人教版第一册上册集合课后复习题

这是一份人教版第一册上册集合课后复习题，共13页。试卷主要包含了Venn图，子集的性质，已知集合等内容，欢迎下载使用。


一．子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
4.子集的个数
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
二．空集
1.定义：不含任何元素的集合叫做空集
2.记作：∅
3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A
4.特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
(2)若A≠∅，则∅A
5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系
一．判断集合关系的方法
1.观察法：一一列举观察.
2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
3.数形结合法：利用数轴或Venn图.
二.求给定集合的子集的两个注意点：
1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
三．由集合间的关系求参数
1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．
2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．
3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
考点一 集合间的关系
【例1-1】（2023·江苏）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，则.故选：D.
【例1-2】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·北京）已知集合，，则（ ）
A．⫋B．C．D．
【答案】A
【解析】，，则⫋.故选：A.
2．（2022秋·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，
对于A，因为，故选项A错误；
对于B，是一个集合，且，故选项B错误；
对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；
对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，
故选：D.
3．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，
所以不包含于，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确；
故选：A
考法二 空集
【例2-1】（2023安徽）下列集合中为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.
【例2-2】（2022·上海）下列命题中正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合，那么，若，则
【答案】D
【解析】A选项，空集是其本身的子集，A错；
B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；
C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；
D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·天津）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
2．（2023·北京）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
3．（2023·河南）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.答案：A.
考法三 （真）子集的个数
【例3-1】（2022秋·江苏扬州）已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【解析】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.
【例3-2】（2023·海南）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：七种可能.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023·江苏南京）集合的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】，故子集个数为.故选：B
2．（2023·新疆）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中，
共有4种情况，，故选：D
3．（2023·河南开封）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【解析】由题意得，所以集合的真子集个数为.故选：C.
考法四 已知集合关系求参数
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
【例4-2】（2023·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，故时，则且，
若中只有一个元素，
①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；
②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，
当时，则符合题意，
综上可知：或，
故选：D.
【例4-3】（2023秋·河南郑州）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.
【答案】
【解析】因为集合没有非空真子集，
所以集合中元素的个数为1或0个，
当集合中元素的个数为1个时，
若，则有，解得，符合题意，
若，则有，解得，
当集合中元素的个数为0个时，
则，解得，
综上或，
即实数a构成的集合为.
故答案为：.
【例4-4】（2023·江苏）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)不存在
【解析】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
【一隅三反】
1．（2023·福建）（多选）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（ ）
A．－3B．－2
C．0D．3
【答案】BCD
【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.
所以B＝，，，.
当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去；
当B＝时，，解得a＝3；
当B＝时，，解得a＝－2；
当B＝时，a＝0.
综上可得实数a的可能取值为3，0，－2.
故选：BCD.
2．（2022秋·河南·高一统考期中）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
3．（2023·安徽芜湖）若集合，，且，求实数m的值.
【答案】或或
【解析】，
当时，，
当时，，
因为，所以或，
所以或，
综上所述，或或.
4．（2022·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
（2）解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
5.（2023·安徽）已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
集合
相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合；0是实数
∅不含任何元素；{0}含一个元素0
∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅
关系
0∉∅
∅{0}
∅{∅}或∅∈{∅}