丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期10月第一次段考数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期10月第一次段考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点的直线的斜率为( )
A.B.C.D.
2．圆的圆心坐标及半径分别为( )
A.,5B.,C.,D.,5
3．椭圆一个焦点的坐标是( )
A.B.C.D.
4．已知直线,圆,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能
5．直线与直线平行,则( )
A.0B.1C.D.1或
6．当曲线与直线有两个相异的交点时,实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图,在圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
8．已知圆,圆,点P为y轴上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线l经过点和,则下列说法正确的是( )
A.直线l在两坐标轴上的截距相等
B.直线l的斜率为1
C.原点到直线l的距离为
D.直线l的一个方向向量为
10．下列说法正确的是( )
A.若直线与直线互相垂直,则
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过点作圆的切线l,则切线l的方程为
D.圆与圆的公共弦长为
11．若两定点,,动点M满足,则下列说法正确的是( )
A.点M的轨迹所围成区域的面积为
B.面积的最大值为
C.点M到直线距离的最大值为
D.若圆上存在满足条件的点M,则的取值范围为
三、填空题
12．圆心为,半径是2的圆标准方程为________.
13．点在线段AB（含端点）上运动，且，，则的取值范围为__________.
14．已知椭圆的右顶点为A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率,若点M为椭圆上任意一点,则的取值范围是________.
四、解答题
15．根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式:
（1）斜率是,且经过点;
（2）经过,两点.
16．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为;
（2）经过点和.
17．已知圆C的圆心为,且该圆被直线截得得弦长为
（1）求该圆的方程;
（2）求过点A的该圆的切线方程
18．圆C过、两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程.
19．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
（1）求该圆弧所在圆的方程.
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
参考答案
1．答案：B
解析：根据两点的斜率公式可得.
故选:B.
2．答案：B
解析：依题意,圆转化为标准方程得,
所以圆心为,半径为.
故选:B
3．答案：B
解析：由椭圆,知,,,,
故焦点坐标为,.
故选:B
4．答案：C
解析：因为圆,所以,
半径,因为点C到直线l的距离,
所以直线l与圆C的位置关系是相离.
故选:C.
5．答案：B
解析：因为直线与直线平行,
所以,
所以或,
当时,直线与直线重合,舍去,
故.
故选:B.
6．答案：C
解析：,即,,是圆的下半部分,
直线过定点,且,,
画出图像,如图所示:
当直线与半圆相切且斜率存在时,圆心到直线的距离,解得,
,根据图像知:.
故选:C
7．答案：A
解析：设,,则,.
为线段PD的中点,
,即,.
又点P在圆上,
,即.
故点M的轨迹方程为.
故选:A
8．答案：B
解析：圆的圆心为,半径为,
圆的标准方程为,圆心为,半径为,
如下图所示:
作圆心关于y轴的对称点,由对称性可知,,
所以,,
当且仅当M、P、三点共线时,取最小值.
故选:B.
9．答案：BC
解析：直线l经过点和,所以直线的斜率,故B正确;
易得直线的方程为,即,
令,得,即纵截距为1,令,得,即横截距为,故A错误;
原点到直线l的距离,故C正确;
因为,所以不是直线l的一个方向向量,故D错误;
故选:BC.
10．答案：BD
解析：对A:因为两直线垂直,所以:,可得或,故A错误;
对B:由直线方程可得,直线斜率,故倾斜角的取值范围为:.故B正确;
对C:因为,所以点P在圆外,故过P的切线有两条,故C错误;
对D:两个圆的方程相减,得两圆公共弦所在直线方程为:,
又圆可化为:,得圆心,半径为,
圆心到公共弦的距离为,
所以半弦长为,故弦长为.故D正确.
故选:BD
11．答案：ABD
解析：设,由得:,
,整理可得:,
点M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆;
对于A,点M轨迹围成的区域面积为,A正确;
对于B,,若取得最大值,则点M到直线AB的距离最大,即到x轴的距离最大,
点M到直线AB的距离的最大值为,
面积的最大值为,B正确;
对于C,圆心到直线的距离,
点M到直线距离的最大值为,C错误;
对于D,由题意知:点M的轨迹与圆C有公共点,即两圆有公共点,
圆C的圆心为,半径为,
两圆的圆心距为,,
解得:,即的取值范围为,D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：圆心为,半径是2的圆标准方程为
.
故答案为:.
13．答案：
解析：由题意，可看作是定点与线段AB上的点连线的斜率.
又，，
则由图可得的取值范围为，
14．答案：
解析：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以,
因为离心率,所以,所以,所以椭圆的方程为.
设,则,
因为,,所以
.
因为,所以,即的取值范围是.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由点斜式方程,可知所求直线的方程为,化为一般式方程为;
（2）由两点式方程,可知所求直线的方程为,化为一般式方程为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可知焦点在x轴上,故设椭圆方程为,
则,,得:,,从而.
所以椭圆的标准方程为
（2）当焦点在x轴上时,设椭圆方程为,
带入两点得:,解得,不合题意,舍去,
当焦点在y轴上时,设陏圆方程为,
代入两点得:,解得,
所以椭圆方程为
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆C的圆心到直线的距离为:
,
则弦长为,解得,
所以圆的方程为:;
（2）当直线的斜率不存在时,直线方程为:,
则圆心到直线的距离为,复合题意;
当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,
则圆心到直线的距离,解得,
所以直线的方程为:,
综上:该圆的切线方程为:或
18．答案：(1)；
(2)，，
解析：（1）两点，的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，
则，
故圆C的方程为：；
（2）由直线l且被圆C截得的弦长为6，
故圆心C到直线l的距离为，
A.若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，
，此时直线l的方程为：
A.若直线不过原点，设直线为：，
，
此时直线l的方程为：，
综上：直线l的方程为：，，.
19．答案：（1）
（2）4辆
解析：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设圆心为.
设该圆的半径为r米，则，解得，
因此，
故该圆弧所在圆的方程为.
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
则，解得.
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为，
故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为，
则隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.