黑龙江省佳木斯市富锦市某校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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12．/
【分析】将直线的方程可化为，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线的方程可化为，且直线的方程为，
所以，平行直线与之间的距离为.
故答案为：.
13．5
【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解.
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得，
故，故,
故最小值为：5
14．
【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，
分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
故答案为：.
15．(1)，，85，76.5
(2)
【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出，然后判断出分位数在第4组，从而可求出分位数；再由平均数的定义求解即可.
（2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，即，
又，所以，，
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
则分位数，且．
测试成绩的平均分为：.
（2）成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，
成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，
这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为．
16．(1)或
(2)的最小值为，直线的方程为.
【分析】（1）将直线整理后解方程组可得，分情况讨论截距是否为零可得直线的方程；
（2）分别解得两点坐标求得面积的表达式，利用基本不等式即可得的最小值以及此时直线的方程．
【详解】（1）将整理可得，
令，可得，
即可得定点，
若在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
若在两坐标轴上截距不为零且相等，
设直线的截距式方程为，代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）易知，且，可得；
所以三角形的面积为；
当且仅当，即时，等号成立，
此时的最小值为，此时直线的方程为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件得到面，从而有，再通过计算得到，从而有，由线面垂直的判断定理，即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的方向向量，利用线面角的向量法，即可求解.
【详解】（1）因为是矩形，所以，又，，面，
所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以，
即，又，面，所以平面.
（2）由（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以，又BE垂直于PC，由，得到，
所以，得到，
易知，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，即，
又，设与平面所成角为，
则.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解；
（2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解．
【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为，
所以，则直线的方程为，即，
由得，，所以，
设，则点中点为，
所以，解得，即．
（2）因为，，
所以的中点坐标为，，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
同理可得线段的垂直平分线方程为，
由得，，所以的外接圆圆心为，
所以的外接圆半径为，
所以的外接圆方程为．
19．(1)证明见解析
(2)存在，且点为线段的中点
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用面面垂直的性质定理推导出平面，设，利用锥体的体积公式求出的值，然后以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形是矩形，所以，且，
为棱的中点，则且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高，
设，则，，
所以，，所以，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
故，，，
设，
．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，.
易知平面的一个法向量为，
，
整理可得，解得，合乎题意，
所以，当点为线段的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
C
C
B
C
AB
ABC
题号
11









答案
BCD