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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程复习练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程复习练习题，共42页。试卷主要包含了定义，焦距， 若常数满足约束条件等内容，欢迎下载使用。
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2-y215=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，若PF1=7，则PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【答案】C
【分析】由双曲线的定义求解.
【详解】由题意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+a=5，若PF1=7，则|7-|PF2||=2 ⇒ PF2=5或9．
故选：C
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“||MF1|-|MF2||为定值”且“||MF1|-|MF2||<|F1F2|”时才成立，即可做出判断．
【详解】充分性：当“||MF1|-|MF2||为定值”，但“||MF1|-|MF2||≥|F1F2|”时，“动点M的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以F1，F2为焦点的双曲线上的动点M满足“||MF1|-|MF2||为定值”，满足必要性；
因此“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B.
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点-1,0，焦点分别为F1-2,0、F22,0，则双曲线的方程为（ ）
A．x22-y2=1B．x2-y22=1C．x23-y2=1D．x2-y23=1
【答案】D
【分析】由a,b,c的关系结合已知即可求解.
【详解】由题意知a=1，c=2，所以b2=c2-a2=4-1=3，
所以双曲线的方程为x2-y23=1.
故选：D.
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A．x2-y224=1B．x224-y2=1
C．x249-y224=1D．x24-y221=1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.
【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距2c=|AB|=10，即c=5，
实轴长2a=||AC|-|BC||=8-6=2，即a=1，于是虚半轴长b=c2-a2=26，
所以所求双曲线方程为x2-y224=1.
故选：A
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，直线l：y=x与E交于A，B两点，且AF⊥BF，则b2a2= .
【答案】2+1/1+2
【分析】设双曲线E的左焦点为F'，分析可知AF'BF为矩形，则AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，分析可知m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，即可得结果.
【详解】设双曲线E的左焦点为F'，连接AF',BF'，AF'=m,AF=n，
由对称性可知：OA=OB,OF'=OF，可知AF'BF为平行四边形，
且AF⊥BF，可知AF'BF为矩形，可得AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，
由题意可得：m2+n2=4c2m-n=2a12mn=2×12×c×c×22，即m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，
因为m-n2=m2+n2-2mn，可得4a2=4c2-22c2=4a2+b2-22a2+b2，
整理可得b2a2=12-1=2+1.
故答案为：2+1.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设F1-2,0,F22,0，由题意知动点M满足MF1-MF2=4=F1F2|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．直线C．双曲线D．两条射线
【答案】D
【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.
【详解】因为MF1-MF2=6，F1F2=6，
故M的轨迹是已F1、F2为端点的两条射线，
故选：D.
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【答案】B
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于x216-y220=1,a2=16,b2=20,∴c2=a2+b2=36,a=4,c=6 ，
PF1=9< a+c ，所以P点在双曲线的左支，则有PF2-PF1=2a=8,∴PF2=17 ；
故选：B.
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足PF1-PF2=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【答案】B
【分析】由PF1-PF2=4【详解】依题意，F1、F2是两个定点，P是一个动点，
且P满足PF1-PF2=4故选：B
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264-y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得PF1-PF2=2a=16，又PF1=6，所以PF2=22.
故答案为：22
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+y2=4及x2+y2-8x+15=0都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
【答案】B
【分析】设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆x2+y2=4的圆心为O0,0，半径为2；
圆x2+y2-8x+15=0的标准方程为x-42+y2=1，圆心为B4,0，半径为1，
设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，
由于动圆P与圆O、圆B均外切，则PO=r+2PB=r+1，
所以，PO-PB=1故选：B.
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
【答案】BCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当a=0时，点M的轨迹为F1F2的垂直平分线，
当2a=|F1F2|=6时，点M的轨迹为两条射线，
当0<2a<|F1F2|=6时，点M的轨迹为双曲线，
当2a>|F1F2|=6时，点M不存在，
故选：BCD
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(-3,0),F2(3,0)，满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．12B．2C．-1D．-3
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组2m-1<62m-1≠0，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标F1(-3,0),F2(3,0)，可得2c=6，
要使得满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支，
则满足2m-1<62m-1≠0，解得-52结合选项，选项B、C符合题意.
故选：BC.
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别是F1与F2,M是双曲线右支的一点，且MF1=7，则MF2= ．
【答案】1
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线的定义可知，|MF1|-|MF2|=2a=6，
所以MF2=7-6=1.
故答案为：1.
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24-y23=1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为 .
【答案】2
【分析】借助双曲线定义即可得.
【详解】由双曲线定义可得PF1-PF2=2a=4，
又P为右支上一点，故PF1-PF2=4，
即PF2=PF1-4=6-4=2.
故答案为：2.
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(-13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且PF1-PF2=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x25-y212=1B．x212-y25=1C．x2144-y225=1D．x225-y2144=1
【答案】D
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知2a=10，c=a2+b2=13，解得a=5，b=12，
所以双曲线C的方程是x225-y2144=1．
故选：D．
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是（ ）
A．y236-x264=1B．x264-y236=1C．x236-y264=1D．x236-y264=1或y236-x264=1
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，a=6,b=8，
当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是x236-y264=1；
当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是y236-x264=1.
所以双曲线标准方程是x236-y264=1或y236-x264=1.
故选：D
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,-5，P是双曲线上一点且满足PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x216-y29=1B．x29-y216=1C．y216-x29=1D．y29-x216=1
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意c=5，PF1-PF2=2a=6,a=3，
所以b=c2-a2=4，
由于双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程是y29-x216=1.
故选：D
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．y216-x29=1B．x225-y29=1
C．x225-y216=1D．x29-y216=1
【答案】D
【分析】根据双曲线中a,b,c的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在x轴上，所以可设方程为x2a2-y2b2=1，
且c=5,a=3，所以b2=c2-a2=16，
所以双曲线方程为x29-y216=1，
故选:D.
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,-4)，P是双曲线上一点且PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x27-y29=1B．x29-y27=1C．y29-x27=1D．y27-x29=1
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到a=3，得到b2=7，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为y2a2-x2b2=1，
PF1-PF2=2a=6，故a=3，又c=4，
故b2=c2-a2=16-9=7，
故双曲线的标准方程为：y29-x27=1.
故选：C
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为0,-5，0,5的双曲线的标准方程是 ．
【答案】y29-x216=1
【分析】由焦点坐标得c=5，由定义得a=3，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且c=5，
因为双曲线过点(433,23)，根据双曲线的定义得：2a=(433)2+(23+5)2-(433)2+(23-5)2=6，则a=3，
则b2=c2-a2=16，所以双曲线的标准方程为y29-x216=1
故答案为：y29-x216=1.
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A-2,-3，B153,2，则双曲线Γ的标准方程是 ．
【答案】x2-y23=1
【分析】设双曲线的方程为mx2+ny2=1,mn<0，根据题意列式求解m,n即可.
【详解】设双曲线的方程为mx2+ny2=1,mn<0，
由题意可得：2m+3n=153m+2n=1，解得m=1n=-13，
所以双曲线Γ的标准方程是x2-y23=1.
故答案为：x2-y23=1.
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】x23-y23=1
【分析】利用等轴双曲线的性质得出a=b，设出标准方程，将坐标点代入求得a和b的值，即可得出双曲线C的标准方程.
【详解】解：由题意，
在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过4,13，
当焦点在x轴时
设C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，则a=b
∴a=ba>0b>042a2-132b2=1解得：a=b=3
∴C:x23-y23=1，
当焦点在y轴时，不成立，
综上，C:x23-y23=1.
故答案为：x23-y23=1.
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
【答案】x24－y2＝1
【分析】由已知可得|PF1|⋅|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出a，而c＝5，b2=c2-a2，可求出b，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得|PF1|⋅|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝5，所以b＝1，
故双曲线的方程为x24－y2＝1.
故答案为：x24－y2＝1.
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q(26,22)的双曲线的标准方程．
【答案】x28-y24=1
【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.
【详解】设双曲线方程为：x2a2-y2b2=1，将点P(4,2)与Q(26,22)代入得：16a2-4b2=124a2-8b2=1，解得：a2=8b2=4，故双曲线的标准方程为：x28-y24=1.
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-4,1B．-∞,-4∪1,+∞
C．-4,1D．-∞,-4∪1,+∞
【答案】C
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【详解】根据题意，若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则有k+4k-1<0，
解得-4故选：C
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则24或t<2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3以上命题正确的是（ ）
A．②③B．①④C．②④D．①②④
【答案】C
【分析】根据椭圆、双曲线、圆的方程的特征逐一求出参数范围即可判断.
【详解】对于①，曲线C为椭圆时，4-t>0t-2>04-t≠t-2，解得：2对于②，曲线C为双曲线时，(4-t)(t-2)<0，解得：t>4或t<2，故②正确；
对于③，若曲线C是圆，则必有：4-t>0t-2>04-t=t-2解得：t=3，即曲线C可以表示圆，故③错误；
对于④，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，4-t>0t-2>04-t故选：C.
