精品解析：广东省肇庆市香山中学2024届高三高考仿真2数学试题

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可.
【详解】由题意可得，，则.
故选：B.
2. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】，则，有.
故选：A
3. 若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量，由向量的夹角为钝角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；
“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分条件，
即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
4. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5. 当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知结合两角和差的正弦公式及二倍角公式化简，求出，再根据两角差的正切公式即可得解.
【详解】由，
得，
即，所以，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知，则的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲选手射击环数的极差小于乙选手射击环数的极差
B. 甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C. 甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差
D. 甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数
【答案】BC
【解析】
【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解
【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：
极差等于；
平均数等于；
方差等于；
第75百分位数等于91.
乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：
极差等于；
平均数等于；
方差等于；
第75百分位数等于92.
综上可知，BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. D. 边上的高的最大值为
【答案】AD
【解析】
分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出，再结合三角形面积公式、余弦定理逐项计算判断得解.
【详解】在中，由及正弦定理，得，而，
则，由余弦定理得，而，解得，
对于A，，A正确；
对于B，显然，当且仅当时取等号，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，令边上的高为，则，解得，D正确.
故选：AD
11. 如图，在棱长为2正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D.
【详解】A：如图，在正方体中，连接．
因为N，P分别是的中点，所以．
又因为，所以．
所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确；
B：连接，当Q是的中点时，因为，所以．
因为平面平面，所以平面，故B正确；
C：连接，因为，则
，故C正确；
D：分别取的中点E，F，构造长方体，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球．
设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.
【详解】由题得，解得，
所以当时，，
所以.
故答案为：4.
13. 设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过解三角形知识得出，将其代入双曲线方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】如图所示，，，
过点作轴，垂足为，则，
在中，，，
即有，，
故点的坐标为，
代入双曲线方程得，即为，
的离心率.
故答案为：.
14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用全概率公式求出；利用期望的计算公式求出有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可.
【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知
故答案为： ;.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组并求解即得.
（2）求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出纵坐标差的绝对值即可计算面积.
小问1详解】
依题意，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由直线过点且倾斜角为，得直线的方程为，
由消去并整理得，易知，
设，则，
于是，
所以面积为.
.
16. 如图，三棱锥中，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若E为中点，点F满足，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点E，连接，，根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
取中点E，连接，.
因为，，
可知和是两个全等的等边三角形，
不妨设，.
若E为中点，则，
又因为，则，，可知，
在中，则，可知，
且，，平面，可知平面.
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）可知：，，两两垂直，
以E为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，.
因为，即，
可得. ，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，即.
设直线与平面所成角为，
则，
可得，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
17. 随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
（1）根据散点图判断，与（，，，d均为常数）哪一个更适宜作为利润关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程；
（3）该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．
参考数据：
其中，设，．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）选用作为利润关于月份的回归方程更合适
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由散点的分布在一条曲线附近，即可选择非线性的.
（2）由对数运算，结合最小二乘法即可求解，
（3）由概率的乘法公式，结合全概率公式即可求解.
【小问1详解】
散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在轴上的差距是增大的趋势．故选用作为利润关于月份的回归方程更合适．
【小问2详解】
由，取对数可得，设，所以，
，，，，
所以，
，所以，
，即．
【小问3详解】
设事件为“实验车报废”，事件为“只有一车碰撞实验车”，事件为“恰有两车碰撞实验车”，事件为“三车碰撞实验车”，
则
=0.36
由已知得，
利用全概率公式得
解得
所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．
18. 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.
【详解】（1）
若，，在上单调递减；
若a>0，当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增.
（2）若，在上单调递减，
至多一个零点，不符合题意.
若a>0，由（1）可知，的最小值为
令，，所以在上单调递增，
又，当时，，至多一个零点，不符合题意，
当时，
又因为，结合单调性可知在有一个零点
令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以
当时，

结合单调性可知在有一个零点
综上所述，若有两个零点，的范围是
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.
19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
（1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
（3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
【答案】（1）an不是“X数列”
（2）证明见解析；，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可.
（2）由先求出数列an通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可.
（3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出.
【小问1详解】
由题，
所以有，，
故根据“X数列”的定义an不是“X数列”.
【小问2详解】
因为，
所以当时，；
当时，；
则不满足，所以，
令，即，
则当时，有，；
当时，有；故即，
则对每一个，有且仅有一个且，使得，
综上，对任意，有且仅有一个，使得，
所以an为“X数列”，
由上，，
即an的“余项数列”通项公式为，.
【小问3详解】
因为an是正项数列，所以单调递增，
所以，故，
因为，且an为“X数列”，
所以，故由得，
an的“余项数列”bn为等差数列，故其公差，
因为，所以，
若，则当时，，与矛盾，
故，所以，，即，
对于，若，则，与正项数列an矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，
所以，.
【点睛】关键点睛：证明的关键第一步是探究出“余项数列”bn公差；第二步是探究出时有矛盾得到；第三步是探究出时若有矛盾，从而得到，进而得出.
甲
乙
87
90
96
91
86
90
86
92
87
95
月份
1
2
3
4
5
6
收入（百万元）
6.8
8.6
16.1
19.6
28.1
40.0
19.87
2.80
17.50
113.75
6.30