丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期10月第一次段考（日新班）数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期10月第一次段考（日新班）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则集合的真子集个数为( )
A.5B.6C.7D.8
2．已知等比数列满足,则的值为( )
A.2B.4C.D.6
3．函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
4．已知,则是的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
6．的展开式中,的系数为( )
A.60B.120C.-60D.-120
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,,为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,则下列命题为真命题的是( )
A.若,,则
B.若,,则,
C.若,,则
D.若,,则
10．有一组互不相等的样本数据,,,平均数为.若随机剔除其中一个数据,得到一组新数据,记为,,,平均数为,则( )
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数
C.若,则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若,则新数据的分位数一定大于原数据的40%分位数
11．记函数的最小正周期为T,若,且在上的最大值与最小值的差为3,则( )
A.B.
C.在区间上单调递减D.直线是曲线的切线
三、填空题
12．设,是复数,已知,,,则_____________.
13．有一种珍惜物种,对于其每个个体,每天都会发生如下事件：有的概率消失,有的概率保持不变,有的概率分裂成两个,对所有新产生的生物每天也会发生上述事件,假设开始只有一个这样的珍惜生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过,则p的最大值为_____________.
四、双空题
14．已知函数.则_____________;若,则实数m的值为_____________.
五、解答题
15．如图,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,,.
(1)求证：平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
16．设函数的图像为曲线C,过原点O且斜率为t的直线为l.设C与l除点O外,还有另外两个交点P,Q（可以重合）,记.
(1)求的解析式;
(2)求的单调区间.
17．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望.
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
18．已知抛物线的焦点为F.设（其中,）为拋物线上一点.过M作抛物线的两条切线,,A,B为切点.射线交抛物线于另一点D.
(1)若,求直线的方程;
(2)求四边形面积的最小值.
19．我们称满足以下两个条件的有穷数列,,,为阶“期待数列”;①;
②.
(1)若数列的通项公式是,试判断数列是否为2014阶“期待数列”,并说明理由;
(2)若等比数列为阶“期待数列”,求公比q及数列的通项公式;
(3)若一个等差数列既是（）阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,集合C中有3个元素,则其真子集的个数有个.
故选：C.
2．答案：B
解析：根据等比数列的性质可得,,
即,解得,
又,,故可得,
故选：B.
3．答案：D
解析：设,定义域为,则有
,
所以函数是偶函数,图象关于y轴对称,故选项A、C错误;
因为,
所以选项B错误;
综上知,选项D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：因为,
所以当时,成立,
当成立时,如取,此时不成立,
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
5．答案：C
解析：,,
又,;
,,又,;
综上所述：.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意中含的项为,则的系数为60,
故选：A.
7．答案：B
解析：设关于平分线的对称点为M,则P,,M三点共线,
设,则,又,所以为等边三角形,所以,
又,所以,,
在中,由余弦定理可得：,
即,所以,所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为,结合题设,
所以,而,
所以,
即,所以,
所以
.
故选：D
9．答案：AB
解析：对A：平行于同一个平面的两个平面互相平行,正确;
对B：两个平面的交线垂直于第三个平面,则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂直的判定定理,该结论正确;
对C：和两条平行直线分别平行的两个平面相交或平行,故C错误;
对D：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABC
解析：不妨设原数据,新数据,
A：例如原数据为1,2,3,4,5,6,新数据为1,3,4,5,6,,此时极差均为,故A正确;
B：原数据中位数为,新数据中位数为,可知或,
若,可得;若,可得;
综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数,故B正确;
C：若,可知去掉的数据为,则,可得,
所以新数据的方差一定大于原数据方差,故C正确;
D：若,可知去掉的数据为,
因为,可知原数据的分位数为第3位数,
,可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数,
例如原数据为,2,3,4,5,6新数据为,2,4,5,6
此时新数据的分位数、原数据的分位数均为3,故D错误;
故选：ABC.
11．答案：BD
解析：由,又,可得,
又,则,即,
若在上单调,则,即,
令,则,
即在上单调递减,
即,即,
此时,此时,不符合题意,
所以在上不单调,
即在上不单调,
又,即,即,
即,,
若,
此时,符合题意;
若,
此时,不符合题意;
综上可得,,即,
对于A,,故错误;
对于B,,
,故B正确;
对于C,当,则,
且在上先递减后递增,故C错误;
对于D,因为,所以,
,可得是在处的切线,故D正确;
故选：BD.
12．答案：
解析：设,,
,,
,
,
,.
故答案为：.
13．答案：
解析：设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为,
那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为,
由题意知,
从而可得,即,
因为,所以,所以。
解之可得,故p的最大值为.
故答案为：
14．答案：e;0或e
解析：因为,所以,
当时,,解得,满足题意;
当时,,解得,满足题意;
综上：m的值为0或e.
故答案为：e;0或e.
15．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)取中点O,连接,,
因为四边形是边长为2的菱形,所以,
因为,所以是等边三角形,
所以,,
因为,所以,
因为,所以,所以.
因为,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面;
(2)因为,所以,
由(1)知,平面平面,而平面平面,
平面,所以平面,
所以直线,,两两垂直,以O为原点建立如图空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
由,取,得,
设平面的法向量为,
由,取,得,
所以,由图可知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
16．答案：(1)
(2)在,单调递减,在,单调递增.
解析：(1)设直线,联立,可得或,
即方程有2个不同的实根,
且,即,
化简可得,由韦达定理可得,
设,,
则,
所以,
(2)当时,,
则,
所以在单调递增;
当时,,
,
当时,,当或时,.
所以在,单调递减,在区间单调递增;
综上所述,在,单调递减,在,单调递增.
17．答案：（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以的分布列为
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则.
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则
.
由，及，得，
则.
又，所以.
设，则，.
易知当时，取得最大值.
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
18．答案：(1)
(2)16
解析：(1)设,,由题得,
抛物线,即,则,
所以抛物线在点处切线的斜率为,
则切线的方程为,整理得,
同理,的方程为,
又M在上,有,
所以直线方程为.
(2)设,,,
联立,消去y整理得,
,
,
设点A,B到直线的距离为,,
则
,
联立,得,
,（其中）,
,
又,代入上式得,
,
当且仅当,即时,取最小值,
所以四边形面积的最小值为16.
19．答案：(1)是;
(2),或;
(3).
解析：(1)∵,
所以,
,
,
所以数列为2014阶“期待数列”;
(2)若,由①得,,得,矛盾
若,则由①,得,由②得或,
所以,,数列的通项公式为或;
(3)设等差数列,,,,的公差为d,,
,,即,
,由,得,,
由①、②知,,两式相减得, ,
又,得,
数列的通项公式是.
0
1
2
3
P