变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x2k+1+y2k-2=1表示双曲线，则实数k的取值范围为（ ）
A．-1,2B．-∞,-1
C．2,+∞D．-∞,-1∪2,+∞
【答案】A
【分析】由双曲线方程定义列不等式求解.
【详解】依题意，得k+1k-2<0，则-1故选：A．
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线，则m的取值范围是 .
【答案】-1【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可.
【详解】方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线，
可得1+mm-2<0，
解得-1故答案为：-1变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x2+my2-m=0表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
【答案】m<0
【分析】根据双曲线的方程即可求解.
【详解】若方程x2+my2-m=0表示双曲线，显然m≠0，
则由x2+my2-m=0可得x2m+y2=1，
故m<0,
故答案为：m<0
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程mx2+1-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 .
【答案】-∞,0
【分析】根据双曲线焦点在y轴上有1-m>0m<0，求解即可得出参数范围.
【详解】因方程mx2+1-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则有1-m>0m<0，解得m<0，
所以实数m的取值范围为-∞,0.
故答案为：-∞,0.
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程x2k-1+y2k-3=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为 ．
【答案】(1,3)
【分析】由题意可得k-1>03-k>0，从而可求出k的取值范围.
【详解】将方程化为x2k-1-y23-k=1，因为方程表示焦点在x轴上的双曲线，
所以k-1>03-k>0，解得1即k的取值范围为(1,3)，
故答案为：(1,3)
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程y24-x2m-1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
【答案】m>1
【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意知：m-1>0，解得m>1.
故答案为：m>1.
变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知x2m-3+y211-m=1，当m为何值时，
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【答案】(1)3(2)m<3或11【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；
（2）结合双曲线几何性质即可.
【详解】（1）由题知：
11-m>m-311-m>0m-3>0 ，
解得：3（2）由题知:
(m-3)(11-m)<0 ,
解得：m<3或11【题型4：焦点三角形】
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1=3PF2，则∠F1PF2的大小为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得PF1-PF2=4，又PF1=3PF2可得：PF1=6，PF2=2，结合F1F2=27，再利用余弦定理即可得解.
【详解】根据双曲线的定义得PF1-PF2=4，
又因为PF1=3PF2，所以PF1=6，PF2=2．
又因为F1F2=27，
所以在△F1PF中结合余弦定理的推论得：
cs∠F1PF2=62+22-(27)22×6×2=12，
因为0∘<∠F1PF2<180∘，得∠F1PF2的大小为60∘．
故选：C
变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x2-y22=1的左､右焦点，P为C上一点且在第一象限若PF1=2PF2，则点P的纵坐标为（ ）
A．1B．3C．2D．23
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得PF1=4,PF2=2，进而根据长度关系判断PF2⊥F1F2，代入x=3即可求解.
【详解】根据题意可知：a=1,b=2,c=3 ，由PF1=2PF2以及PF1-PF2=2a=2可得PF1=4,PF2=2，又F1F2=2c=23，
由于PF12=PF22+F1F22,故PF2⊥F1F2，即三角形PF1F2为直角三角形，
将x=3代入x2-y22=1得y=2，由于P为C在第一象限，故点P的纵坐标为2，
故选：C
变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x24-y212=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1=5PF2，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．24B．152C．123D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得△PF1F2的三边长，进而求得△PF1F2的面积
【详解】由3PF1=5PF2，可得PF1=53PF2
又P是是双曲线x24-y212=1上的一点，则PF1-PF2=23PF2=4，
则PF2=6，PF1=10，又F1F2=8
则PF22+F1F22=PF12，则PF2⊥F1F2
则△PF1F2的面积等于12P1F2⋅F1F2=12×6×8=24
故选：A
变式3．（2022高三·全国·专题练习）设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，PQ⊥x轴于点Q，且Q在线段F1F2上，PQ2=F1Q⋅F2Q，则F1P+PF2=（ ）
A．4B．6C．210D．40
【答案】C
【分析】根据相似可得垂直关系，进而根据双曲线定义，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得：a=2,b=3,c=a2+b2=7，
由PQ2=F1Q⋅F2Q可得△F1QP∼△PQF2，
所以F1P⊥PF2,故F1P2+PF22=F2F12=4c2=28，
不妨设P在第一象限，则F1P-PF2=2a=4，
故F1P-PF22=F1P2+PF22-2F1PPF2=16，得2F1PPF2=12，
又F1P+PF22=F1P2+PF22+2F1PPF2=28+12=40，
故F1P+PF2=210，
故选：C
变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2，点P是它们的一个公共点，则△F1PF2的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
【答案】直角
【分析】在焦点三角形中根据椭圆和双曲线的定义证明求解即可.
【详解】因为椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点，
所以m-1=n+1，得m=n+2，
根据椭圆的定义得PF1+PF2=2m，
根据双曲线的定义得PF1-PF2=2n，
所以PF1+PF22+PF1-PF22=4(m+n)，
即2PF12+PF22=4(m+n)=8(n+1)，
所以PF12+PF22=4(m+n)=4(n+1)=F1F22,
所以△F1PF2的形状是直角三角形.
故答案为:直角.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线y23-x25=1的两个焦点分别是F1,F2，点A,B在双曲线上，且线段AB经过焦点F1，AB=5，则△ABF2的周长为 .
【答案】10+43
【分析】根据双曲线的定义可得BF2-BF1=23，AF2-AF1=23，进而可得BF2+AF2+AB=10+43.
【详解】
由双曲线的定义可得BF2-BF1=23①，AF2-AF1=23②，
两式相加得BF2-BF1+AF2-AF1=43，即BF2+AF2-AB=BF2+AF2-5=43，
所以BF2+AF2=5+43，故△ABF2的周长为BF2+AF2+AB=10+43.
故答案为：10+43
变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x2-y24=1的左右两个焦点为F1，F2，第二象限内的一点P在双曲线上，且∠F1PF2=2π3，则三角形F1PF2的面积是 ．
【答案】433/433
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得|PF1|⋅|PF2|的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由x2-y24=1可得：a=1,b=2,c=5，如图，设|PF1|=m,|PF2|=n,则n-m=2①，
在△PF1F2中，由余弦定理，20=m2+n2-2mncs2π3，即：m2+n2+mn=(m-n)2+3mn=20②
由①②联立，解得：mn=163.
则三角形F1PF2的面积为12mnsin2π3=34×163=433.
故答案为：433.
变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x216-y29=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么PF2+QF2-PQ的值是 ．
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】由双曲线方程得，2a=8，
由双曲线的定义得PF2-PF1=2a=8，①
QF2-QF1=2a=8，②
①＋②，得PF2+QF2-PF1+QF1=16，
所以PF2+QF2-PQ=16．
故答案为：16.
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：S∆PF1F2=b2tanθ2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y-4)2=1上有一动点P，双曲线M:x29-y27=1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则PQ+QF的最小值为（ ）
A．42-1B．42-5C．42+7D．42+5
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
∵在双曲线M:x29-y27=1中，a2=9，b2=7，
∴ c2=16，∴ F-4,0，
设双曲线的右焦点为F2，则F24,0，
∵ Q在双曲线的右支上，
∴ QF-QF2=2a=6，即QF=QF2+6，
由题知，圆心C0,4，半径r=1，P在圆C上，
∴ PQ≥QC-1，
则PQ+QF=PQ+QF2+6≥QC+QF2+5，
当C，Q，F2三点共线且Q位于另两点之间时，QC+QF2取得最小值为CF2=42，
此时PQ+QF≥QC+QF2+5=42+5，
∴ PQ+QF的最小值为42+5.
故选：D.
变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆x29+y225=1的一个焦点为F，双曲线x24-y25=1的左、右焦点，分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则△PFF2周长的最小值为（ ）
A．5B．5+3C．10D．14
【答案】D
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设F(0,4)，根据双曲线方程，可知F1(-3,0),F2(3,0)，从而可知|FF2|=5，
由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=4，即|PF2|=|PF1|+4，
所以△PFF2周长=|PF2|+|PF|+|FF2|=|PF1|+4+|PF|+5=|PF1|+|PF|+9，
要使其周长最小，即求|PF1|+|PF|的最小值，显然当P,F,F1三点共线时，|PF1|+|PF|有最小值，且最小值是5，
因此，△PFF2周长为5+9=14.
故选:D
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．9B．5C．8D．4
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义转化为|PF|+|PA|=PF'+|PA|+4可求解.
【详解】设右焦点为F'，则F'(4,0)，依题意，有|PF|=PF'+4，
∴|PF|+|PA|=PF'+|PA|+4≥AF'+4=5+4=9，（当P在线段AF'上时，取等号）．
故|PF|+|PA|的最小值为9.
故选：A.
变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆x2+(y-3)2=1上的点，点P在双曲线x24-y212=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9B．25+4C．8D．7
【答案】C
【分析】由双曲线的定义结合圆的对称性得出|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4≥|DC|-1+4=8.
【详解】圆x2+(y-3)2=1的圆心为D(0,3)
由双曲线的性质可知，A为其左焦点，右焦点为C(4,0)，|DC|=42+32=5
由定义可知|AP|-|PC|=4,|AP|=4+|PC|
即|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4≥|DC|-1+4=8
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义得出|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4，进而得出最小值.
