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    黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

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    这是一份黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则平面与平面( )
    A.平行B.垂直C.相交D.不能确定
    2.直线的倾斜角是( )
    A.B.C.D.
    3.椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
    A.B.C.D.
    5.设为空间的一个标准正交基底,,,则等于( )
    A.7B.-20C.23D.11
    6.若直线被圆所截得的弦长为4,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    7.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    8.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点,且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.关于椭圆有以下结论,其中正确的有( )
    A.离心率为B.长轴长是
    C.焦点在轴上D.焦点坐标为,
    10.在正方体中,若E为的中点,则与直线CE不垂直的有( )
    A.ACB.BDC.D.
    11.已知点,,直线(其中),若直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的值可能是( )
    A.0 B.1C.2D.4
    12.如图,正方体的棱长为2,动点P,Q分别在线段,AC上,则下列命题正确的是( )
    A.直线BC与平面所成的角等于
    B.点到平面的距离为
    C.异面直线和所成的角为
    D.线段PQ长度的最小值为
    三、双空题
    13.已知,,且,则__________,____________.
    四、填空题
    14.若圆,与圆相交于A,B,则公共弦AB的长为______________.
    15.已知点,平面过原点,且垂直于向量,则点M到平面的距离为_____________.
    16.已知双曲线 的右顶点为A, 若以点A为圆心, 以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点, 点O为坐标原点,且,则双曲线C的离心率为_____________.
    五、解答题
    17.已知空间三点,,,设,.
    (1)求;
    (2)与互相垂直,求实数k的值.
    18.直线l经过两直线和的交点.
    (1)若直线l与直线平行,求直线l的方程;
    (2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程.
    19.如图,在边长为2的正方体中,E是BC的中点,F是的中点,
    (1)求证:平面;
    (2)求平面与平面夹角的余弦值.
    20.在平面直角坐标系中,圆C的圆心在直线上,且圆C经过点和点.
    (1)求圆C的标准方程;
    (2)求经过点且与圆C恰有1个公共点的直线的方程.
    21.已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.
    22.如下图,已知点是离心率为的椭圆上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:因为平面的一个法向量为,平面的一个法向量,
    所以,所以
    所以.
    故选:A.
    2.答案:D
    解析:化为,
    斜率为,所以倾斜角为.
    故选:D.
    3.答案:C
    解析:由椭圆方程可知,,所以,
    椭圆的离心率.
    故选:C.
    4.答案:A
    解析:设点A关于直线的对称点,设军营所在区域为的圆心为C,
    根据题意,为最短距离,先求出的坐标,
    的中点为,直线的斜率为1,
    故直线为,
    由,解得,,
    所以,
    故,
    故选:A.
    5.答案:B
    解析:因为为空间的一个标准正交基底,
    所以,
    所以.
    故选:B.
    6.答案:C
    解析:圆是以为圆心,以2为半径的圆,
    又直线被圆所截得的弦长为4,
    直线过圆心,,
    ,
    当且仅当时等号成立,
    的最小值为,
    故选:C.
    7.答案:C
    解析:以D为坐标原点,DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
    则,,,
    所以,
    因为,所以异面直线与所成角的余弦值为,
    故选:C.
    8.答案:A
    解析:因为椭圆的方程为,所以椭圆的焦点坐标为,
    由题意,双曲线C的焦点在y轴上,且,
    设双曲线C的方程为,则有,
    其渐近线方程为,即,
    又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则有,所以,
    所以双曲线C的方程为,
    故选:A.
    9.答案:AD
    解析:将椭圆方程化为标准方程为
    所以该椭圆的焦点在x轴上,故C错误;
    焦点坐标为,故D正确;
    长轴长是4故B错误
    因为,所以,离心率故A正确.
    故选:AD.
    10.答案:ACD
    解析:建立如图所示的空间直角坐标系.
    设正方体的棱长为1.
    则,,,,,,,
    ,,,,.
    ,
    ,
    .
    .
    与CE不垂直的有AC、、,
    故选:ACD.
    11.答案:BC
    解析:由,得,
    因为
    所以,解得,所以直线l恒过定点,
    因为点,,直线与线段有公共点,
    所以直线l的斜率k满足:,即,
    得,
    故选:BC.
    12.答案:ABD
    解析:由题意得:
    正方体的棱长为2
    对于选项A:连接,设交于O点
    ,
    平面
    即为直线BC与平面所成的角,且,故A正确;
    对于选项B:连接,设交于O点
    平面
    点C到平面的距离为,故B正确;
    对于选项C:连接、,由正方体性质可知
    故异面直线和所成的角即为和所成的角

    为等边三角形
    故C错误;
    对于选项D:过P作,过M作,
    连接PQ,PQ为异面直线之间的距离,这时PQ距离最小;
    设,为等腰直角三角形,则,
    也为等腰直角三角形,则
    为直角三角形

    当时,取最小值,故,故D正确;
    故选:ABD.
    13.答案:,
    解析:,,
    则,
    由,可得,解之得
    14.答案:
    解析:由题意AB所在的直线方程为:,即,
    因为圆心O到直线的距离为1,所以.
    故答案为:.
    15.答案: 2
    解析:由题可知点M到平面的距离即为在的投影,
    ,,
    ,,
    在的投影为.
    16.答案:
    解析:如图所示:
    取MN的中点B,连接AB.则.
    由知,,
    又因为点到渐近线的距离,
    所以,即,
    又,代入化简得,即,
    解得或(舍去),故.
    故答案为:.
    17.答案:(1);
    (2)或.
    解析:(1)由题设,,
    所以.
    (2)由,,而,
    所以,
    可得或.
    18.答案:(1)
    (2)或
    解析:由,解得,
    所以两直线和的交点为.
    当直线l与直线平行,设l的方程为,
    把点代入求得,
    可得l的方程为.
    (2)斜率不存在时,直线l的方程为,满足点到直线l的距离为5.
    当l的斜率存在时,设直限l的方程为,即,
    则点A到直线l的距离为,求得,
    故l的方程为,即.
    综上,直线的方程为或.
    19.答案:(1)见解析;
    (2)
    解析:证明:(1)以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    则,,
    设平面的法向量是
    则,取,
    所以平面.
    (2)是面的法向量,
    即平面与平面夹角的余弦值为.
    20.答案:(1);
    (2)或
    解析:(1)直线PQ的斜率,PQ中点坐标为,
    所以PQ中垂线方程为,即,
    由得,圆心,所以,
    所以圆C的标准方程为:.
    (2)当该直线斜率不存在,即直线方程为时,成立,
    当该直线斜率存在时,设其方程为:,即,
    因为该直线与圆C恰有1个公共点,
    所以圆心到直线距离,得.
    所以切线方程为或.
    21.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)由题设,抛物线准线方程为,
    抛物线定义知:可得,故
    (2)由题设,直线l的斜率存在且不为0,设
    联立方程,得,
    整理得,则.
    又P是线段AB的中点,,即

    22.答案:(1);
    (2)证明见解析.
    解析:(1)由题意,可得,代入得,
    又,解得,
    ,
    所以椭圆C的方程为.
    (2)证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,,
    设,,
    由得,
    所以,解得,
    ,①
    ,②
    设直线AB,AD的斜率分别为,,
    则(),
    分别将①②式代入(),
    得,
    所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值0.

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