新高考数学考前考点冲刺精练卷10《指数与指数函数》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
已知a＞0，则化为( )
A. B. C. D.
【答案解析】答案为：B
解析：原式＝
化简(a＞0，b＞0)的结果是( )
A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)
【答案解析】答案为：B
解析：＝ab﹣1＝eq \f(a,b).
函数y＝ln(2x﹣1)的定义域是( )
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
【答案解析】答案为：C.
解析：由2x﹣1＞0，得x＞0，所以函数的定义域为(0，＋∞).
函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A.eq \f(1,2)或eq \r(2) B.eq \f(1,2)或2 C.eq \f(1,2) D.2
【答案解析】答案为：B
解析：当a＞1时，函数单调递增，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a，∴a＝2；
当0＜a＜1时，函数单调递减，f(x)max＝2f(x)min，∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝eq \f(1,2)，综上所述，a＝2或a＝eq \f(1,2).
函数y＝(eq \f(1,2))2x﹣x2的值域为( )
A.[eq \f(1,2)，+∞) B.(﹣∞,eq \f(1,2)] C.(0,eq \f(1,2)] D.(0,2]
【答案解析】答案为：A.
解析：设t＝2x﹣x2，则t≤1，所以y＝(eq \f(1,2))t，t≤1，所以y∈[eq \f(1,2)，+∞)，故选A.
设m，n∈R，则“m＜n”是“(eq \f(1,2))m﹣n＞1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：C
解析：(eq \f(1,2))m﹣n＞1，即(eq \f(1,2))m﹣n＞(eq \f(1,2))0，∴m﹣n＜0，∴m＜n.
故“m＜n”是“(eq \f(1,2))m﹣n＞1”的充要条件.
若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.b＞c＞a D.a＞c＞b
【答案解析】答案为：B
解析：∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7，∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a.
已知函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A.(1,6) B.(1,5) C.(0,5) D.(5,0)
【答案解析】答案为：A.
解析：由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，
故函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P(1,6).
在同一直角坐标系中，指数函数y＝(eq \f(b,a))x，二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是( )
【答案解析】答案为：B
解析：指数函数y＝(eq \f(b,a))x的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.
二次函数y＝ax2﹣bx＝(ax﹣b)x，有零点eq \f(b,a)，0.
A，B选项中，指数函数y＝(eq \f(b,a))x在R上单调递增，故eq \f(b,a)＞1，故A错误，B正确.
C，D选项中，指数函数y＝(eq \f(b,a))x在R上单调递减，故0＜eq \f(b,a)＜1，故C，D错误.
已知函数f(x)＝ax＋1－eq \f(1,4)(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则 SKIPIF 1 < 0 mn等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(8,27) D.eq \f(27,8)
【答案解析】答案为：D
解析：函数f(x)＝ax＋1－eq \f(1,4)(a＞0，且a≠1)，令x＋1＝0，得x＝－1，所以f(－1)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，所以f(x)的图象过定点(-1,eq \f(3,4))，所以m＝－1，n＝eq \f(3,4)，所以 SKIPIF 1 < 0 mn＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(27,8).
已知y＝4x﹣3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是( )
A.[2，4] B.(﹣∞，0)
C.(0，1)∪[2，4] D.(﹣∞，0]∪[1，2]
【答案解析】答案为：D
解析：∵y＝4x﹣3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x﹣3·2x＋3≤7.
∴﹣1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.
若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则( )
A.ln(y﹣x＋1)＞0 B.ln(y﹣x＋1)＜0
C.ln|x﹣y|＞0 D.ln|x﹣y|＜0
【答案解析】答案为：A
解析：设函数f(x)＝2x﹣3﹣x.因为函数y＝2x与y＝﹣3﹣x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，即f(x)＜f(y)，所以x＜y，即y﹣x＞0，所以A正确，B不正确.因为|x﹣y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
二、多选题
(多选)若函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有( )
A.0＜a＜1 B.a＞1 C.b＞0 D.b＜0
【答案解析】答案为：BC.
解析：若0＜a＜1，则y＝ax－(b＋1)的图象必过第二象限，而函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，所以a＞1.当a＞1时，要使y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则b＋1＞1，即b＞0.
(多选)已知函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
【答案解析】答案为：ABD
解析：由图可得a1＝2，即a＝2，y＝a﹣x＝(eq \f(1,2))x单调递减，且过点(﹣1，2)，故A正确；
y＝x﹣a＝x﹣2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(﹣∞，0)上单调递增，故B正确；
y＝a|x|＝2|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,2－x，x<0))为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
y＝|lgax|＝|lg2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确.