变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x29-y27=1的右焦点，P为C右支上一点，A4,1，则PA+PF的最小值为（ ）
A．65-3B．65-6C．65+6D．2
【答案】B
【解析】记双曲线C的左焦点为F'，利用双曲线的定义，得到PA+PF=PA+PF'-6，进而可求出结果.
【详解】
记双曲线C的左焦点为F'，则F'-4,0，
因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，PF'-PF=2a=6，
所以PA+PF=PA+PF'-6≥AF'-6=4+42+1-6=65-6，
当且仅当F'，P，A三点共线时，取得最小值.
故选：B.
变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x23-y2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为-2,3，则PQ+PF1的最小值为 .
【答案】5+23/23+5
【分析】利用双曲线定义可将PQ+PF1转化为PQ+PF2+23，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值QF2+23，由此可计算得到结果.
【详解】
由双曲线方程知：a=3，b=1，c=2，则F1-2,0，F22,0，
由双曲线定义知：PF1-PF2=2a=23，
∴PQ+PF1=PQ+PF2+23≥QF2+23（当且仅当P在线段QF2上时取等号），
又QF2=-2-22+3-02=5，∴PQ+PF1min=5+23.
故答案为：5+23.
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x2-y24=1，如图所示，点A-5,0，B是圆x2+y-52=1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则MA+MB的最小值为
【答案】10+1.
【分析】设点D的坐标为(5,0)，得到点A,D是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到MA+MB=2+MB+MD≥2+BD，结合圆的方程，得到BD≥CD-1，进而求得MA+MB的最小值.
【详解】由双曲线x2-y24=1，可得a=1,b=2，则c=a2+b2=5，
如图所示，设点D的坐标为(5,0)，则点A,D是双曲线的焦点，
根据双曲线的定义，可得MA-MD=2a=2，
所以MA+MB=2+MB+MD≥2+BD，
又由B是圆x2+y-52=1上的点，圆的圆心为C(0,5)，半径为r=1，
所以BD≥CD-1=10-1，所以MA+MB≥2+BD=10+1，
当点M,B在线段CD上时，取得等号，即MA+MB的最小值为10+1.
故答案为：10+1.
变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点A-2,0，B2,0，C3,11，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用双曲线的定义得到动点M的轨迹为双曲线右侧一支，然后利用三点共线两线段之和最大，求解即可得到答案.
【详解】解：点A-2,0，B2,0，且动点M到A的距离比到B的距离多2，
所以MA-MB=2故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，
则动点M到B，C两点的距离之和MB+MC=MA+MC-2≥AC-2=3+22+11-02-2=4，
当且仅当M，A，C三点共线时取等号，
所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x2-y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
【答案】6
【分析】由题设知|PF1|-|PF2|=2，|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|-|NF2|，即可得到|PM|-|PN|⩽|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|，从而计算可得．
【详解】解：双曲线x2-y248=1中，
∵a=1，b=43，c=7，
∴F1(-7,0)，F2(7,0)，
因为M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点，所以|MF1|=3，|NF2|=1
∵|PF1|-|PF2|=2a=2，
∴|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|-|NF2|，
∴-|PN|⩽-|PF2|+|NF2|，
所以|PM|-|PN|⩽|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|
=2+1+3=6
故答案为：6．
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知M-2,0，圆C: x2-4x+y2=0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y23=1x≥1B．x23-y2=1x≥3
C．x2-y23=1D．x23-y2=1
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆C: x2-4x+y2=0，即x-22+y2=4，圆心为C2,0，半径r=2，
设动圆P的半径为R，
若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以PM=R，PC=R-2，
所以PM-PC=2所以动点P是以M-2,0、C2,0为焦点的双曲线的右支，且a=1、c=2，
所以b=c2-a2=3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1x≥1，
若动圆P与圆C相外切，所以PM=R，PC=R+2，
所以PC-PM=2所以动点P是以M-2,0、C2,0为焦点的双曲线的左支，且a=1、c=2，
所以b=c2-a2=3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1x≤-1，
综上可得动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1.
故选：C
变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】y=0x≥2
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设F1-2,0，F22,0，由题意知动点M满足MF1-MF2=4=F1F2，
故动点M的轨迹是射线y=0x≥2．
故答案为：y=0x≥2
变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点F1-2,0和F22,0的连线的斜率之积等于14，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】x24-y2=1x≠±2
【分析】设点P(x,y),x≠±2，根据题意结合斜率公式分析求解.
【详解】设点P(x,y),x≠±2，
由已知得yx+2⋅yx-2=14，整理得x24-y2=1，
所以点P的轨迹方程为x24-y2=1x≠±2．
故答案为：x24-y2=1x≠±2.
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点A-2,0点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34动点P的轨迹方程为 .
【答案】x24-y23=1x≠±2
【分析】设点P的坐标为(x,y)x≠±2，进而利用kAP⋅kBP=34得到动点P的轨迹方程.
【详解】设点P的坐标为(x,y)x≠±2，
因为kPA=y-0x+2,kBP=y-0x-2，kAP⋅kBP=34,
所以yx+2⋅yx-2=34x≠±2，化简得x24-y23=1x≠±2.
故动点P的轨迹方程为x24-y23=1x≠±2.
故答案为：x24-y23=1x≠±2
变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:y=43的距离的比是常数32，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】y24-x25=1
【分析】利用直接法建立等式，化简即可.
【详解】解：动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:y=43的距离的比是常数32，
所以x-02+y-32y-43=32，即x2+y-32=94y-432，
展开整理得y24-x25=1．
故答案为：y24-x25=1．
变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .
【答案】x22-y26=1x>2
【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得AC-BC=AB2=22【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A-22,0，B22,0.
由正弦定理，得sinA=BC2R，sinB=AC2R，sinC=AB2R（R为△ABC的外接圆半径）.
∵2sinA+sinC=2sinB，
∴2BC+AB=2AC，即AC-BC=AB2=22由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为x2a2-y2b2=1x>a，
∵a=2，c=22，∴b2=c2-a2=6.
故所求轨迹方程为x22-y26=1x>2.
故答案为：x22-y26=1x>2
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点A-3,0，B3,0构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
【答案】x29-y236=1(x≠±3)
【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.
【详解】设点M(x,y)，而点A-3,0，B3,0，在△MAB中，y≠0，又直线MA，MB的斜率存在，即x≠±3，
于是yx+3⋅yx-3=4，即x2-y24=9，整理得x29-y236=1，
所以动点M的轨迹方程x29-y236=1(x≠±3).
变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-17,0，F217,0,MF1-MF2=2，点M的轨迹为C.求C的方程；
【答案】x2-y216=1x≥1；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、c的值，从而得b的值，即可得出轨迹C的方程；
【详解】
因为MF1-MF2=2轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0,x≥a，则2a=2，可得a=1，
2c=217，即c=17，所以b=17-1=4，
所以轨迹C的方程为x2-y216=1x≥1.
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将x0=gxy0=hx代入fx0,y0=0.
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：x+32+y2=1和圆C2：x-32+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2-y28=1x≥1B．x2-y28=1
C．x2-y28=1x≤-1D．y28-x2=1
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆M的半径为r，
则MC1=r+1，MC2=r+3，
则MC2-MC1=2根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2-y28=1的左半支．
故选：C．
2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1,F2分别是双曲线左右两个焦点，若PF1=9，则PF2等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．5或13
【答案】B
【分析】先求出a,b,c，然后根据双曲线的定义结合PF1=9可求得PF2.
【详解】双曲线x216-y220=1的a=4,b=25,c=6，
由双曲线的定义可得PF1-PF2=2a=8．
因为PF1=9，所以9-PF2=8，得PF2=1或17，
若PF2=1，则P在右支上，应有PF2≥c-a=2，不成立；
若PF2=17，则P在左支上，应有PF2≥c+a=10，成立．
故选：B．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】易得充分性成立，当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，可知必要性不成立.
【详解】当m∈(0,8)时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的椭圆， 故充分性成立；
当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，
故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；
所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x2-y2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C的方程为（ ）
A．x2-y2=1B．y2-x2=1C．x2-y2=2D．y2-x2=2
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为(0,±2)在纵轴上，所以λ<0，
且双曲线C方程y2-λ-x2-λ=1满足(-λ)+(-λ)=22，
故λ=-2，则C的方程为y2-x2=2．
故选：D．
5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为-4,0,4,0，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．x24-y212=1B．x212-y24=1
C．x2-y25=1D．y25-x2=1
【答案】A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：x2a2-y2b2=1a>0,b>0.
则2a=4c=4c2=a2+b2，解得：a=2b=23.
所以双曲线的标准方程为x24-y212=1.
故选：A
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设A,B两点的坐标分别为-3,0，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x29+y26=1x≠±3B．x26-y29=1x≠±3
C．y29+x26=1x≠±3D．x29-y26=1x≠±3
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点Mx,y，则AM的斜率为yx+3，BM的斜率为yx-3，
故yx+3⋅yx-3=23x≠±3，
所以x29-y26=1x≠±3，故D正确.
