浙江省嘉兴市八校联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

这是一份浙江省嘉兴市八校联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小.
【详解】由题设，设倾斜角为且，则，
所以.
故选：B
2. 两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】，
两平行线间的距离为，
故选：B
3. 已知平面内两定点及动点，设命题甲是： “是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解决这道题目首先要了解充分，必要条件的概念，小范围是大范围是充分条件，大范围是小范围的必要条件，若二者范围相同，则为充要条件，若不是包含关系，则既不充分也不必要。由题目可知，命题甲得出，而命题乙椭圆的定义得出，从而可得到甲是乙的必要不充分条件
【详解】是定值有两种情况，，则动点的轨迹为线段，或，则动点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以命题甲不一定能够推出命题乙，反之，如果点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆定义可得出为定值，综上可得，命题甲是命题乙的必要不充分条件
故选：B
4. 在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.
【详解】由已知，
设平面的一个法向量为，
取，解得，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.
故选：A
5. 已知圆：与圆：外切，则的值为（ ）
A. 1B. 5C. 9D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心距等于半径和求解即可.
【详解】因为圆：与圆：外切，
所以，解得.
故选：A.
6. 如图，在三棱锥O­ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为
.
故选：A
7. 圆与的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
8. 已知椭圆的右焦点为，点，在直线上，，为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解.
【详解】由已知设，
则，
则，
又，
两式做差可得，整理得，
则.
故选：C.
二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知椭圆：，在下列结论中正确的是（ ）
A. 长轴长为8B. 焦距为
C. 焦点坐标为D. 离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先确定的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可.
【详解】由已知得，
则，
故椭圆长轴长为，焦距为，
焦点坐标为，离心率，故ABD正确，
故选：ABD.
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间位置关系的向量证明来逐一判断即可.
【详解】对于A：，故，即，A正确；
对于B：，故，即，B正确；
对于C：明显不存在实数，使，即不共线，则不成立，C错误；
对于D：，即不垂直，则不成立，D错误.
故选：AB.
11. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为D. 直线与圆可以相切
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12. 已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点（ ）
A. 若的面积为，则的最大值为9
B. 若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为
C. 若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则
D. 若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】A：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；B：设切线方程，与椭圆方程联立，结合运算求解；C：利用点差法分析运算；D：利用点差法的结论分析得，运算求解.
【详解】由椭圆方程知：，设点，
A：，当且仅当点为短轴上的顶点时等号成立，错；
B：显然过处切线的斜率存在，设切线方程为，
联立，消去y得，
则，整理得，
解得，故过处切线方程为，即，对；
C：设，则，，则，
两式相减得，则，即，错；
D：当不与重合时，由C知：，
由，，则，所以，
设，则，，可得，
整理得；
当与重合时，满足题意，符合上式；
综上：方程为，对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求点的轨迹常用方法，
1.直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；
2.定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；
3.相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；
4.参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程.
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆的方程为，则该圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案.
【详解】圆的方程为，
即，
故则该圆的半径为.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______．
【答案】3
【解析】
【分析】先确定，然后根据为等边三角形得到，带入已知计算即可.
【详解】由已知得，则，
又为等边三角形，则，即
所以，解得.
故答案为：.
15. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量在向量上投影向量的坐标.
【详解】由投影向量定义知：向量在向量上投影向量.
故答案为：
16. 在正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成角为，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角范围即可.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，，，，，，
设，则，
则．
当时，取到最大值，此时；
当时，取到最小值，此时．
所以的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线：，直线：．其中，均不为0．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由两线垂直的判定列方程，即可求值；
（2）由两线平行的判定列方程，即可求值，注意或；
【小问1详解】
由，则，得.
【小问2详解】
由，则，故，其中（或）．
18. 已知，．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）当时，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由于，
所以，
所以，
，
解得或.
19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线可得平行四边形，根据线面平行的判定定理求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面所成的角.
【小问1详解】
取中点，连接，如图，
∵，分别为，的中点，
∴，且，
又底面为正方形，且为中点，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
由平面，平面，可得，
又正方形中，故两两垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，
故，，
设平面一个法向量为，
则，令，可取，
设平面的一个法向量为，
则，令，可取，
设平面与平面所成角为，
则，
∴平面与平面所成角的余弦值为．
20. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
（1）求椭圆和其“准圆”的方程；
（2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
【答案】（1）椭圆的方程为，其“准圆”方程为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
（2）设，写出，坐标，应用向量数量积的坐标表示得，结合是椭圆上及其有界性，即可求范围.
【小问1详解】
由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．
【小问2详解】
由题意，设，则有，
不妨设，，所以，，
所以，又，则，
所以的取值范围是．

21. 已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设写出的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线:上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
（2）根据已知得，再由圆心到直线的距离求参数范围.
【小问1详解】
因为的中点为，且，所以的垂直平分线为，即，
由，得，所以圆心，则半径，所以圆：．
【小问2详解】
如图，由得，所以，

所以圆心到直线的距离，则，解得
所以的取值范围为．
22. 已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设，根据已知有，化简整理得轨迹；
（2）设，，，写出切线、并将点代入得直线为，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与，应用韦达定理、弦长公式求的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形面积的最小值.
【小问1详解】
设，则，化简得：，
所以点M 的轨迹E的方程为.
小问2详解】
设，，，则切线为，切线为，
将点分别代入得，所以直线为，
点到的距离，当时，．
另一方面，联立直线与得，
所以，则，
当时，．所以．
故时，最小值为.