2024-2025学年江苏省兴化中学强基班高二（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省兴化中学强基班高二（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知m∈R，则“m=−1”是“直线mx+(2m−1)y−2=0与直线3x+my+3=0垂直”的( )
A. 充要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.抛物线E：y=14x2的焦点到其准线的距离为( )
A. 18B. 14C. 2D. 4
3.已知点P(2,0)，点Q在圆x2+y2=1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A. (x−1)2+y2=1B. x2+(y−1)2=1
C. 4(x−1)2+4y2=1D. 4x2+4(y−1)2=1
4.若直线y=kx+4(k>0)与曲线y= 4−x2有两个交点，则实数k的取值范围为( )
A. ( 3,+∞)B. [ 3,+∞)C. [ 3,2]D. ( 3,2]
5.已知A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a−1)2+(y−3a+2)2=4上存在点P满足PA⋅PB=5，则a的取值范围是( )
A. [−1,2]B. [−2,1]C. [−2,3]D. [−3,2]
6.已知点M在椭圆x24+y23=1上，点A(0,−34),B(1,0)，则|MA|+|MB|的最大值为( )
A. 114B. 4C. 214D. 5
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=ω(其中ω= 5−12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x2a2+y2b2=1,(a>b>0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙O，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则b2|OM|2+a2|ON|2=( )
A. 1ωB. ωC. −ωD. −1ω
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P在C上且位于第一象限，圆O1与线段F1P的延长线，线段PF2以及x轴均相切，△PF1F2的内切圆为圆O2.若圆O1与圆O2外切，且圆O1与圆O2的面积之比为9，则C的离心率为( )
A. 12B. 35C. 22D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C：mx2+ny2=1，下列说法正确的是( )
A. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 nn
B. 若m>0，n=0，则C是两条直线
C. 若n>m>0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D. 若mn<0时，则C是双曲线，其渐近线方程为y=± −nmx
10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(2,t)时，|PF|=4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为y2=8x
B. 存在直线l，使得A、B两点关于x+y−6=0对称
C. |PM|+|PF|的最小值为6
D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
11.已知曲线C：x|x|−y|y|4=1，P(x0,y0)为C上一点，则以下说法正确的是( )
A. 曲线C关于原点中心对称
B. x02+y02的取值范围为[1,+∞)
C. 存在点P(x0,y0)，使得2x0−y0=−1
D. |2x0−y0+ 5|的取值范围为( 5,2 2+ 5]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆的方程是x2+y2−2ax+2(a−2)y+2=0，则圆心的轨迹方程为______．
13.设P(x0,y0)为直线3x+y+2=0上的动点，若圆x2+y2=1上存在两点A，B，使∠APB≥60°，则x0的取值范围是______．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x22−y22=1的左焦点为F，直线y=k(x−2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且k的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞)，记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，则S2S1取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知两直线l1：x−2y+4=0，l2：4x+3y+5=0．
(1)求直线l1和l2的交点P的坐标；
(2)若过点P作圆(x−m)2+y2=m2+1的切线有两条，求m的取值范围；
(3)若直线ax+2y−6=0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值．
16.(本小题15分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为y= 3x，过F1且与x轴垂直的直线与E交于A、B两点，且△ABF2的周长为16．
(1)求E的方程；
(2)过F2作直线l与E交于C、D两点，若CF2=3F2D，求直线CD的斜率．
17.(本小题15分)
如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43．
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 2，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上点(x0,y0)处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1，
①过直线l：x=2上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N；
②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|=λ|PN|⋅|QN|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.AB
10.ACD
11.BD
12.x+y−2=0(x≠1)
13.[−65,0]
14.(2,2 2)
15.解：(1)联立方程组x−2y+4=04x+3y+5=0，∴x=−2y=1，
即直线l1和l2的交点P的坐标(−2,1)；
(2)由题意知点P在圆外，∴(−2−m)2+12>m2+1，
∴m的取值范围为(−1,+∞)；
(3)若直线l3：ax+2y−6=0与l1，l2不能构成三角形，则l3/​/l1或l3//l2或l3过点P，
当l3/​/l1时，则−a2=12，∴a=−1，满足题意；
当l3//l2时，−a2=−43，∴a=83，满足题意；
当l3过点P时，−2a+2−6=0，∴a=−2，
故实数a的值为−1,83,−2．
16.解：(1)∵x=−c时，y=±b2a.∴|AF1|=|BF1|=b2a，∴|AF2|=|BF2|=b2a+2a，
∴ba= 34b2a+4a=16，a=1b= 3⇒E：x2−y23=1．
(2)由(1)知F2(2,0)，显然直线l的斜率存在，当l的斜率为0时，CF2=3F2D不成立；
当l的斜率不为0时，设l：x=my+2，C(x1,y1)，D(x2,y2)；
∵x=my+2x2−y23=1⇒(3m2−1)y2+12my+9=0，
Δ=36m2+36>0，3m2−1≠0，m2≠13，∴y1+y2=−12m3m2−1，y1⋅y2=93m2−1；
又∵CF2=3F2D，
∴y1=−3y2．
∴−2y2=−12m3m2−1①−3y22=93m2−1②，
∴①2②得16m23m2−1=−43，
∴m2=115，故直线CD的斜率为 15或− 15．
17.解：(1)如图，
过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴tan∠ABF=tan∠BCO=43．
设AF=4x(m)，则BF=3x(m)．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x(m)，EF=AO=60(m)，
∴BE=(3x+60)m．
∵tan∠BCO=43，
∴CE=34BE=(94x+45)(m)．
∴OC=(4x+94x+45)(m)．
∴4x+94x+45=170，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m；
(2)如图，
设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP=43xm，PM=53xm.