故选：D
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点A-1,0,B1,0，动点Px,y满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=-2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y22=1B．x2-y22=1y≠0
C．x2+y22=1D．x2+y22=1y≠0
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点Px,y满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=-2，则yx+1⋅yx-1=2，其中y≠0，
化简可得x2-y22=1y≠0．
故选：B．
8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点2,2且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．x26-y28=1B．y26-x28=1C．x22-y24=1D．y22-x24=1
【答案】D
【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点2,2，可求得双曲线方程.
【详解】由9x2+3y2=27，得y29+x23=1，所以焦点在y轴上，且c=9-3=6．
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1a>0,b>0，所以4a2-4b2=1,a2+b2=6,解得a2=2，b2=4，
所以双曲线的方程为y22-x24=1．
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线．现有方程mx2+y2-4y+4=x-3y+1 表示的曲线是双曲线，则实数m的取值可能为（ ）
A．22B．3C．23D．4
【答案】AB
【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出m的取值范围，即可判断．
【详解】因为方程mx2+y2-4y+4=x-3y+1表示的曲线是双曲线，
由mx2+y2-4y+4=x-3y+1，显然m>0，
即m10x2+y-22=x-3y+110，则x2+(y-2)2x-3y+110=10m，
其中x2+y-22表示点x,y到定点0,2的距离，
x-3y+110表示点x,y直线x-3y+1=0的距离，又点0,2不在直线x-3y+1=0上，
则x2+(y-2)2x-3y+110表示平面内一点x,y到定点0,2的距离与到直线x-3y+1=0的距离之比，
依题意可得e=10m>1，解得0故选：AB
10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：x21-m+y23+m=1（m∈R），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则-1C．Γ可能是半径为2的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m<-3
【答案】BCD
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则1-m+3+m=0，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则3+m>1-m>0，解得-1对于C，Γ是圆，则3+m=1-m>0，解得m=-1，半径为2，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则1-m>03+m<0，
解得m<-3，故D正确.
故选：BCD.
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2
【答案】BCD
【详解】
解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y24=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上一点，且PF1=6PF2，写出C的一个标准方程 ．
【答案】x26-y24=1
【分析】由题意可知|PF2|=2a5，结合|PF2|≥c-a可求出a2≥256，从而可写出C的一个标准方程．
【详解】因为|PF1|=6|PF2|，所以|PF1|-|PF2|=5|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a5，
又因为|PF2|≥c-a，则2a5≥c-a，即ca≤75，
又因为b2=4，所以e=1+b2a2=1+4a2≤75，
解得a2≥256，
当a2=6时，C的一个标准方程为x26-y24=1．
故答案为：x26-y24=1（答案不唯一，满足a2≥256即可）．
13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则PF1⋅PF2的最小值为 ．
【答案】3
【分析】设PF2=m∈1,+∞，由双曲线定义可得PF1=m+2，代入PF1⋅PF2结合二次函数性质分析求解.
【详解】由题意可知：a=1,b=3,c=a2+b2=2，且PF1-PF2=2，
设PF2=m≥c-a=1，则PF1=m+2，
可得PF1⋅PF2=mm+2在m∈1,+∞上单调递增，
所以当m=1时，|PF1|⋅|PF2|取得最小值3．
故答案为：3.
14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1、F2，点A3,1在双曲线C上，且满足AF1⋅AF2=0，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】x22-y22=1
【分析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，进而根据向量垂直的坐标表示得c=2，再根据点A(3,1)在双曲线C上待定系数求解即可．
【详解】解：由题，设F1(-c,0)，F2(c,0)，因为A(3,1)，
所以AF1=(-c-3,-1),AF2=(c-3,-1)，
因为AF1⋅AF2=0，
所以AF1⋅AF2=3-c2+1=0，解得c=2，
因为3a2-1b2=1b2+a2=c2，解得a2=b2=2，
所以，双曲线C的标准方程为x22-y22=1．
故答案为：x22-y22=1．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x216-y24=1有相同的焦点，且经过点32,2；
(2)过点P3,154，Q-163,5且焦点在坐标轴上．
【答案】(1)x212-y28=1
(2)y29-x216=1
【分析】（1）设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0或x216-λ-y24+λ=1-4<λ<16，然后根据已知条件来求得正确答案.
（2）双曲线的方程为Ax2+By2=1，然后根据已知条件来求得正确答案.
【详解】（1）方法一
根据题意，设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
∴c2=16+4=20，即a2+b2=20．①
∵双曲线经过点32,2，
∴18a2-4b2=1．②
由①②得a2=12，b2=8，
∴双曲线的标准方程为x212-y28=1．
方法二
设所求双曲线的方程为x216-λ-y24+λ=1-4<λ<16．
∵双曲线过点32,2，
∴1816-λ-44+λ=1，
解得λ=4或λ=-14（舍去）．
∴双曲线的标准方程为x212-y28=1．
（2）设双曲线的方程为Ax2+By2=1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.
∴双曲线的标准方程为y29-x216=1．
16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M1,3不在圆x+m2+y-m2=16的内部，q：“曲线C1:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，s：“曲线C2:x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”．
(1)若p和q都成立，求实数m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
【答案】(1)(-4,-2)∪(4,+∞)；
(2)[-4,-3]∪[4,+∞).
【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当p、q为真时，m的取值范围，再求交集即可；
（2）当s为真时，求得{m|t4}，求解即可.
【详解】（1）解：当p为真时，则有1+m2+3-m2≥16，
整理得：m2-2m-3≥0，解得m≤-1或m≥3；
当q为真时，则有2m+8>0m2>2m+8，解得-44；
又因为p和q都为真，
所以m≤-1或m≥3-44，解得-44，
所以实数m的取值范围为(-4,-2)∪(4,+∞)；
（2）解：当s为真时，则有(m-t)(m-t-1)<0，解得t又因为q是s的必要不充分条件，
所以{m|t4}，
所以t≥-4t+1≤-2或t≥4，
解得-4≤t≤-3或t≥4，
所以t的取值范围[-4,-3]∪[4,+∞).
17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M:x2+y2+4x-8=0，H(2,0)，G为M上的动点，线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α=2β，求点Q的坐标.
【答案】(1)x23-y2=1
(2)(32+23,1215+83).
【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线的定义确定点Q的轨迹，进而求出轨迹方程.
（2）由给定条件，可得点Q在第一象限，且△QMH是腰长为4的等腰三角形，再结合（1）中轨迹方程，求解方程组即得结果.
【详解】（1）依题意，圆M:(x+2)2+y2=12的圆心M(-2,0)，半径r=23，
由线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q，得|QH|=|QG|，
则||QM|-|QH||=||QM|-|QG||=r=23<4=|HM|，
因此点Q的轨迹是以M,H为左右焦点，实轴长为23的双曲线，
实半轴长a=3，半焦距c=2，则虚半轴长b=c2-a2=1，
所以点Q的轨迹方程为x23-y2=1.
（2）依题意，由QH与x轴不重合，得0<α<π，则0<β<π2，点Q在第一象限，
△QMH是以线段QM为底边的等腰三角形，则|QH|=|MH|=4，
设Q(x1,y1)，则(x1-2)2+y12=16，又x123-y12=1，解得x1=32+23y1=1215+83，
所以点Q的坐标是(32+23,1215+83).
18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别是F1，F2.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且∠F1PF2=60，求△F1PF2的面积.
【答案】(1)10或22
(2)163
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）由双曲线的定义和余弦定理得PF1⋅PF2=64得解.
【详解】（1）双曲线的标准方程为x29-y216=1，
故a=3，b=4，c=a2+b2=5，
由双曲线的定义得MF1-MF2=2a=6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则16-x=6，解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
（2）由双曲线的定义和余弦定理得PF2-PF1=6，
F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cs60，
所以102=PF1-PF22+PF1⋅PF2，
所以PF1⋅PF2=64，
所以S△F1PF2=12PF1⋅PF2⋅sin∠F1PF2=12×64×32=163.
19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x2+y2+4x=21，圆N：x2+y2-4x=5．
(1)求经过点P-2,3以及圆M与圆N交点的圆的方程；
(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.
【答案】(1)x2+y2=13
(2)x2-y23=1x>2
【分析】（1）设出所求圆的方程，根据P点坐标求得所求圆的方程.
（2）根据双曲线的定义求得T点的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆方程为：x2+y2+4x-21+λx2+y2-4x-5=0，λ≠0，
将P-2,3代入上面方程，
得-22+32+4×-2-21+λ-22+32-4×-2-5=0，
解得λ=1，所以该圆方程为：x2+y2+4x-21+x2+y2-4x-5=0，
化简为：x2+y2=13.
