新高考数学考前考点冲刺精练卷11《对数与对数函数》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是( )
A.lg y﹣lg x＝lg eq \f(y,x) B.lg(x＋y)＝lg x＋lg y
C.lg x3＝3lg x D.lg x＝eq \f(ln x,ln 10)
【答案解析】答案为：B.
解析：由对数的运算性质可知lg x＋lg y＝lg(xy)，因此选项B错误.
已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于( )
A.lg 2 B.lg 32 C.lg eq \f(1,32) D.eq \f(1,5)lg 2
【答案解析】答案为：D
解析：令x5＝t，则x＝eq \f(1,5)t0.2(t>0)，∴f(t)＝lg t0.2＝eq \f(1,5)lg t.∴f(2)＝eq \f(1,5)lg 2.故选D.
设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B.10 C.20 D.100
【答案解析】答案为：A
解析：2a＝5b＝m，∴lg2m＝a，lg5m＝b，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，∴m2＝10，∴m＝eq \r(10)(舍m＝﹣eq \r(10)).
设a＝eq \f(1,2)，b＝lg7eq \r(5)，c＝lg87，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b
【答案解析】答案为：D
解析：a＝eq \f(1,2)＝lg7eq \r(7)＞b＝lg7eq \r(5)，c＝lg87＞lg8eq \r(8)＝eq \f(1,2)＝a，所以c＞a＞b.
我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10 lgeq \f(I,I0)(单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10﹣12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是( )
A.(﹣∞，10﹣7) B.[10﹣12，10﹣5)
C.[10﹣12，10﹣7) D.(﹣∞，10﹣5)
【答案解析】答案为：C
解析：由题意可得，0≤10·lgeq \f(I,I0)＜50，即0≤lg I﹣lg(1×10﹣12)＜5，所以﹣12≤lg I＜﹣7，解得10﹣12≤I＜10﹣7，所以声音强度I的取值范围是[10﹣12，10﹣7).
若f(x)＝lg(x2﹣2ax＋1＋a)在区间(﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A.[1，2) B.[1，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
【答案解析】答案为：A
解析：令函数g(x)＝x2﹣2ax＋1＋a＝(x﹣a)2＋1＋a﹣a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在
(﹣∞，1]上单调递减，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a＜2，即a∈[1，2).
函数f(x)＝lga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的单调递增区间是( )
A.(﹣∞，﹣2) B.(﹣∞，﹣1) C.(2，＋∞) D.(5，＋∞)
【答案解析】答案为：D.
解析：由函数f(x)＝lga(x2﹣4x﹣5)得x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5.令m(x)＝x2﹣4x﹣5，则m(x)＝(x﹣2)2﹣9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a＞1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.
函数f(x)＝lga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )

【答案解析】答案为：A.
解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝lga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A.是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)上单调递增
B.是奇函数，且在(﹣eq \f(1,2)，eq \f(1,2))上单调递减
C.是偶函数，且在(﹣∞，﹣eq \f(1,2))上单调递增
D.是奇函数，且在(﹣∞，﹣eq \f(1,2))上单调递减
【答案解析】答案为：D
解析：f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|的定义域为{x|x＝±eq \f(1,2)}.又f(﹣x)＝ln|﹣2x＋1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝ln|2x﹣1|﹣ln|2x＋1|＝﹣f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.当x∈(﹣∞，﹣eq \f(1,2))时，f(x)＝ln(﹣2x﹣1)﹣ln(1﹣2x)＝lneq \f(－2x－1,1－2x)＝lneq \f(2x＋1,2x－1)＝ln(1＋eq \f(2,2x－1))，∵y＝1＋eq \f(2,2x－1)在(﹣∞，﹣eq \f(1,2))上单调递减，∴由复合函数的单调性可得f(x)在(﹣∞，﹣eq \f(1,2))上单调递减.
函数f(x)＝|lg3x|，若正实数m，n(m＜n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n﹣m等于( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(80,9) C.eq \f(15,4) D.eq \f(255,16)
【答案解析】答案为：A
解析：∵f(x)＝|lg3x|，正实数m，n(m＜n)满足f(m)＝f(n)，
∴0＜m＜1＜n，且|lg3m|＝|lg3n|，∴lg3m＝﹣lg3n，∴lg3m＋lg3n＝0，解得mn＝1，
又∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，易知f(m2)＝﹣lg3m2＝2，
此时eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,3)，,n＝3，))∴n﹣m＝eq \f(8,3).
已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，则函数y＝f(1﹣x)的大致图象是( )

【答案解析】答案为：D.
解析：先画出函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的大致图象，
令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(﹣x)的图象，
再把所得的函数f(﹣x)的图象，向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(1﹣x)的图象.
二、多选题
(多选)下列运算错误的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 ＝2 B.lg427·lg258·lg95＝eq \f(8,9)
C.lg 2＋lg 50＝10 D. SKIPIF 1 < 0 (2－eq \r(3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\r(2)))2＝－eq \f(5,4)
【答案解析】答案为：ABC
解析：对于A, SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(102×0.25))＝ SKIPIF 1 < 0 52＝－2，A错误；
对于B，lg427·lg258·lg95＝eq \f(lg 33,lg 22)·eq \f(lg 23,lg 52)·eq \f(lg 5,lg 32)＝eq \f(3×3,2×2×2)＝eq \f(9,8)，B错误；
对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 (2－eq \r(3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\r(2)))2＝－1－(eq \f(1,2))2＝－eq \f(5,4)，D正确.
