精品解析：河北省部分地区2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 当时，曲线与交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分，共18分）
8. 设函数，若存，且，使得，则（ ）
A. B.
C 可能有且仅有两个零点D. 至多有四个零点
9. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C的图象关于原点对称
B. 曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
10. 设抛物线焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则___________．
11. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则________．
12. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
14. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
15. 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的大小；
16. 已知函数在处取得极值2，且．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）证明：若函数在区间上不单调，则．
17. 设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和（），能满足，则称和是幸运数对.
（1）求数列的通项公式；
（2）若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；
（3）证明：对于任意的正整数N，在数列中总存在两个数和（），使得.