2024-2025学年江苏省南通市海门中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海门中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3x−y−1=0的倾斜角大小( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知直线过点(−1,2)且与直线2x−3y+4=0垂直，则该直线方程为( )
A. 3x+2y−1=0B. 2x+3y−1=0C. 3x+2y+1=0D. 2x+3y+1=0
3.若方程x2+y2+4mx−2y+4m2−m=0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A. m<−1B. m<1C. m>−1D. m≥−1
4.已知直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，则“AC<0，BC>0”是“直线l不通过第二象限”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：(x−2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. (−∞,− 3]∪[ 3,+∞)B. (−∞,− 33]∪[ 33,+∞)
C. [− 3, 3]D. [− 33, 33]
6.直线l过点P，绕P按逆时针方向转α(α∈(0,π2))角，所得的直线为x−y+2=0，若继续按逆时针方向转(π2−α)角，则得到直线2x+y−2=0，则直线l的方程为( )
A. 2x−y+2=0B. x+2y−4=0C. x−2y+4=0D. x+y−2=0
7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为kx−y−4k=0，若圆x2+y2−4x=0上有且仅有3个点到直线l的距离为1，则直线l的倾斜角为( )
A. π3或2π3B. π6或5π6C. π3D. π6
8.已知点P(m,1)(m>0)，直线y=− 33x+2与x轴，y轴分别交于点A，B.若以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，使得△ABP和△ABC的面积相等，则m=( )
A. 5 3B. 3 3C. 5 32D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线y=kx+1在两坐标轴上的截距相等，则k=±1
B. 若过点M(−2,m)，N(m,4)的直线的斜率是2，则m=2
C. 两平行直线x+2y−1=0与x+ay+b=0之间的距离为 55，则b=0或b=−2
D. 直线y=2x关于直线y=x对称的直线为y=12x
10.已知点M在圆O：x2+y2=4外，以线段OM为直径的圆和圆O交于P，Q两点，则( )
A. 直线MP与圆O相切
B. 当MP⊥MQ时，PQ=2 2
C. 当MP⊥MQ时，点M的轨迹方程为x2+y2=10
D. 当M点坐标为(2,4)时，直线PQ的方程为x+2y−2=0
11.已知直线l：kx−y+2=0与圆C：(x−2)2+(y−4)2=16交于A，B两点，与y轴交于点E，点M为弦AB的中点，则( )
A. |AB|的最小值为2 2B. △AOE面积的最大值为6
C. 存在定点Q，使得|MQ|为定值D. |OA+OB|有最小值为2 10−2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l：x−2y+m−1=0在y轴上的截距为12，则实数m的值为______．
13.已知圆C：x2+y2−2ax+2ay+2a2−25=0(a>0)与圆O：x2+y2=4有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______．
14.“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manℎattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系xOy内，对于任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的“曼哈顿距离”为||AB||=|x1−x2|+|y1−y2|.已知点P(1,1)，若点Q满足||PQ||=4，则动点Q的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，设直线l1：kx−y=0，直线l2：(2k−1)x+(k−1)y−7k+4=0．
(1)若直线l1//l2，求实数k的值；
(2)求证：直线l2过定点C，并求出点C的坐标；
(3)当k=2时，设直线l1，l2交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离d．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−(a+2)x+2a(a∈R)．
(1)解关于x的不等式组f(x)>0x>0；
(2)若函数f(x)的图象与坐标轴有三个不同的交点，且经过该三点的圆与y轴相切，求a的值．
17.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线x−y=0上，且与x轴相切，直线2x−y=0被圆C截得的弦长为4 55．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l与圆C相切，且与x轴，y轴分别交于点A(a,0)，B(0,b)(a>2,b>2)．
①写出a关于b的表达式；
②求△AOB面积的最小值，并写出此时的直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知A(−1,0)，B(−4,0)，点P满足|PB|=2|PA|．
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点Q．
①若|AM|=2|AN|，求直线l的方程；
②若QM=λMA,QN=μNA，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题17分)
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，且标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

(1)如图1，设母球A的位置为(0,−2)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(10,6)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为(0,2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(10,6)处运动？