(多选)函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1
【答案解析】答案为：BC
解析：由图象可知函数为减函数，∴0＜a＜1，令y＝0得lga(x＋c)＝0，
x＋c＝1，x＝1﹣c，由图象知0＜1﹣c＜1，∴0＜c＜1.
(多选)关于函数f(x)＝|ln |2﹣x||，下列描述正确的有( )
A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C.若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
【答案解析】答案为：ABD.
解析：作出函数f(x)＝|ln |2﹣x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.
三、填空题
计算：(lg29)·(lg34)＝ .
【答案解析】答案为：4
解析：(lg29)·(lg34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.
计算： SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案解析】答案为：26.
解析：原式＝1﹣lg 3＋lg 3＋25＝26.
若lga(a＋1)＜lga(2eq \r(a))＜0(a＞0，a≠1)，则实数a的取值范围是 .
【答案解析】答案为：(eq \f(1,4)，1).
解析：依题意lga(a＋1)＜lga(2eq \r(a))＜lga1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a＋1<2\r(a)<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(02\r(a)>1，))解得eq \f(1,4)＜a＜1.
已知f(x)＝1＋lg3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max﹣g(x)min＝ .
【答案解析】答案为：5.
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋lg3x)2＋1＋lg3x2＝(lg3x)2＋4lg3x＋2，设t＝lg3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2﹣2，在[0，1]上单调递增，∴当t＝0即x＝1时，g(x)min＝2，当t＝1即x＝3时，g(x)max＝7，∴g(x)max﹣g(x)min＝5.
四、解答题
设f(x)＝lg2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝lg212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值.
【答案解析】解：(1)因为f(x)＝lg2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝lg212，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2a－b＝1，,lg2a2－b2＝lg212，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝lg2(4x﹣2x)，
令t＝4x﹣2x，则t＝4x﹣2x＝(2x﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4)，
因为1≤x≤2，
所以2≤2x≤4，所以eq \f(9,4)≤(2x﹣eq \f(1,2))2≤eq \f(49,4)，即2≤t≤12，
因为y＝lg2t在[2，12]上单调递增，
所以ymax＝lg212＝2＋lg23，
即函数f(x)的最大值为2＋lg23.
已知函数f(x)＝lga(x＋2)＋lga(4－x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值.
【答案解析】解：(1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,4－x>0，))解得－2∴f(x)的定义域为(－2,4).
(2)f(x)＝lga(x＋2)＋lga(4－x)
＝lga[(x＋2)(4－x)]，x∈[0,3].
令t＝(x＋2)(4－x)，则可变形得t＝－(x－1)2＋9，
∵0≤x≤3，∴5≤t≤9，
若a>1，则lga5≤lgat≤lga9，
∴f(x)min＝lga5＝－2，则a2＝eq \f(1,5)<1(舍去)，
若0∴f(x)min＝lga9＝－2，
则a2＝eq \f(1,9)，又0综上，得a＝eq \f(1,3).
已知函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R).
(1)当k＝﹣4时，解不等式f(x)＞2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0，1)，且关于x的方程f(x)＝x﹣2m有实根，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)当k＝﹣4时，f(x)＝lg2(2x﹣4).
由f(x)＞2，得lg2(2x﹣4)＞2，得2x﹣4＞4，得2x＞8，解得x＞3.
故不等式f(x)＞2的解集是(3，＋∞).
(2)因为函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0，1)，
所以f(0)＝1，即lg2(1＋k)＝1，解得k＝1.
所以f(x)＝lg2(2x＋1).
因为关于x的方程f(x)＝x﹣2m有实根，
即lg2(2x＋1)＝x﹣2m有实根.
所以方程﹣2m＝lg2(2x＋1)﹣x有实根.
令g(x)＝lg2(2x＋1)﹣x，
则g(x)＝lg2(2x＋1)﹣x＝lg2(2x＋1)﹣lg22x＝lg2eq \f(2x＋1,2x)＝lg2(1＋eq \f(1,2x)).
因为1＋eq \f(1,2x)＞1，lg2(1＋eq \f(1,2x))＞0，
所以g(x)的值域为(0，＋∞).
所以﹣2m＞0，解得m＜0.
所以实数m的取值范围是(﹣∞，0).
已知函数f(x)=3－2lg2x，g(x)=lg2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)=[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq \r(x))＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
【答案解析】解：(1)h(x)=(4－2lg2x)·lg2x=－2(lg2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以lg2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f(eq \r(x))＞k·g(x)，
得(3－4lg2x)(3－lg2x)＞k·lg2x，
令t=lg2x，因为x∈[1，4]，所以t=lg2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t=0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k＜eq \f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立，
即k＜4t＋eq \f(9,t)－15，
因为4t＋eq \f(9,t)≥12，当且仅当4t=eq \f(9,t)，即t=eq \f(3,2)时取等号，
所以4t＋eq \f(9,t)－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).