C不正确,D正确.故选D.

    3.B 由题意可得解得

    因为椭圆C的焦点在x轴上,所以C的标准方程为=1.故选B.

    4.A 根据题意,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),若右焦点到短轴端点的距离为2,则c2+b2=4,即a2=4,则a=2.

    又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=1,则b2=a2-c2=4-1=3.

    故椭圆的标准方程为=1.故选A.

    5.D 因为椭圆=1的长轴端点为(0,±3),所以可设所求的椭圆的标准方程为=1.

    椭圆经过点(-4,1),=1,解得a2=18,则c=3.

    因此,所求椭圆的焦距为6.故选D.

    6.AD 由已知可得=1,解得m=2或m=-1(舍去),椭圆C的标准方程为=1.

    长轴长为2,短轴长为2,离心率为.

    故选AD.

    7. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,=2,m=.

    8.当焦点Fx轴上时,设F(m,0),则|PF|=,

    解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.

    c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时C的标准方程为=1;

    c=2时,由,得a=4时,则b2=a2-c2=12,此时,C的标准方程为=1.

    当焦点Fy轴上时,设F(0,m),则|PF|=,

    解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.

    c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时,C的标准方程为=1;

    c=2时,由,得a=4,则b2=a2-c2=12,此时C的标准方程为=1.

    综上,C的标准方程为=1或=1或=1或=1.

    9.B 设小椭圆的长半轴长为a.

    因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以,

    所以小椭圆的长轴长为20cm.故选B.

    10.A 因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,所以2b=2c,即b=c.

    A中,因为a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;

    B中,因为a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3;

    C中,因为a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2;

    D中,因为a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6.

    故选A.

    11.B ∵∠PF1F2=30°,PF2F1=60°,|F1F2|=2c,

    ∴△PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=c.

    由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

    c+c=2a,e=-1.故选B.

    12.D 因为B1PA2为钝角,所以<0,

    即(-c,-b)·(a,-b)<0,整理可得b2<aca2-c2-ac<0,

    可得e2+e-1>0,解得e>e<.

    e(0,1),所以<e<1.故选D.

    13.BC 假设椭圆上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,

    |PF2|=,|PF1|=.

    因为|PF2|a-c,所以a-c,即a≤3c.

    经检验,A,D不满足要求,B,C满足要求.故选BC.

    14. 根据题意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=2c.

    在直角三角形QF1O中,因为|QF1|=2c,|F1O|=c,所以QF1O=60°,

    所以|PF1|=2×2c×cos30°=2c,所以|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,

    所以e=.

    15.解(1)由题意可得,c=1,a=2,b=.

    所求椭圆E的标准方程为=1.

    (2)设M(x0,y0)(x0≠±2),则=1. 

    =(t-x0,-y0),=(2-x0,-y0),

    MPMH可得=0,

    即(t-x0)(2-x0)+=0. 

    ①②消去y0,整理得t(2-x0)=-+2x0-3.

    x0≠2,t=x0-.

    -2<x0<2,-2<t<-1.

    实数t的取值范围为(-2,-1).

    16.A 连接PF1,QF1,P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,

    PF1PF2.

    |QF2|=m(m>0),|PF1|=4|QF2|,

    |PF1|=4m.

    |PF2|=2a-|PF1|=2a-4m,|QF1|=2a-|QF2|=2a-m.

    |PQ|=2a-4m+m=2a-3m.

    PF1Q中,F1PQ=90°,|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2,

    即(2a-m)2=(4m)2+(2a-3m)2,

    解得a=3m,|PF2|=2m.

    tanPF2F1==2.

    直线PF2的斜率为k=tan(180°-PF2F1)=-2,故选A.

     

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