（2）由题圆M：x+22+y2=25，圆心M-2,0，半径r1=5，
圆N：x-22+y2=9，圆心N2,0，半径r2=3，
又因为圆T和圆M，圆N均外切，令Tx,y，圆T的半径为r，
则MT=r1+r=5+r>5，MN=r2+r=3+r>3，所以MT-MN=2，
所以T点在以M，N为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近N点的一支上，
且MN>3，所以a=1，c=2，b2=c2-a2=3 ，
所以T点坐标x,y满足如下关系：
x2-y23=1x>0MN=x-22+y2>3，解得x>2．
所以T点的轨迹方程为：x2-y23=1x>2．
课程标准
学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的
学习，培养数学抽象素养
2.借助于双曲线标准方程的推导过
程，提升逻辑推理、数学运算素养
1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2-y215=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，若PF1=7，则PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【答案】C
【分析】由双曲线的定义求解.
【详解】由题意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+a=5，若PF1=7，则|7-|PF2||=2 ⇒ PF2=5或9．
故选：C
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“||MF1|-|MF2||为定值”且“||MF1|-|MF2||<|F1F2|”时才成立，即可做出判断．
【详解】充分性：当“||MF1|-|MF2||为定值”，但“||MF1|-|MF2||≥|F1F2|”时，“动点M的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以F1，F2为焦点的双曲线上的动点M满足“||MF1|-|MF2||为定值”，满足必要性；
因此“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B.
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点-1,0，焦点分别为F1-2,0、F22,0，则双曲线的方程为（ ）
A．x22-y2=1B．x2-y22=1C．x23-y2=1D．x2-y23=1
【答案】D
【分析】由a,b,c的关系结合已知即可求解.
【详解】由题意知a=1，c=2，所以b2=c2-a2=4-1=3，
所以双曲线的方程为x2-y23=1.
故选：D.
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A．x2-y224=1B．x224-y2=1
C．x249-y224=1D．x24-y221=1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.
【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距2c=|AB|=10，即c=5，
实轴长2a=||AC|-|BC||=8-6=2，即a=1，于是虚半轴长b=c2-a2=26，
所以所求双曲线方程为x2-y224=1.
故选：A
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，直线l：y=x与E交于A，B两点，且AF⊥BF，则b2a2= .
【答案】2+1/1+2
【分析】设双曲线E的左焦点为F'，分析可知AF'BF为矩形，则AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，分析可知m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，即可得结果.
【详解】设双曲线E的左焦点为F'，连接AF',BF'，AF'=m,AF=n，
由对称性可知：OA=OB,OF'=OF，可知AF'BF为平行四边形，
且AF⊥BF，可知AF'BF为矩形，可得AO=OF'=OF=c,∠AOF=45°，
由题意可得：m2+n2=4c2m-n=2a12mn=2×12×c×c×22，即m2+n2=4c2m-n=2amn=2c2，
因为m-n2=m2+n2-2mn，可得4a2=4c2-22c2=4a2+b2-22a2+b2，
整理可得b2a2=12-1=2+1.
故答案为：2+1.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设F1-2,0,F22,0，由题意知动点M满足MF1-MF2=4=F1F2|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．直线C．双曲线D．两条射线
【答案】D
【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.
【详解】因为MF1-MF2=6，F1F2=6，
故M的轨迹是已F1、F2为端点的两条射线，
故选：D.
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【答案】B
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于x216-y220=1,a2=16,b2=20,∴c2=a2+b2=36,a=4,c=6 ，
PF1=9< a+c ，所以P点在双曲线的左支，则有PF2-PF1=2a=8,∴PF2=17 ；
故选：B.
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足PF1-PF2=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【答案】B
【分析】由PF1-PF2=4
且P满足PF1-PF2=4
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264-y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得PF1-PF2=2a=16，又PF1=6，所以PF2=22.
故答案为：22
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+y2=4及x2+y2-8x+15=0都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
【答案】B
【分析】设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆x2+y2=4的圆心为O0,0，半径为2；
圆x2+y2-8x+15=0的标准方程为x-42+y2=1，圆心为B4,0，半径为1，
设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，
由于动圆P与圆O、圆B均外切，则PO=r+2PB=r+1，
所以，PO-PB=1
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
【答案】BCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当a=0时，点M的轨迹为F1F2的垂直平分线，
当2a=|F1F2|=6时，点M的轨迹为两条射线，
当0<2a<|F1F2|=6时，点M的轨迹为双曲线，
当2a>|F1F2|=6时，点M不存在，
故选：BCD
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(-3,0),F2(3,0)，满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．12B．2C．-1D．-3
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组2m-1<62m-1≠0，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标F1(-3,0),F2(3,0)，可得2c=6，
要使得满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支，
则满足2m-1<62m-1≠0，解得-52
故选：BC.
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别是F1与F2,M是双曲线右支的一点，且MF1=7，则MF2= ．
【答案】1
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线的定义可知，|MF1|-|MF2|=2a=6，
所以MF2=7-6=1.
故答案为：1.
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24-y23=1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为 .
【答案】2
【分析】借助双曲线定义即可得.
【详解】由双曲线定义可得PF1-PF2=2a=4，
又P为右支上一点，故PF1-PF2=4，
即PF2=PF1-4=6-4=2.
故答案为：2.
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(-13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且PF1-PF2=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x25-y212=1B．x212-y25=1C．x2144-y225=1D．x225-y2144=1
【答案】D
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知2a=10，c=a2+b2=13，解得a=5，b=12，
所以双曲线C的方程是x225-y2144=1．
故选：D．
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是（ ）
A．y236-x264=1B．x264-y236=1C．x236-y264=1D．x236-y264=1或y236-x264=1
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，a=6,b=8，
当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是x236-y264=1；
当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是y236-x264=1.
所以双曲线标准方程是x236-y264=1或y236-x264=1.
故选：D
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,-5，P是双曲线上一点且满足PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x216-y29=1B．x29-y216=1C．y216-x29=1D．y29-x216=1
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意c=5，PF1-PF2=2a=6,a=3，
所以b=c2-a2=4，
由于双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程是y29-x216=1.
故选：D
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．y216-x29=1B．x225-y29=1
C．x225-y216=1D．x29-y216=1
【答案】D
【分析】根据双曲线中a,b,c的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在x轴上，所以可设方程为x2a2-y2b2=1，
且c=5,a=3，所以b2=c2-a2=16，
所以双曲线方程为x29-y216=1，
故选:D.
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,-4)，P是双曲线上一点且PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x27-y29=1B．x29-y27=1C．y29-x27=1D．y27-x29=1
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到a=3，得到b2=7，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为y2a2-x2b2=1，
PF1-PF2=2a=6，故a=3，又c=4，
故b2=c2-a2=16-9=7，
故双曲线的标准方程为：y29-x27=1.
故选：C
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为0,-5，0,5的双曲线的标准方程是 ．
【答案】y29-x216=1
【分析】由焦点坐标得c=5，由定义得a=3，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且c=5，
因为双曲线过点(433,23)，根据双曲线的定义得：2a=(433)2+(23+5)2-(433)2+(23-5)2=6，则a=3，
则b2=c2-a2=16，所以双曲线的标准方程为y29-x216=1
故答案为：y29-x216=1.
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A-2,-3，B153,2，则双曲线Γ的标准方程是 ．
【答案】x2-y23=1
【分析】设双曲线的方程为mx2+ny2=1,mn<0，根据题意列式求解m,n即可.
【详解】设双曲线的方程为mx2+ny2=1,mn<0，
由题意可得：2m+3n=153m+2n=1，解得m=1n=-13，
所以双曲线Γ的标准方程是x2-y23=1.
故答案为：x2-y23=1.
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】x23-y23=1
【分析】利用等轴双曲线的性质得出a=b，设出标准方程，将坐标点代入求得a和b的值，即可得出双曲线C的标准方程.
【详解】解：由题意，
在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过4,13，
当焦点在x轴时
设C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，则a=b
∴a=ba>0b>042a2-132b2=1解得：a=b=3
∴C:x23-y23=1，
当焦点在y轴时，不成立，
综上，C:x23-y23=1.
故答案为：x23-y23=1.
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
【答案】x24－y2＝1
【分析】由已知可得|PF1|⋅|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出a，而c＝5，b2=c2-a2，可求出b，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得|PF1|⋅|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝5，所以b＝1，
故双曲线的方程为x24－y2＝1.
故答案为：x24－y2＝1.
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q(26,22)的双曲线的标准方程．
【答案】x28-y24=1
【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.
【详解】设双曲线方程为：x2a2-y2b2=1，将点P(4,2)与Q(26,22)代入得：16a2-4b2=124a2-8b2=1，解得：a2=8b2=4，故双曲线的标准方程为：x28-y24=1.
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-4,1B．-∞,-4∪1,+∞
C．-4,1D．-∞,-4∪1,+∞
【答案】C
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【详解】根据题意，若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则有k+4k-1<0，
解得-4
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2
A．②③B．①④C．②④D．①②④
【答案】C
【分析】根据椭圆、双曲线、圆的方程的特征逐一求出参数范围即可判断.
