江苏省兴化中学2024-2025学年高二上学期（10月份）学情调研（强基班）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省兴化中学2024-2025学年高二上学期（10月份）学情调研（强基班）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )
A.充要条件B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件
2．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A.B.C.2D.4
3．已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
4．若直线与曲线有两个交点,则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知点M在椭圆上，点,，则的最大值为( )
A.B.4C.D.5
7．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，，若以原点O为圆心，短轴长为直径作，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则( )
A.B.C.D.
8．已知、为椭圆的左､右焦点，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及x轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知曲线，下列说法正确的是( )
A.若，则C是圆，其半径为
B.若，，则C是两条直线
C.若时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D.若时，则C是双曲线，其渐近线方程为
10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.存在直线l，使得A、B两点关于对称
C.的最小值为6
D.当直线l过焦点F时，以为直径的圆与y轴相切
11．已知曲线，为上一点，则以下说法正确的是( )
A.曲线C关于原点中心对称
B.的取值范围为
C.存在点，使得
D.的取值范围为
三、填空题
12．已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为________.
13．设为直线上的动点，若圆上存在两点A,B，使，则的取值范围是________.
14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且k的取值范围为，记的面积为,面积为，则取值范围为________.
四、解答题
15．已知两直线,
（1）求直线和的交点P的坐标;
（2）若过点P作圆的切线有两条,求m的取值范围;
（3）若直线与,不能构成三角形,求实数a的值.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为,,E的一条渐近线方程为，过且与x轴垂直的直线与E交于A、B两点，且的周长为16.
(1)求E的方程；
(2)过作直线l与E交于C、D两点，若，求直线的斜率.
17．如图,为保护河上古桥,规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥与河岸垂直;保护区的边界为圆心M在线段上并与相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(为河岸),.
（1）求新桥的长;
（2）当多长时,圆形保护区的面积最大?
18．已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线恒过定点N；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线垂直于x轴时，.
(1)求C的方程；
(2)设直线,与C的另一个交点分别为A，B，记直线,的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：“直线与直线垂直”的充要条件为或，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.
2．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意，，
在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M，
设，则，
，即：，
故选：C.
4．答案：D
解析：如图所示:
直线过定点,曲线与x轴负半轴交于点,
设直线AC与曲线（半圆）相切于点C,
若直线与曲线有两个交点,
则,
而,
若与半圆（圆心,半径）相切,
则圆心到直线的距离满足,解得,即,
综上所述,实数k的取值范围为.
故选:D.
5．答案：A
解析：设点，则，，
所以，
所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3.
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为2，
所以，解得，
即a的取值范围是.
故选：A.
6．答案：C
解析：
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点M为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，C正确，
故选：C
7．答案：A
解析：依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，
得切点所在直线方程为，解得，，
因为，所以
故选：A.
8．答案：A
解析：由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.
如图，设圆、与x轴的切点分别为A、B，由平面几何知识可得，
直线为两圆的公切线，公切点D也在的角平分线上，
则，所以，
由椭圆的定义知，则，
,，
，
.
又圆与圆的面积之比为9,圆与圆的半径之比为3，
所以,，即，故椭圆C的离心率.
故选：A
9．答案：AB
解析：对于A，，，则C是圆，半径为，故A正确；
对于B，若，时，，则C是两条直线，故B正确；
对于C，若时，，则，则C为焦点在x轴的椭圆，故C错误；
对于D，若时，则C是双曲线，渐近线方程为，故D错误；
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：,故，,故,A正确；
设,,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过P作垂直于准线于E,则，当P,E,M共线时等号成立，故C正确；
如图所示：G为中点，故,故为直径的圆与y轴相切，故D正确；
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：曲线C的方程为，
对于A，设在曲线C上任意一点，把点代入曲线C的方程，
得，与原方程不一样，所以曲线C不关于原点中心对称，故A错误；
对于B，当点P在上时，，且，因为，所以，即；
当点P在上时，有，
且，因为，所以，即；
当点P在上时，有，
且，因为，即，
综上的取值范围为，故B正确；
对于C，若点P在曲线上时，有，此时，不可能有；
当点P在曲线上时，曲线C的渐近线方程，
当点P在上时，曲线C的渐近线方程，
如图，因为直线与渐近线方程平行，所以不存在点，
使得，故C错误；
对于D，因为可看作到直线的距离的倍，，
因为直线与平行，且之间的距离为1，故，
由图可知，当点在曲线上时点P到直线的距离有最大值，设，，
点P到直线的距离为，
当且仅当等号成立，即，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：因为方程表示圆，
即表示圆,所以，
解得,
易知圆心坐标为，且，
设圆心坐标为，则有，
消去a，得即为所求圆心的轨迹方程.
故答案为：
13．答案：
解析：圆的圆心为O，半径为1，
因为直线的横截距为，故直线与圆相交，
当P在圆上或圆的内部时，圆上必存在两点使得，
由可得，
解得，
故当时，圆上必存在两点使得，
若P在圆外，则考虑过P的两条切线的夹角，
结合题设可得两条切线的夹角不小于，结合上图可得，
故即，整理得到，
结合或，故或,
综上，.
故答案为：
14．答案：
解析：由题设可知，面积为面积的两倍，
记的面积为，所以.
又因为和的高相同，所以.
由直线与双曲线的渐近线交于,两点，与双曲线的右支交于，两点.
联立方程组，可得，消去y可得，
而，则.
由韦达定理可得,，
从而有，.
又，则，所以.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
（3）,,
解析：（1）联立方程组,,
即直线和的交点P的坐标;
（2）由题意知点P在圆外,,;
（3）若直线与,不能构成三角形,
则或或过点P,
当时,则,,满足题意;
当时,,,满足题意;
当过点P时,,,
故实数a的值为,,.
16．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）将代入，得，
所以，所以，
所以由题得，
所以双曲线E的方程为.
（2）由（1）知，显然当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时，不成立，
故直线l的斜率存在，且不为0，设，，，
联立，
则，且即，
,，
又，所以，所以，
所以由得，解得，故，
故直线的斜率为或.
17．答案：(1)150m；
(2)
解析：
（1）如图，以，为x,y轴建立直角坐标系，则，，
由题意，直线方程为.
又，故直线方程为，
由，解得，即，
所以；
（2）设，即，
由（1）直线的一般方程为，圆M的半径为，
由题意要求，由于，
因此，
，
所以当时，r取得最大值，此时圆面积最大.
18．答案：(1)；
(2)①证明见解析；②存在，
解析：（1）由题意可知：，所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）①设,,，
由题设可知：,，
又因为,经过点，
所以，所以P,Q均在直线上，即，
由，解得，
所以直线过定点；
②设实数存在，因为，所以，
当直线斜率不存在时，此时，由解得，
所以，所以；
当直线斜率k存在时，
所以，
联立可得，
所以,，
所以；
综上可知，存在满足条件.
19．答案：(1)；
(2).
解析：（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，，，，直线，
由可得，，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，，所以，同理可得，
所以
又因为直线、的倾斜角分别为，，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线的斜率存在.
设，，，,直线
由得：，,同理，.
直线,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，，，，
设,若P、M、N三点共线，由，
所以，化简得，
反之，若,可得过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，过定点
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.