浙江省嘉兴市八校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份浙江省嘉兴市八校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题Ⅰ，选择题Ⅱ，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，
即，，，
又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，
故.
故选：A.
2. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（ ）
A. 30种B. 11种C. 15种D. 35种
【答案】A
【解析】由题意可得不同的选法种数是种.故选：A.
3. 的展开式的第项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二项式展开式的通项为（且），
所以展开式的第项的系数是.
故选：A
4. 设随机变量，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由题意得，
故.
故选：C.
5. 一个盒内有五个月饼，其中两个为果浆馅，三个为五仁馅，现从盒内随机取出两个月饼，若事件“取到的两个月饼为同一种馅”，“取到的两个月饼都是五仁馅”，则概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，
所以.
故选：D
6. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A. 240B. 192C. 96D. 48
【答案】B
【解析】丙在正中间（4号位）；
甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲､乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为.故选：B.
7. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以时，时，
时，时，
所以不等式的解集为.
故选：C
8. 已知函数，若，其中，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且当时，，
当时，，
且时，或，
又，
，
整理得：，
所以的对称中心为，
如图所示：
令，
则由图可知：且，，，所以A错误；
对于B：，
又因为，所以，且，
所以，
所以，
因为在上单调递减，故，所以，故B错误；
对于C，因为，，，
所以，由，知，，
由B知，，所以，
故，又，所以，所以C正确；
对于D，因为的对称中心为，当时，所以，
或者根据三次方程的韦达定理知，，所以D错误.
故选：C
二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．）
9. 设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】依题意，解得，即，故D正确；
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BCD
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】令，则①，故B正确；
令，则②，
由①②得，故A正确；
展开式的通项为，
令，则，所以，故C错误；
令，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A，令，则，
故时，单调递增；时，单调递减，
所以的极大值，且，，
因直线与曲线相交于､两点，
所以与图象有个交点，所以，故A正确；
对B，设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，
即，
因为，所以，即，故B错误；
对C，因为，
所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以
，故C正确；
对D，因为，，所以，
又因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
其中不等式①的证明如下：
不等式①（其中），
构造函数，则．
因为，所以，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立.
故选：ACD.

非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的导函数是___________.
【答案】
【解析】
故答案为：
13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______．
【答案】
【解析】因为总体密度函数为：，
所以，即，
由，所以
所以数学成绩超过分的人数大约为人，
故答案：.
14. 用这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是的倍数的九位数，这样的九位数有______个（用数学作答）
【答案】1296
【解析】若任意相邻的三个数字之和是的倍数，
因此第三个数与第个数的余数也必然相同，故第一，四，七个数和第二，五，八个数
第三，六，九个数必为，
因此有个.故答案为：1296
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
解：（1）的定义域为，
，所以，
又因为，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为
（2），
当时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.
16. 已知的展开式中，所有项的系数之和是512．
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求的展开式中的常数项.
解：（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展开式通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为27.
（2）由（1）知，，从而，
因为的展开式的通项为，
所以的常数项为，
又的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
17. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
解：（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
18. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率；
（3）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率．
解：（1）记“这个产品都是次品”为事件，则.
（2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，
则“第次从乙箱中取到正品”，，
则，，，，
因此，
所以.
（3）令事件=“从乙箱取一个正品”，
事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且，
，，
则
，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是.
19. 已知函数
（1）是的极值点，有两个零点，求的取值范围；
（2）令，讨论的单调性；
（3）当时，设和为两个不相等的正数，且，证明：．
解：（1），
因为是的极值点，所以，解得，
经检验符合题意，
则，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，

函数有两个零点，
即函数的图象有两个不同的交点，
由图可知，所以；
（2），
，
函数为减函数，
令，则，
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，减区间为，
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调减区间为，增区间为；
（3）当时，，
由，不妨设，
又，结合（1），则，
要证，即证，若 ，则必成立，
若，即证，
又因为，只需证，
令，
则，
在单调递增，
，
即，
再证，由，得，
即证，
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上.
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