【详解】对于①，曲线C为椭圆时，4-t>0t-2>04-t≠t-2，解得：2
对于③，若曲线C是圆，则必有：4-t>0t-2>04-t=t-2解得：t=3，即曲线C可以表示圆，故③错误；
对于④，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，4-t>0t-2>04-t
变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x2k+1+y2k-2=1表示双曲线，则实数k的取值范围为（ ）
A．-1,2B．-∞,-1
C．2,+∞D．-∞,-1∪2,+∞
【答案】A
【分析】由双曲线方程定义列不等式求解.
【详解】依题意，得k+1k-2<0，则-1
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线，则m的取值范围是 .
【答案】-1
【详解】方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线，
可得1+mm-2<0，
解得-1
【答案】m<0
【分析】根据双曲线的方程即可求解.
【详解】若方程x2+my2-m=0表示双曲线，显然m≠0，
则由x2+my2-m=0可得x2m+y2=1，
故m<0,
故答案为：m<0
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程mx2+1-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 .
【答案】-∞,0
【分析】根据双曲线焦点在y轴上有1-m>0m<0，求解即可得出参数范围.
【详解】因方程mx2+1-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则有1-m>0m<0，解得m<0，
所以实数m的取值范围为-∞,0.
故答案为：-∞,0.
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程x2k-1+y2k-3=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为 ．
【答案】(1,3)
【分析】由题意可得k-1>03-k>0，从而可求出k的取值范围.
【详解】将方程化为x2k-1-y23-k=1，因为方程表示焦点在x轴上的双曲线，
所以k-1>03-k>0，解得1
故答案为：(1,3)
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程y24-x2m-1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
【答案】m>1
【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意知：m-1>0，解得m>1.
故答案为：m>1.
变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知x2m-3+y211-m=1，当m为何值时，
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【答案】(1)3
（2）结合双曲线几何性质即可.
【详解】（1）由题知：
11-m>m-311-m>0m-3>0 ，
解得：3
(m-3)(11-m)<0 ,
解得：m<3或11
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1=3PF2，则∠F1PF2的大小为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得PF1-PF2=4，又PF1=3PF2可得：PF1=6，PF2=2，结合F1F2=27，再利用余弦定理即可得解.
【详解】根据双曲线的定义得PF1-PF2=4，
又因为PF1=3PF2，所以PF1=6，PF2=2．
又因为F1F2=27，
所以在△F1PF中结合余弦定理的推论得：
cs∠F1PF2=62+22-(27)22×6×2=12，
因为0∘<∠F1PF2<180∘，得∠F1PF2的大小为60∘．
故选：C
变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x2-y22=1的左､右焦点，P为C上一点且在第一象限若PF1=2PF2，则点P的纵坐标为（ ）
A．1B．3C．2D．23
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得PF1=4,PF2=2，进而根据长度关系判断PF2⊥F1F2，代入x=3即可求解.
【详解】根据题意可知：a=1,b=2,c=3 ，由PF1=2PF2以及PF1-PF2=2a=2可得PF1=4,PF2=2，又F1F2=2c=23，
由于PF12=PF22+F1F22,故PF2⊥F1F2，即三角形PF1F2为直角三角形，
将x=3代入x2-y22=1得y=2，由于P为C在第一象限，故点P的纵坐标为2，
故选：C
变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x24-y212=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1=5PF2，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．24B．152C．123D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得△PF1F2的三边长，进而求得△PF1F2的面积
【详解】由3PF1=5PF2，可得PF1=53PF2
又P是是双曲线x24-y212=1上的一点，则PF1-PF2=23PF2=4，
则PF2=6，PF1=10，又F1F2=8
则PF22+F1F22=PF12，则PF2⊥F1F2
则△PF1F2的面积等于12P1F2⋅F1F2=12×6×8=24
故选：A
变式3．（2022高三·全国·专题练习）设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，PQ⊥x轴于点Q，且Q在线段F1F2上，PQ2=F1Q⋅F2Q，则F1P+PF2=（ ）
A．4B．6C．210D．40
【答案】C
【分析】根据相似可得垂直关系，进而根据双曲线定义，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得：a=2,b=3,c=a2+b2=7，
由PQ2=F1Q⋅F2Q可得△F1QP∼△PQF2，
所以F1P⊥PF2,故F1P2+PF22=F2F12=4c2=28，
不妨设P在第一象限，则F1P-PF2=2a=4，
故F1P-PF22=F1P2+PF22-2F1PPF2=16，得2F1PPF2=12，
又F1P+PF22=F1P2+PF22+2F1PPF2=28+12=40，
故F1P+PF2=210，
故选：C
变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2，点P是它们的一个公共点，则△F1PF2的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
【答案】直角
【分析】在焦点三角形中根据椭圆和双曲线的定义证明求解即可.
【详解】因为椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点，
所以m-1=n+1，得m=n+2，
根据椭圆的定义得PF1+PF2=2m，
根据双曲线的定义得PF1-PF2=2n，
所以PF1+PF22+PF1-PF22=4(m+n)，
即2PF12+PF22=4(m+n)=8(n+1)，
所以PF12+PF22=4(m+n)=4(n+1)=F1F22,
所以△F1PF2的形状是直角三角形.
故答案为:直角.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线y23-x25=1的两个焦点分别是F1,F2，点A,B在双曲线上，且线段AB经过焦点F1，AB=5，则△ABF2的周长为 .
【答案】10+43
【分析】根据双曲线的定义可得BF2-BF1=23，AF2-AF1=23，进而可得BF2+AF2+AB=10+43.
【详解】
由双曲线的定义可得BF2-BF1=23①，AF2-AF1=23②，
两式相加得BF2-BF1+AF2-AF1=43，即BF2+AF2-AB=BF2+AF2-5=43，
所以BF2+AF2=5+43，故△ABF2的周长为BF2+AF2+AB=10+43.
故答案为：10+43
变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x2-y24=1的左右两个焦点为F1，F2，第二象限内的一点P在双曲线上，且∠F1PF2=2π3，则三角形F1PF2的面积是 ．
【答案】433/433
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得|PF1|⋅|PF2|的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由x2-y24=1可得：a=1,b=2,c=5，如图，设|PF1|=m,|PF2|=n,则n-m=2①，
在△PF1F2中，由余弦定理，20=m2+n2-2mncs2π3，即：m2+n2+mn=(m-n)2+3mn=20②
由①②联立，解得：mn=163.
则三角形F1PF2的面积为12mnsin2π3=34×163=433.
故答案为：433.
变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x216-y29=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么PF2+QF2-PQ的值是 ．
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】由双曲线方程得，2a=8，
由双曲线的定义得PF2-PF1=2a=8，①
QF2-QF1=2a=8，②
①＋②，得PF2+QF2-PF1+QF1=16，
所以PF2+QF2-PQ=16．
故答案为：16.
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：S∆PF1F2=b2tanθ2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y-4)2=1上有一动点P，双曲线M:x29-y27=1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则PQ+QF的最小值为（ ）
A．42-1B．42-5C．42+7D．42+5
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
∵在双曲线M:x29-y27=1中，a2=9，b2=7，
∴ c2=16，∴ F-4,0，
设双曲线的右焦点为F2，则F24,0，
∵ Q在双曲线的右支上，
∴ QF-QF2=2a=6，即QF=QF2+6，
由题知，圆心C0,4，半径r=1，P在圆C上，
∴ PQ≥QC-1，
则PQ+QF=PQ+QF2+6≥QC+QF2+5，
当C，Q，F2三点共线且Q位于另两点之间时，QC+QF2取得最小值为CF2=42，
此时PQ+QF≥QC+QF2+5=42+5，
∴ PQ+QF的最小值为42+5.
故选：D.
变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆x29+y225=1的一个焦点为F，双曲线x24-y25=1的左、右焦点，分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则△PFF2周长的最小值为（ ）
A．5B．5+3C．10D．14
【答案】D
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设F(0,4)，根据双曲线方程，可知F1(-3,0),F2(3,0)，从而可知|FF2|=5，
由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=4，即|PF2|=|PF1|+4，
所以△PFF2周长=|PF2|+|PF|+|FF2|=|PF1|+4+|PF|+5=|PF1|+|PF|+9，
要使其周长最小，即求|PF1|+|PF|的最小值，显然当P,F,F1三点共线时，|PF1|+|PF|有最小值，且最小值是5，
因此，△PFF2周长为5+9=14.
故选:D
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．9B．5C．8D．4
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义转化为|PF|+|PA|=PF'+|PA|+4可求解.
【详解】设右焦点为F'，则F'(4,0)，依题意，有|PF|=PF'+4，
∴|PF|+|PA|=PF'+|PA|+4≥AF'+4=5+4=9，（当P在线段AF'上时，取等号）．
故|PF|+|PA|的最小值为9.
故选：A.
变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆x2+(y-3)2=1上的点，点P在双曲线x24-y212=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9B．25+4C．8D．7
【答案】C
【分析】由双曲线的定义结合圆的对称性得出|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4≥|DC|-1+4=8.
【详解】圆x2+(y-3)2=1的圆心为D(0,3)
由双曲线的性质可知，A为其左焦点，右焦点为C(4,0)，|DC|=42+32=5
由定义可知|AP|-|PC|=4,|AP|=4+|PC|
即|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4≥|DC|-1+4=8
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义得出|PA|+|PB|=|PB|+|PC|+4，进而得出最小值.