(3)如图3，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，能使目标球B向D(a,6)处运动或E(10,b)处运动，求a，b的取值范围.(直接写出结果即可)
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.A
5.D
6.C
7.B
8.A
9.CD
10.ABD
11.BCD
12.2
13.x−y+2 2=0
14.16 2
15.(1)解：∵直线l1：kx−y=0，直线l2：(2k−1)x+(k−1)y−7k+4=0，
直线l1//l2，
∴2k−1k=k−1−1，
解得k=−1± 52．
(2)证明：∵直线l2：(2k−1)x+(k−1)y−7k+4=0，
∴(2x+y−7)k−(x+y−4)=0，
由2x+y−7=0x+y−4=0，得x=3，y=1，
∴直线l2过定点C(3,1)．
(3)当k=2时，直线l1：2x−y=0，直线l2：3x+y−10=0，
解方程组2x−y=03x+y−10=0，得x=2，y=4，A(2,4)，
过A作x轴的垂线，垂足为B，∴B(2,0)，
∴直线BC的方程为：yx−2=13−2，即x−y−2=0，
∴点A(2,4)到直线BC的距离d=|2−4−2| 1+1=2 2．
16.解：(1)不等式组为(x−2)(x−a)>0,x>0,
①当a>2时，x>a或x<2,x>0,
∴x>a或0②当a=2时，x≠2,x>0,
∴x>2或0③当a<2时，x>2或x0,
当a≤0时，x>2，
当02或0综上：当a≤0时，不等式组的解集为(2,+∞)，
当0当a≥2时，不等式组的解集为(0,2)∪(a,+∞)；
(2)函数与坐标轴的三个不同的交点为(2,0)，(a,0)，(0,2a)，其中a≠0且a≠2，
设经过该三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则4+2D+F=0,a2+aD+F−0,4a2+2aE+F=0,解得D=−(a+2),E=−(2a+1),F=2a,
∴圆的方程为x2+y2−(a+2)x−(2a+1)y+2a=0，
即(x−a+22)2+(y−2a+12)2=(a+22)2+(2a+12)2−2a，
∵该圆与y轴相切，
∴|a+22|= (a+22)2+(2a+12)2−2a，
解得a=12．
17.解：(1)因为圆C的圆心在直线x−y=0上，且与x轴相切，
所以设圆C的方程为(x−a)2+(y−a)2=a2(a≠0)，
圆心C到直线2x−y=0的距离为|2a−a| 22+12=|a| 5，
又直线2x−y=0被圆C截得的弦长为4 55，
所以(a 5)2+(2 55)2=a2，
解得a=±1，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=1；
(2)因为直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距均为正数，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=1，
①直线l的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
所以|a+b−ab| a2+b2=1，
即为(a+b−ab)2=a2+b2+a2b2+2ab−2a2b−2ab2=a2+b2，
化为ab+2=2(a+b)，
所以a=2(b−1)b−2(b>2)；
②SΔAOB=12ab=12⋅2(b−1)b−2⋅b=b(b−1)b−2b=b(b−1)b−2，
令b−2=t>0.则b=t+2，
所以SΔAOB=(t+2)(t+1)t=t+2t+3≥2 t⋅2t+3=2 2+3，
当且仅当t= 2即a=b=2+ 2时，(SΔAOB)min=2 2+3，
此时直线l的方程为x+y−2− 2=0．
18.解：(1)设P(x,y)，
因为|PB|2|PA|，所以 (x+4)2+y2=2 (x+1)2+y2，
化简的点P的轨迹方程C：x2+y2=4．
(2)因为过点A(−1,0)的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k(x+1)，
由x2+y2=4,y=k(x+1)
消去y得(1+k2)x2+2k2x+k2−4=0，Δ=4k4−4(1+k2)(k2−4)=12k2+16>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=−2k21+k2,x1x2=k2−41+k2，
MA=(−1−x1,−y1),AN=(x2+1,y2)，
①因为|AM|=2|AN|，所以MA=2AN，
所以−1−x1=2(x2+1)，即x1+2x2=−3，
由x1+x2=−2k2x+k2,x1+2x2=−3得x1=3−k21+k2,x2=−3+k21+k2，
代入x1x2=k2−41+k2，得3−k21+k2⋅(−3+k21+k2)=k2−41+k2，
解得k=± 153．
②Q(0,k)，
则QM=(x1,y1−k)，MA=(−1−x1,−y1)，QN=(x2,y2−k)，NA=(−1−x2,−y2)
因为QM=λMA,QN=μNA，
所以x1=λ(−1−x1),x2=μ(−1−x2),解得λ=−x11+x1,μ=−x21+x2,
λ+μ=−x11+x1−x21+x2=−x1(1+x2)+x2(1+x1)(1+x1)(1+x2)=−2x1x2+(x1+x2)x1x2+(x1+x2)+1
=−2⋅k2−41+k2+(−2k21+k2)k2−41+k2+(−2k21+k2)+1=−2(k2−4)−2k2k2−4−2k2+1+k2=−−8−3=−83为定值．
19.解：(1)根据图1，点C(10,6)，B(4,0)所在的直线方程为x−y−4=0，
当A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x−y−4=0上，并且球心在第四象限，
因此设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为A′(a,b)，
所以A′B=2，则a−b−4=0, (a−4)2+b2=2,a>0,b<0,
解得b=− 2，a=4− 2，所以A，B两球碰撞时，球A的球心坐标A′(4− 2,− 2)，
因此母球A的球心运动的直线方程为AA′：y=2− 24− 2x−2，化简可得y=3− 27x−2．
(2)假设能使目标球B向C(10,6)处运动，所以根据第一问知球A需运动到A′(4− 2,− 2)处，
且到达A′处前不与目标球B接触．
所以A′A=( 2−4,2+ 2)，A′B=( 2, 2)，
因此A′A⋅A′B= 2( 2−4)+ 2(2+ 2)=4−2 2>0，
因此∠AA′B为锐角，
过B作BD⊥AA′于D，那么点D在线段AA′上，
因此|BD|<|A′B|=2，
因此球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，
因此不能使目标球B向C(10,6)处运动．
(3)a≥4+2 3，−6 3≤b≤6 3．