精品解析：河南省洛阳市第一高级中学2025届高三上学期开学数学试题

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考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数,若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（ ）
A B. C. D. 4
6. 已知正方形边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
8. 若函数在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 定义域为
B. 是偶函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若复数，满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若向量，满足，则
D. 若复数满足，则
11. 甲､乙､丙､丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（ ）
A. 甲在第10轮报了33个数字
B. 数字2023是丁报
C. 甲共报了37轮
D. 甲在前四轮所报数字之和为1540
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为__________.
13. 在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．
14. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围.
16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，已知该疾病的患病率为，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.将患病者判定为阴性或将未患病者判定为阳性均为误诊.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当临界值时，已知某人是患病者，求该人被误诊的概率；
（2）当时，求利用该指标作为检测标准的误诊率的解析式，并求使最小的临界值.
17. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．
（1）若米，求长；
（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点的位置，并求的最小值．
18. 如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
19. 已知数列前项和为，且满足.
（1）证明：.
（2）当时，求证：；
（3）是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.