2025届河北省部分地区高三上学期开学考试数学试题

这是一份2025届河北省部分地区高三上学期开学考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：D
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
【详解】因为，所以.
故选：A
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，
所以，
又，所以，解得.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据两角和公式结合切化弦得出，再应用两角差余弦计算.
【详解】因为,
又因为,
所以,
所以.
故选：A.
5．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式分两段讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】因为，则不等式，
等价于或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：B
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，转化为方程根的个数列式计算即得.
【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数，
由，得，，
则或或，
解得或或，因此方程在上有3个解.
所以当时，曲线与的交点个数为3.
故选：A
二、多选题
7．已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先求出函数局部周期性，再求值即可.
【详解】当时，
由于得到，
则，A错；
，B对；
，C对；
，D错；
故选：BC.
8．设函数，若存在，且，使得，则（ ）
A．B．
C．可能有且仅有两个零点D．至多有四个零点
【答案】CD
【分析】分析导数研究函数的单调性与极值，取特殊函数由零点存在性定理确定零点个数即可判断选择支.
【详解】，，由题意，函数至少有个零点.
，
设，令，则.
当，即时，
当，则，在单调递减；
当，则，在单调递增；
所以有最小值，最小值为，此时函数无零点，不满足题意；
当，即时，
由，，
当时，，
当，则，在单调递减；
当，则，在单调递增；
所以有最小值，最小值为，
又，，
由零点存在性定理可得，在各有一个零点，
故当时，函数有且仅有个零点，满足题意，故A错误，C正确；
当时，
；
当，则，在单调递减；
当，则，在单调递增；
当，则，在单调递减；
当，则，在单调递增；
所以在处取极小值，在处取极大值，在处取极小值，
又，
由零点存在性定理可得，在各有一个零点，
即有个零点，
所以当时，满足题意，故B错误；
又为四次函数，至多有个零点，故D项正确.
故选：CD.
9．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的图象关于原点对称
B．曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断A；利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可判断B；利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断C；联立直线与曲线研究方程根的情况即可判断D．
【详解】对于A：设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，
即方程成立，
可得成立，
即点关于原点的对称点也适合曲线方程，
所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；
对于B：方程可化为，
令，则方程，
由判别式，可得，
若是整数，则.
令，，解得或或，有三个整点，，；
令，，解得或，此时无整点；
所以曲线共经过个整点，故B错误；
对于C：设曲线上任一点，
当为原点时，到原点的距离为，满足题意；
当不为原点时，，
则由可得，，
所以点到原点的距离，且；
综上，曲线上任一点到原点的距离都不超过，故C正确；
对于D：直线恒过原点，且曲线经过，
则直线与曲线至少一个公共点，
又与曲线只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立，
消得，
当时，方程仅一解，满足题意；
当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，
当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；
综上可得，解得或，即实数的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.
三、填空题
10．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ．
【答案】/
【分析】设，，根据抛物的定义表示出，，再根据三角形相似得到，即可求出.
【详解】设，，抛物线的焦点为，准线为，
因为，，根据抛物线的定义可得，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，所以，
所以，即，解得．
故答案为：．
11．若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与，消元，根据计算可得.
【详解】由，所以，则，
所以曲线在点处的切线为，即；
又与曲线相切，
由，可得，
则，解得或（舍去），
故答案为：
12．某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为 ．
【答案】
【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.
【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为
.
故答案为：.
四、解答题
13．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，即，
显然，所以，又，所以；
（2）由余弦定理，即，
又，所以，
解得，
所以.
14．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据题意列出的方程组，结合求解出的值，则椭圆方程可知；
（2）设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，结合条件可知，通过化简可求得、的关系，从而求出定点坐标.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，
联立可得，
且，即，
所以，，
因为以为直径的圆经过点，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简可得，解得或，
当时，，过定点，符合题意；
当时，，过点，不满足题意，
综上所述，直线过定点.
15．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，计算，进而可得答案；
（2）求出平面的法向量，，利用线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）因为平面，，
如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，因为，所以．
（2）设平面的法向量，，
则，即，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
又，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
16．已知函数在处取得极值2，且．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；
(3)证明：若函数在区间上不单调，则．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，由已知建立方程组，求解方程组并验证即得.
（2）由（1）求出函数在上的性质，结合三次函数性质求解即得.
（3）利用二次函数性质推理即得.
【详解】（1）由函数，求导得，
依题意，，解得，此时，
当或时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，即是极值点，
所以.
（2）由（1）知，，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而当时，，当时，，
由函数在区间上有三个零点，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
（3）由（1）知，，函数的图象对称轴为，
由函数在区间上不单调，得，解得，
所以原命题正确.
17．设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和（），能满足，则称和是幸运数对.
(1)求数列的通项公式；
(2)若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；
(3)证明：对于任意的正整数N，在数列中总存在两个数和（），使得.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由累加法求通项即可；
（2）由通项公式与不等式性质可得恒成立；
（3）由数列通项证明数列递增规律，利用放缩法将所证不等式消元转化为一元不等式，求解满足不等式的正整数解即可.
【详解】（1）由题意，任意的，都有，
所以，
则当时，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式；
（2）设从该数列中任意选取两个不同的数和（，且），
则，
由，且，可得，，
则，即恒成立.
所以从数列中随机选取两个数，这两个数构成“幸运数对”的概率为；
（3）由任意，可知，数列是递增数列，
所以，故，且，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列.
且当，对于任意的正整数N，存在，使.
故任意，，都有，
令，得，此时恒成立，
若为奇数，则为整数，故数列中第项后的任意两项都满足题意；
若为偶数，则为整数，且，故数列中从第项起之后（包含第项）的任意两项都满足题意.
例如，任意正整数，取，
则恒成立，
故对于任意的正整数N，在数列中存在第项与第项，
即满足条件，故得证.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.