(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A.a＝b＝0 B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.0＜b＜a
【答案解析】答案为：ABD.
解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD.
(多选)若直线y＝2a与函数y＝|ax﹣1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.2
【答案解析】答案为：AB
解析：①当a＞1时，由图象得0＜2a＜1，∴0＜a＜eq \f(1,2)，∵a＞1，∴此种情况不存在；
②当0＜a＜1时，由图象得0＜2a＜1，∴0＜a＜eq \f(1,2)，∵0＜a＜1，∴0＜a＜eq \f(1,2).
三、填空题
已知a＞0，b＞0，则＝______.
【答案解析】答案为：1.
已知函数f(x)＝2|x﹣2|﹣1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________.
【答案解析】答案为：[2,4].
解析：函数f(x)＝2|x﹣2|﹣1的对称轴为直线x＝2，且在(﹣∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.由于函数f(x)＝2|x﹣2|﹣1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4].
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________.
【答案解析】答案为：(eq \f(1,2),1).
解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，
图1 图2
由图可知1＜2a＜2，即eq \f(1,2)＜a＜1，与a＞1矛盾；
当0＜a＜1时，通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象，
由图可知1＜2a＜2，即eq \f(1,2)＜a＜1，满足题意.
综上所述，a的取值范围是(eq \f(1,2),1).
已知函数f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)，若f(a﹣2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是______.
【答案解析】答案为：[﹣2，1].
解析：因为f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)，定义域为R，f(﹣x)＝e﹣x﹣eq \f(1,e－x)＝eq \f(1,ex)﹣ex＝﹣f(x)，所以f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)为奇函数.又因为f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)在R上为增函数，所以f(a﹣2)＋f(a2)≤0⇒f(a﹣2)≤﹣f(a2)⇒f(a﹣2)≤f(﹣a2)，即a﹣2≤﹣a2，a2＋a﹣2≤0，解得﹣2≤a≤1.
四、解答题
已知定义域为R的函数f(x)＝ax﹣(k﹣1)a﹣x(a＞0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2﹣2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0﹣(k﹣1)a0＝1﹣(k﹣1)＝0，
∴k＝2，经检验k＝2符合题意，
所以k＝2.
(2)f(x)＝ax﹣a﹣x(a＞0且a≠1)，
∵f(1)＜0，
∴a﹣eq \f(1,a)＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝a﹣x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax﹣a﹣x在R上单调递减，
不等式f(m2﹣2)＋f(m)＞0可化为f(m2﹣2)＞f(﹣m)，
∴m2﹣2＜﹣m，即m2＋m﹣2＜0，解得﹣2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(﹣2，1).
已知函数f(x)＝2x＋a·2﹣x(a为常数，a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)﹣k·f(x)＝3在x∈[0，1]上有实根，求实数k的取值范围.
【答案解析】解：(1)∵函数f(x)＝2x＋a·2﹣x的定义域为x∈R，
又∵f(﹣x)＝2﹣x＋a·2x，
∴①当f(﹣x)＝f(x)，即2﹣x＋a·2x＝2x＋a·2﹣x时，可得a＝1，
即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；
②当f(﹣x)＝﹣f(x)，即2﹣x＋a·2x＝﹣(2x＋a·2﹣x)＝﹣2x﹣a·2﹣x时，
可得a＝﹣1，即当a＝﹣1时，函数f(x)为奇函数.
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，即f(x)＝2x＋2﹣x，
f(2x)＝22x＋2﹣2x＝(2x＋2﹣x)2﹣2，
由题可得，(2x＋2﹣x)2﹣2﹣k(2x＋2﹣x)＝3⇔(2x＋2﹣x)2﹣k(2x＋2﹣x)﹣5＝0，
令t＝2x＋2﹣x，则有t2﹣kt﹣5＝0，∵x∈[0，1]，∴2x∈[1，2]，
根据对勾函数的性质可知，2x＋2﹣x∈[2，eq \f(5,2)]，即t∈[2，eq \f(5,2)]，
方程t2﹣kt﹣5＝0在t∈[2，eq \f(5,2)]上有实数根，则k＝eq \f(t2－5,t)＝t﹣eq \f(5,t)，
令φ(t)＝t﹣eq \f(5,t)，∴φ(t)在[2，eq \f(5,2)]上单调递增，且φ(2)＝﹣eq \f(1,2)，φ(eq \f(5,2)])＝eq \f(1,2)，
∴﹣eq \f(1,2)≤k≤eq \f(1,2)，∴实数k的取值范围是[﹣eq \f(1,2)，eq \f(1,2)].