∴PC=(43x+170)m，PQ=(1615x+136)m.
设⊙M半径为R，
∴R=MQ=(1615x+136−53x)m=(136−35x)m.
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R−AM≥80，R−OM≥80，
∴136−35x−(60−x)≥80，136−35x−x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．
18.解：(1)由题意可知：2a=2 2ca= 22，
所以a= 2c=1，
所以b= a2−c2=1，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1；
(2)①证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(2,m)，
由题设可知：lPM：x1x2+y1y=1,lQM：x2x2+y2y=1，
又因为lPM，lQM经过点M(2,m)，
所以x1+my1=1x2+my2=1，所以P，Q均在直线x+my−1=0上，
即lPQ：x+my−1=0，
由x−1=0y=0，解得x=1y=0，
所以直线PQ过定点N(1,0)；
②设实数λ存在，因为|PN|+|QN|=λ|PN|⋅|QN|，所以λ=1|PN|+1|QN|，
当直线PQ斜率不存在时，此时PQ：x=1，
由x=1x2+2y2=2，
解得x=1y=± 22，
所以|PN|=|QN|= 22，
所以λ=1|PN|+1|QN|=2 2，
当直线PQ斜率k存在时，λ=1 1+(1k)2×|y1−yN|+1 1+(1k)2×|y2−yN|=1 1+m2×|y1|+|y2||y1y2|，
所以λ=1 1+m2×|y1−y2||y1y2|=1 1+m2× (y1+y2)2−4y1y2|y1y2|，
联立x=−my+1x2+2y2=2，
可得(m2+2)y2−2my−1=0，
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=−1m2+2，
所以λ=1 1+m2× (2mm2+2)2−4×(m2+2)×(−1)(m2+2)21m2+2=2 2× m2+1m2+2 m2+1m2+2=2 2，
综上可知，存在λ=2 2满足条件．
19.解：(1)由题意可知，当x=p时，y2=2p2，得yM= 2p，可知|MD|= 2p，|FD|=p2．
则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2=|FM|2，得(p2)2+( 2p)2=9，解得p=2．
则C的方程为y2=4x；
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，A(x3,y3)，B(x4,y4)，
由(1)可知F(1,0)，D(2,0)，则tanα=kMN=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2，
又N、D、B三点共线，则kND=kBD，即y2−0x2−2=y4−0x4−2，
∴y2−0y224−2=y4−0y424−2，
得y2y4=−8，即y4=−8y2；
同理由M、D、A三点共线，得y3=−8y1．
则tanβ=y3−y4x3−x4=4y3+y4=y1y2−2(y1+y2)．
由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x=my+1，
由y2=4xx=my+1，得y2−4my−4=0，
y1+y2=4m，y1y2=−4，则tanα=44m=1m，tanβ=−4−2×4m=12m，
则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1m−12m1+12m⋅1m=12m+1m，
当m>0时，tan(α−β)=12m+1m≤12 2m⋅1m= 24；当m<0时，tan(α−β)无最大值，
∴当且仅当2m=1m，即m= 22时，等号成立，tan(α−β)取最大值，
此时AB的直线方程为y−y3=4y3+y4(x−x3)，即4x−(y3+y4)y+y3y4=0，
又∵y3+y4=−8y1−8y2=−8(y1+y2)y1y2=8m=4 2，y3y4=−8y1⋅−8y2=−16，
∴AB的方程为4x−4 2y−16=0，即x− 2y−4=0．