变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x29-y27=1的右焦点，P为C右支上一点，A4,1，则PA+PF的最小值为（ ）
A．65-3B．65-6C．65+6D．2
【答案】B
【解析】记双曲线C的左焦点为F'，利用双曲线的定义，得到PA+PF=PA+PF'-6，进而可求出结果.
【详解】
记双曲线C的左焦点为F'，则F'-4,0，
因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，PF'-PF=2a=6，
所以PA+PF=PA+PF'-6≥AF'-6=4+42+1-6=65-6，
当且仅当F'，P，A三点共线时，取得最小值.
故选：B.
变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x23-y2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为-2,3，则PQ+PF1的最小值为 .
【答案】5+23/23+5
【分析】利用双曲线定义可将PQ+PF1转化为PQ+PF2+23，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值QF2+23，由此可计算得到结果.
【详解】
由双曲线方程知：a=3，b=1，c=2，则F1-2,0，F22,0，
由双曲线定义知：PF1-PF2=2a=23，
∴PQ+PF1=PQ+PF2+23≥QF2+23（当且仅当P在线段QF2上时取等号），
又QF2=-2-22+3-02=5，∴PQ+PF1min=5+23.
故答案为：5+23.
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x2-y24=1，如图所示，点A-5,0，B是圆x2+y-52=1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则MA+MB的最小值为
【答案】10+1.
【分析】设点D的坐标为(5,0)，得到点A,D是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到MA+MB=2+MB+MD≥2+BD，结合圆的方程，得到BD≥CD-1，进而求得MA+MB的最小值.
【详解】由双曲线x2-y24=1，可得a=1,b=2，则c=a2+b2=5，
如图所示，设点D的坐标为(5,0)，则点A,D是双曲线的焦点，
根据双曲线的定义，可得MA-MD=2a=2，
所以MA+MB=2+MB+MD≥2+BD，
又由B是圆x2+y-52=1上的点，圆的圆心为C(0,5)，半径为r=1，
所以BD≥CD-1=10-1，所以MA+MB≥2+BD=10+1，
当点M,B在线段CD上时，取得等号，即MA+MB的最小值为10+1.
故答案为：10+1.
变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点A-2,0，B2,0，C3,11，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用双曲线的定义得到动点M的轨迹为双曲线右侧一支，然后利用三点共线两线段之和最大，求解即可得到答案.
【详解】解：点A-2,0，B2,0，且动点M到A的距离比到B的距离多2，
所以MA-MB=2
则动点M到B，C两点的距离之和MB+MC=MA+MC-2≥AC-2=3+22+11-02-2=4，
当且仅当M，A，C三点共线时取等号，
所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x2-y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
【答案】6
【分析】由题设知|PF1|-|PF2|=2，|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|-|NF2|，即可得到|PM|-|PN|⩽|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|，从而计算可得．
【详解】解：双曲线x2-y248=1中，
∵a=1，b=43，c=7，
∴F1(-7,0)，F2(7,0)，
因为M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点，所以|MF1|=3，|NF2|=1
∵|PF1|-|PF2|=2a=2，
∴|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|-|NF2|，
∴-|PN|⩽-|PF2|+|NF2|，
所以|PM|-|PN|⩽|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|
=2+1+3=6
故答案为：6．
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知M-2,0，圆C: x2-4x+y2=0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y23=1x≥1B．x23-y2=1x≥3
C．x2-y23=1D．x23-y2=1
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆C: x2-4x+y2=0，即x-22+y2=4，圆心为C2,0，半径r=2，
设动圆P的半径为R，
若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以PM=R，PC=R-2，
所以PM-PC=2
所以b=c2-a2=3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1x≥1，
若动圆P与圆C相外切，所以PM=R，PC=R+2，
所以PC-PM=2
所以b=c2-a2=3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1x≤-1，
综上可得动圆圆心P的轨迹方程是x2-y23=1.
故选：C
变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】y=0x≥2
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设F1-2,0，F22,0，由题意知动点M满足MF1-MF2=4=F1F2，
故动点M的轨迹是射线y=0x≥2．
故答案为：y=0x≥2
变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点F1-2,0和F22,0的连线的斜率之积等于14，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】x24-y2=1x≠±2
【分析】设点P(x,y),x≠±2，根据题意结合斜率公式分析求解.
【详解】设点P(x,y),x≠±2，
由已知得yx+2⋅yx-2=14，整理得x24-y2=1，
所以点P的轨迹方程为x24-y2=1x≠±2．
故答案为：x24-y2=1x≠±2.
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点A-2,0点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34动点P的轨迹方程为 .
【答案】x24-y23=1x≠±2
【分析】设点P的坐标为(x,y)x≠±2，进而利用kAP⋅kBP=34得到动点P的轨迹方程.
【详解】设点P的坐标为(x,y)x≠±2，
因为kPA=y-0x+2,kBP=y-0x-2，kAP⋅kBP=34,
所以yx+2⋅yx-2=34x≠±2，化简得x24-y23=1x≠±2.
故动点P的轨迹方程为x24-y23=1x≠±2.
故答案为：x24-y23=1x≠±2
变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:y=43的距离的比是常数32，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】y24-x25=1
【分析】利用直接法建立等式，化简即可.
【详解】解：动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:y=43的距离的比是常数32，
所以x-02+y-32y-43=32，即x2+y-32=94y-432，
展开整理得y24-x25=1．
故答案为：y24-x25=1．
变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .
【答案】x22-y26=1x>2
【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得AC-BC=AB2=22
由正弦定理，得sinA=BC2R，sinB=AC2R，sinC=AB2R（R为△ABC的外接圆半径）.
∵2sinA+sinC=2sinB，
∴2BC+AB=2AC，即AC-BC=AB2=22
由题意，设所求轨迹方程为x2a2-y2b2=1x>a，
∵a=2，c=22，∴b2=c2-a2=6.
故所求轨迹方程为x22-y26=1x>2.
故答案为：x22-y26=1x>2
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点A-3,0，B3,0构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
【答案】x29-y236=1(x≠±3)
【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.
【详解】设点M(x,y)，而点A-3,0，B3,0，在△MAB中，y≠0，又直线MA，MB的斜率存在，即x≠±3，
于是yx+3⋅yx-3=4，即x2-y24=9，整理得x29-y236=1，
所以动点M的轨迹方程x29-y236=1(x≠±3).
变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-17,0，F217,0,MF1-MF2=2，点M的轨迹为C.求C的方程；
【答案】x2-y216=1x≥1；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、c的值，从而得b的值，即可得出轨迹C的方程；
【详解】
因为MF1-MF2=2
设轨迹C的方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0,x≥a，则2a=2，可得a=1，
2c=217，即c=17，所以b=17-1=4，
所以轨迹C的方程为x2-y216=1x≥1.
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将x0=gxy0=hx代入fx0,y0=0.
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：x+32+y2=1和圆C2：x-32+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2-y28=1x≥1B．x2-y28=1
C．x2-y28=1x≤-1D．y28-x2=1
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆M的半径为r，
则MC1=r+1，MC2=r+3，
则MC2-MC1=2
故选：C．
2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1,F2分别是双曲线左右两个焦点，若PF1=9，则PF2等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．5或13
【答案】B
【分析】先求出a,b,c，然后根据双曲线的定义结合PF1=9可求得PF2.
【详解】双曲线x216-y220=1的a=4,b=25,c=6，
由双曲线的定义可得PF1-PF2=2a=8．
因为PF1=9，所以9-PF2=8，得PF2=1或17，
若PF2=1，则P在右支上，应有PF2≥c-a=2，不成立；
若PF2=17，则P在左支上，应有PF2≥c+a=10，成立．
故选：B．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】易得充分性成立，当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，可知必要性不成立.
【详解】当m∈(0,8)时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的椭圆， 故充分性成立；
当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，
故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；
所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x2-y2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C的方程为（ ）
A．x2-y2=1B．y2-x2=1C．x2-y2=2D．y2-x2=2
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为(0,±2)在纵轴上，所以λ<0，
且双曲线C方程y2-λ-x2-λ=1满足(-λ)+(-λ)=22，
故λ=-2，则C的方程为y2-x2=2．
故选：D．
5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为-4,0,4,0，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．x24-y212=1B．x212-y24=1
C．x2-y25=1D．y25-x2=1
【答案】A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：x2a2-y2b2=1a>0,b>0.
则2a=4c=4c2=a2+b2，解得：a=2b=23.
所以双曲线的标准方程为x24-y212=1.
故选：A
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设A,B两点的坐标分别为-3,0，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x29+y26=1x≠±3B．x26-y29=1x≠±3
C．y29+x26=1x≠±3D．x29-y26=1x≠±3
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点Mx,y，则AM的斜率为yx+3，BM的斜率为yx-3，
故yx+3⋅yx-3=23x≠±3，
所以x29-y26=1x≠±3，故D正确.
