丰城市第九中学2023-2024学年高二下学期4月第一次段考数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2023-2024学年高二下学期4月第一次段考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数列的通项公式是,,则它的图象是( )
A.直线B.直线上孤立的点C.抛物线D.抛物线上孤立点
2．已知等差数列,则是成立的________条件( )
A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要
3．已知等差数列的前n项和为,满足,,则等于( )
A.10B.11C.12D.13
4．在数列中,已知,,若,则( )
A.2B.3C.4D.5
5．等差数列中,已知,前n项和为,且,则最小时n的值为( )
A.11B.11或12C.12D.12或13
6．已知数列的前n项和为,且,．若,则正整数k的最小值为( )
A.11B.12C.13D.14
7．设数列首项,前n项和为,且满足,则满足的所有n的和为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
8．设数列的前n项和为,且,记为数列中能使成立的最小项,则数列的前2023项和为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．数列2,0,2,0,…的通项公式可以是( )
A.B.
C.D.
10．如图,三角形数阵由一个等差数列排列而成,按照此规律,下列结论正确的是( )
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
11．已知长轴长、短轴长和焦距分别为,和的椭圆,点A是椭圆与其长轴的一个交点,点B是椭圆与其短轴的一个交点,点和为其焦点,．点P在椭圆上,若,则( )
A.a,b,c成等差数列
B.a,b,c成等比数列
C.椭圆的离心率
D.的面积不小于的面积
三、填空题
12．设为等差数列的前项和,若,,则__________.
13．等比数列的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,则这个等比数列的公比_____________.
14．函数的最小值是,数列满足,,则数列的通项公式是____________．
四、解答题
15．已知为等差数列,,.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
16．已知为公差不为0的等差数列的前n项和,且．
（1）求的值;
（2）若,求证：．
17．已知数列的前n项和为,,且.
（1）求数列的通项;
（2）设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
18．设数列的首项为常数,且．
（1）证明：是等比数列;
（2）若中是否存在连续三项成等差数列？若存在,写出这三项：若不存在,请说明理由．
（3）若是递增数列,求的取值范围．
19．已知数列中,,设为前n项和,．
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和
参考答案
1．答案：B
解析：数列对应点为,,,
所以图象是直线上孤立的点.
故选：B.
2．答案：B
解析：当时,由等差数列下标和性质得显然成立,故充分性成立,设首项为,
公差为d,当时,无论k取何值,一定成立,无法推出,可得必要性不成立,即则是成立的充分不必要条件.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为数列为等差数列,
,
所以：.
所以：.
故选：D.
4．答案：C
解析：由,,取倒数得：,
则是以为首项,2为公差的等差数列．
所以,所以;
由于,故．
故选：C.
5．答案：C
解析：根据题意由可得,
整理可得.
所以,
由,可得;
由二次函数性质可知,当时,取最小时.
故选：C.
6．答案：C
解析：数列中,,当时,,则,
整理得,即,而,即,
因此数列是以为首项,公比为的等比数列,,
则,由,知k为奇数,此时是递增的,
而,,
所以正整数k的最小值为13.
故选：C.
7．答案：A
解析：由,可得,
两式相减得,则,
当时,,所以,
所以数列是以为首项为公比的等比数列,
则,,故,
由,可得,
解得,所以或,
即所有n的和为.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为,则,
两式相减,得,
又当时,,故,
所以是以,的等比数列,则,
显然递减,要使得最小,即要使得n最大,
令,得.
若,则,;
若,则,;
若,则,
若,则,,;
若,则,,
则,
,
,,
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A,,,,符合题意,A是;
对于B,,,,符合题意,B是;
对于C,,,,符合题意,C是;
对于D,,,,不符合题意,D不是.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：设等差数列2,5,8,11,14,的通项公式为.
数阵中前7行共个数,
所以数阵中前7行所有数的和为,故A正确.
令,解得,前7行共28个数,第8行有8个数,
所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数,故B错误.
记每一行的第1个数组成数列,
则,,,,
累加得,
所以,则,故C正确.
数阵中第10行从左至右的第4个数是,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：依题意,椭圆方程为,由对称性不妨设,,,
对于AB,由,得,因此,即a,b,c成等比数列,A错误,B正确;
对于C,由,,得,则,而,
因此离心率,C错误;
对于D,由椭圆定义得,,,
由,得,即,
则,,
又,因此,
所以的面积不小于的面积,D正确.
故选：BD.
12．答案：16
解析：方法一：因为为等差数列的前n项和,则,,也成等差数列,
4,,成等差数列,所以,解得.
方法二：设等差数列的公差为d,由为等差数列的前n项和,且,,
所以,解得：,
所以.
故答案为：16.
13．答案：
解析：设数列共有项,
由题意得,,
则,
解得,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为函数的最小值是,
所以当时,,解得.
所以,
因为,,所以,
因为,又,所以,所以.
所以,
两边同时取对数可得：,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列.
所以,即.
故答案：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以,;
所以,,.
（2）设的前n项和为,的前n项和为.
因;
令,得,
所以当时,,当时,,
故当时,;
当时,
故.
16．答案：（1）2
（2）证明见解析
（1）解法一：设的公差为,
由①,得②,
则②-①得,
即,又,则;
解法二：设的公差为,
因为,
所以对恒成立,
即对恒成立,
所以,
又,则;
（2）由得,即,
所以,
又即,则,
因此
则
．
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,
,
当时,由①,
得②,①②得
,,
又,是首项为,公比为的等比数列,
;
（2）由,得,
所以,
,
两式相减得
,
所以,
由得恒成立,
即恒成立,
时不等式恒成立;
时,,得;
时,,得;
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）,,成等差数列;理由见解析
（3）
解析：（1）证明：
,
因为,所以,
所以数列是首项为,公比为-2的等比数列;
（2）因为,所以数列的首项是,
所以,则,
若中存在连续三项成等差数列,则必有,
即,
整理为：,
解得：,
所以,,成等差数列;
（3）如果,
即对任意自然数均成立,
化简得,
当为偶数时,恒成立,
因为是递减数列,
所以的最大值是,即,
当n为奇数时,恒成立,
单调递增,
所以的最小值为,即,
所以的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）数列中,,为前n项和,
当时,,,
当时,①,
②,
由②-①得：,,
即,
当时,,递推可得：,,,,
由累乘法可得：,
,又因为,所以,即,经检验,当时符合上式,
所以;
（2）由（1）可知,,
所以：
,
所以
;
所以数列的前n项和.