浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分（共58分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合之间的关系利用交集运算法则可得结果.
【详解】由集合可得。
故选：A
2. 已知1，是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求得.
【详解】由一元二次方程根与系数的关系可得，即可得.
故选：C
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由解得；
由解得；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接将点的坐标代入解析式，即可求出参数的值.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，即，
则，解得.
故选：D
5. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数单调性即可限定出的范围，可得结论.
【详解】由指数函数为单调递增函数可知，即；
再由对数函数为单调递减函数可知，即，
所以可得.
故选：B
6. 方程的解所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令，在上连续，且单调递增，
对于A，因为，，
所以的零点不在内，所以A错误，
对于B，因为，，
所以的零点不在内，所以B错误，
对于C，因为，，
所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，
对于D，因为，，
所以的零点不在内，所以D错误，
故选：C
7. 已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.
【详解】易知函数的图象的分段点是x=1，且过点，，又，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.
8. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性以及单调性结合函数值，画出函数图象草图即可解不等式.
【详解】根据题意可知，由可得，
再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象示意图如下：

对于不等式，
当时，即时，，由图可知；
当时，即时，，由图可知；
因此不等式的解集为.
故选：D
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 命题“”的否定是“或”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 命题“”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D.
【详解】对于A：当时，，所以为真命题，故A正确；
对于B：命题“”的否定是“或”，故B正确；
对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误；
对于D：命题“”的否定为：，显然，所以命题为真命题，故D正确；
故选：ABD
10. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】用列举法表示集合，利用集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断选项A，B错误，选项C，D正确.
【详解】由题意得，.
A. ，选项A错误.
B. ，选项B错误.
由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确.
故选：CD.
11. 下列说法不正确的是（ ）
A. 函数 在定义域内是减函数
B. 若是奇函数，则一定有
C. 已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D. 若定义域为，则 的定义域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于AB，取，即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】对于AB，若，因为，是奇函数，但，时，无意义，故AB描述不正确，符合题意；
对于C，已知函数 在 上是增函数，
首先当时，单调递增，则，
其次当时，（对称轴）单调递增，则，即，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即，
所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意；
对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意.
故选：ABC.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则的值是________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
13. 计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】由指数与对数的运算性质求解即可.
【详解】
故答案为：
14. ，用表示中的最小者，记为，，则的最大值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】利用分段函数的概念结合函数图象求最大值.
【详解】令，
由解得，或，
作出函数图象如下，

由图象可得，，
则函数的图象如下，

所以，
故答案为:0.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出，然后根据集合的并集的概念求解出的结果；
（2）根据得，再解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，，
所以，；
【小问2详解】
解：因为，
所以，解得，
所以，实数的取值范围为
16. 已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数的最小值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）计算的对称轴，利用单调区间和对称轴的关系即可得到结果.
（2）讨论、、三种情况，根据对称轴和区间的关系计算最小值.
【小问1详解】
由题意得，函数对称轴为直线，
∵函数在上是减函数，
∴，即.
【小问2详解】
①当时，在上为增函数，
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
③当时，在上为减函数，.
综上得，当时，，
当时，，
当时，.
17. 已知函数，且．
（1）求；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增；
（3）在区间上，若函数满足，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由，求解即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴.
【小问2详解】
由于，
证明：，且，
则
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上单调递增.
【小问3详解】
∵在上单调递增，所以，
∴， ，
∴.
18. 已知函数，记集合为的定义域．
（1）求集合；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）奇函数 （3）
【解析】
【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；
（2）由函数的奇偶性判断即可；
（3）令，利用单调性求复合函数的值域即可.
【小问1详解】
由真数大于0可知，，.
【小问2详解】
可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
【小问3详解】
令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．
19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）
（2）老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解；
（2）分，，由求解即可.
【小问1详解】
由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
【小问2详解】
由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．