故选：D
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点A-1,0,B1,0，动点Px,y满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=-2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y22=1B．x2-y22=1y≠0
C．x2+y22=1D．x2+y22=1y≠0
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点Px,y满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=-2，则yx+1⋅yx-1=2，其中y≠0，
化简可得x2-y22=1y≠0．
故选：B．
8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点2,2且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．x26-y28=1B．y26-x28=1C．x22-y24=1D．y22-x24=1
【答案】D
【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点2,2，可求得双曲线方程.
【详解】由9x2+3y2=27，得y29+x23=1，所以焦点在y轴上，且c=9-3=6．
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1a>0,b>0，所以4a2-4b2=1,a2+b2=6,解得a2=2，b2=4，
所以双曲线的方程为y22-x24=1．
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0
A．22B．3C．23D．4
【答案】AB
【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出m的取值范围，即可判断．
【详解】因为方程mx2+y2-4y+4=x-3y+1表示的曲线是双曲线，
由mx2+y2-4y+4=x-3y+1，显然m>0，
即m10x2+y-22=x-3y+110，则x2+(y-2)2x-3y+110=10m，
其中x2+y-22表示点x,y到定点0,2的距离，
x-3y+110表示点x,y直线x-3y+1=0的距离，又点0,2不在直线x-3y+1=0上，
则x2+(y-2)2x-3y+110表示平面内一点x,y到定点0,2的距离与到直线x-3y+1=0的距离之比，
依题意可得e=10m>1，解得0
10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：x21-m+y23+m=1（m∈R），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则-1
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m<-3
【答案】BCD
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则1-m+3+m=0，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则3+m>1-m>0，解得-1
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则1-m>03+m<0，
解得m<-3，故D正确.
故选：BCD.
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2
【答案】BCD
【详解】
解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y24=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上一点，且PF1=6PF2，写出C的一个标准方程 ．
【答案】x26-y24=1
【分析】由题意可知|PF2|=2a5，结合|PF2|≥c-a可求出a2≥256，从而可写出C的一个标准方程．
【详解】因为|PF1|=6|PF2|，所以|PF1|-|PF2|=5|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a5，
又因为|PF2|≥c-a，则2a5≥c-a，即ca≤75，
又因为b2=4，所以e=1+b2a2=1+4a2≤75，
解得a2≥256，
当a2=6时，C的一个标准方程为x26-y24=1．
故答案为：x26-y24=1（答案不唯一，满足a2≥256即可）．
13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则PF1⋅PF2的最小值为 ．
【答案】3
【分析】设PF2=m∈1,+∞，由双曲线定义可得PF1=m+2，代入PF1⋅PF2结合二次函数性质分析求解.
【详解】由题意可知：a=1,b=3,c=a2+b2=2，且PF1-PF2=2，
设PF2=m≥c-a=1，则PF1=m+2，
可得PF1⋅PF2=mm+2在m∈1,+∞上单调递增，
所以当m=1时，|PF1|⋅|PF2|取得最小值3．
故答案为：3.
14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1、F2，点A3,1在双曲线C上，且满足AF1⋅AF2=0，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】x22-y22=1
【分析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，进而根据向量垂直的坐标表示得c=2，再根据点A(3,1)在双曲线C上待定系数求解即可．
【详解】解：由题，设F1(-c,0)，F2(c,0)，因为A(3,1)，
所以AF1=(-c-3,-1),AF2=(c-3,-1)，
因为AF1⋅AF2=0，
所以AF1⋅AF2=3-c2+1=0，解得c=2，
因为3a2-1b2=1b2+a2=c2，解得a2=b2=2，
所以，双曲线C的标准方程为x22-y22=1．
故答案为：x22-y22=1．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x216-y24=1有相同的焦点，且经过点32,2；
(2)过点P3,154，Q-163,5且焦点在坐标轴上．
【答案】(1)x212-y28=1
(2)y29-x216=1
【分析】（1）设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0或x216-λ-y24+λ=1-4<λ<16，然后根据已知条件来求得正确答案.
（2）双曲线的方程为Ax2+By2=1，然后根据已知条件来求得正确答案.
【详解】（1）方法一
根据题意，设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
∴c2=16+4=20，即a2+b2=20．①
∵双曲线经过点32,2，
∴18a2-4b2=1．②
由①②得a2=12，b2=8，
∴双曲线的标准方程为x212-y28=1．
方法二
设所求双曲线的方程为x216-λ-y24+λ=1-4<λ<16．
∵双曲线过点32,2，
∴1816-λ-44+λ=1，
解得λ=4或λ=-14（舍去）．
∴双曲线的标准方程为x212-y28=1．
（2）设双曲线的方程为Ax2+By2=1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.
∴双曲线的标准方程为y29-x216=1．
16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M1,3不在圆x+m2+y-m2=16的内部，q：“曲线C1:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，s：“曲线C2:x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”．
(1)若p和q都成立，求实数m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
【答案】(1)(-4,-2)∪(4,+∞)；
(2)[-4,-3]∪[4,+∞).
【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当p、q为真时，m的取值范围，再求交集即可；
（2）当s为真时，求得{m|t
【详解】（1）解：当p为真时，则有1+m2+3-m2≥16，
整理得：m2-2m-3≥0，解得m≤-1或m≥3；
当q为真时，则有2m+8>0m2>2m+8，解得-4
又因为p和q都为真，
所以m≤-1或m≥3-4
所以实数m的取值范围为(-4,-2)∪(4,+∞)；
（2）解：当s为真时，则有(m-t)(m-t-1)<0，解得t
所以{m|t
所以t≥-4t+1≤-2或t≥4，
解得-4≤t≤-3或t≥4，
所以t的取值范围[-4,-3]∪[4,+∞).
17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M:x2+y2+4x-8=0，H(2,0)，G为M上的动点，线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α=2β，求点Q的坐标.
【答案】(1)x23-y2=1
(2)(32+23,1215+83).
【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线的定义确定点Q的轨迹，进而求出轨迹方程.
（2）由给定条件，可得点Q在第一象限，且△QMH是腰长为4的等腰三角形，再结合（1）中轨迹方程，求解方程组即得结果.
【详解】（1）依题意，圆M:(x+2)2+y2=12的圆心M(-2,0)，半径r=23，
由线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q，得|QH|=|QG|，
则||QM|-|QH||=||QM|-|QG||=r=23<4=|HM|，
因此点Q的轨迹是以M,H为左右焦点，实轴长为23的双曲线，
实半轴长a=3，半焦距c=2，则虚半轴长b=c2-a2=1，
所以点Q的轨迹方程为x23-y2=1.
（2）依题意，由QH与x轴不重合，得0<α<π，则0<β<π2，点Q在第一象限，
△QMH是以线段QM为底边的等腰三角形，则|QH|=|MH|=4，
设Q(x1,y1)，则(x1-2)2+y12=16，又x123-y12=1，解得x1=32+23y1=1215+83，
所以点Q的坐标是(32+23,1215+83).
18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别是F1，F2.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且∠F1PF2=60，求△F1PF2的面积.
【答案】(1)10或22
(2)163
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）由双曲线的定义和余弦定理得PF1⋅PF2=64得解.
【详解】（1）双曲线的标准方程为x29-y216=1，
故a=3，b=4，c=a2+b2=5，
由双曲线的定义得MF1-MF2=2a=6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则16-x=6，解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
（2）由双曲线的定义和余弦定理得PF2-PF1=6，
F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cs60，
所以102=PF1-PF22+PF1⋅PF2，
所以PF1⋅PF2=64，
所以S△F1PF2=12PF1⋅PF2⋅sin∠F1PF2=12×64×32=163.
19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x2+y2+4x=21，圆N：x2+y2-4x=5．
(1)求经过点P-2,3以及圆M与圆N交点的圆的方程；
(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.
【答案】(1)x2+y2=13
(2)x2-y23=1x>2
【分析】（1）设出所求圆的方程，根据P点坐标求得所求圆的方程.
（2）根据双曲线的定义求得T点的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆方程为：x2+y2+4x-21+λx2+y2-4x-5=0，λ≠0，
将P-2,3代入上面方程，
得-22+32+4×-2-21+λ-22+32-4×-2-5=0，
解得λ=1，所以该圆方程为：x2+y2+4x-21+x2+y2-4x-5=0，
化简为：x2+y2=13.
（2）由题圆M：x+22+y2=25，圆心M-2,0，半径r1=5，
圆N：x-22+y2=9，圆心N2,0，半径r2=3，
又因为圆T和圆M，圆N均外切，令Tx,y，圆T的半径为r，
则MT=r1+r=5+r>5，MN=r2+r=3+r>3，所以MT-MN=2，
所以T点在以M，N为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近N点的一支上，
且MN>3，所以a=1，c=2，b2=c2-a2=3 ，
所以T点坐标x,y满足如下关系：
x2-y23=1x>0MN=x-22+y2>3，解得x>2．
所以T点的轨迹方程为：x2-y23=1x>2．
课程标准
学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的
学习，培养数学抽象素养
2.借助于双曲线标准方程的推导过
程，提升逻辑推理、数学运算素养
1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:
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