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黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)
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这是一份黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则平面与平面( )
A.平行B.垂直C.相交D.不能确定
2.直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
3.椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
5.设为空间的一个标准正交基底,,,则等于( )
A.7B.-20C.23D.11
6.若直线被圆所截得的弦长为4,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点,且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.关于椭圆有以下结论,其中正确的有( )
A.离心率为B.长轴长是
C.焦点在轴上D.焦点坐标为,
10.在正方体中,若E为的中点,则与直线CE不垂直的有( )
A.ACB.BDC.D.
11.已知点,,直线(其中),若直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的值可能是( )
A.0 B.1C.2D.4
12.如图,正方体的棱长为2,动点P,Q分别在线段,AC上,则下列命题正确的是( )
A.直线BC与平面所成的角等于
B.点到平面的距离为
C.异面直线和所成的角为
D.线段PQ长度的最小值为
三、双空题
13.已知,,且,则__________,____________.
四、填空题
14.若圆,与圆相交于A,B,则公共弦AB的长为______________.
15.已知点,平面过原点,且垂直于向量,则点M到平面的距离为_____________.
16.已知双曲线 的右顶点为A, 若以点A为圆心, 以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点, 点O为坐标原点,且,则双曲线C的离心率为_____________.
五、解答题
17.已知空间三点,,,设,.
(1)求;
(2)与互相垂直,求实数k的值.
18.直线l经过两直线和的交点.
(1)若直线l与直线平行,求直线l的方程;
(2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程.
19.如图,在边长为2的正方体中,E是BC的中点,F是的中点,
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20.在平面直角坐标系中,圆C的圆心在直线上,且圆C经过点和点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求经过点且与圆C恰有1个公共点的直线的方程.
21.已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.
22.如下图,已知点是离心率为的椭圆上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.
参考答案
1.答案:A
解析:因为平面的一个法向量为,平面的一个法向量,
所以,所以
所以.
故选:A.
2.答案:D
解析:化为,
斜率为,所以倾斜角为.
故选:D.
3.答案:C
解析:由椭圆方程可知,,所以,
椭圆的离心率.
故选:C.
4.答案:A
解析:设点A关于直线的对称点,设军营所在区域为的圆心为C,
根据题意,为最短距离,先求出的坐标,
的中点为,直线的斜率为1,
故直线为,
由,解得,,
所以,
故,
故选:A.
5.答案:B
解析:因为为空间的一个标准正交基底,
所以,
所以.
故选:B.
6.答案:C
解析:圆是以为圆心,以2为半径的圆,
又直线被圆所截得的弦长为4,
直线过圆心,,
,
当且仅当时等号成立,
的最小值为,
故选:C.
7.答案:C
解析:以D为坐标原点,DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
所以,
因为,所以异面直线与所成角的余弦值为,
故选:C.
8.答案:A
解析:因为椭圆的方程为,所以椭圆的焦点坐标为,
由题意,双曲线C的焦点在y轴上,且,
设双曲线C的方程为,则有,
其渐近线方程为,即,
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则有,所以,
所以双曲线C的方程为,
故选:A.
9.答案:AD
解析:将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在x轴上,故C错误;
焦点坐标为,故D正确;
长轴长是4故B错误
因为,所以,离心率故A正确.
故选:AD.
10.答案:ACD
解析:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1.
则,,,,,,,
,,,,.
,
,
.
.
与CE不垂直的有AC、、,
故选:ACD.
11.答案:BC
解析:由,得,
因为
所以,解得,所以直线l恒过定点,
因为点,,直线与线段有公共点,
所以直线l的斜率k满足:,即,
得,
故选:BC.
12.答案:ABD
解析:由题意得:
正方体的棱长为2
对于选项A:连接,设交于O点
,
平面
即为直线BC与平面所成的角,且,故A正确;
对于选项B:连接,设交于O点
平面
点C到平面的距离为,故B正确;
对于选项C:连接、,由正方体性质可知
故异面直线和所成的角即为和所成的角
又
为等边三角形
故C错误;
对于选项D:过P作,过M作,
连接PQ,PQ为异面直线之间的距离,这时PQ距离最小;
设,为等腰直角三角形,则,
也为等腰直角三角形,则
为直角三角形
故
当时,取最小值,故,故D正确;
故选:ABD.
13.答案:,
解析:,,
则,
由,可得,解之得
14.答案:
解析:由题意AB所在的直线方程为:,即,
因为圆心O到直线的距离为1,所以.
故答案为:.
15.答案: 2
解析:由题可知点M到平面的距离即为在的投影,
,,
,,
在的投影为.
16.答案:
解析:如图所示:
取MN的中点B,连接AB.则.
由知,,
又因为点到渐近线的距离,
所以,即,
又,代入化简得,即,
解得或(舍去),故.
故答案为:.
17.答案:(1);
(2)或.
解析:(1)由题设,,
所以.
(2)由,,而,
所以,
可得或.
18.答案:(1)
(2)或
解析:由,解得,
所以两直线和的交点为.
当直线l与直线平行,设l的方程为,
把点代入求得,
可得l的方程为.
(2)斜率不存在时,直线l的方程为,满足点到直线l的距离为5.
当l的斜率存在时,设直限l的方程为,即,
则点A到直线l的距离为,求得,
故l的方程为,即.
综上,直线的方程为或.
19.答案:(1)见解析;
(2)
解析:证明:(1)以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,
设平面的法向量是
则,取,
所以平面.
(2)是面的法向量,
即平面与平面夹角的余弦值为.
20.答案:(1);
(2)或
解析:(1)直线PQ的斜率,PQ中点坐标为,
所以PQ中垂线方程为,即,
由得,圆心,所以,
所以圆C的标准方程为:.
(2)当该直线斜率不存在,即直线方程为时,成立,
当该直线斜率存在时,设其方程为:,即,
因为该直线与圆C恰有1个公共点,
所以圆心到直线距离,得.
所以切线方程为或.
21.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题设,抛物线准线方程为,
抛物线定义知:可得,故
(2)由题设,直线l的斜率存在且不为0,设
联立方程,得,
整理得,则.
又P是线段AB的中点,,即
故
22.答案:(1);
(2)证明见解析.
解析:(1)由题意,可得,代入得,
又,解得,
,
所以椭圆C的方程为.
(2)证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,,
设,,
由得,
所以,解得,
,①
,②
设直线AB,AD的斜率分别为,,
则(),
分别将①②式代入(),
得,
所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值0.
一、选择题
1.平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则平面与平面( )
A.平行B.垂直C.相交D.不能确定
2.直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
3.椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.C.D.
5.设为空间的一个标准正交基底,,,则等于( )
A.7B.-20C.23D.11
6.若直线被圆所截得的弦长为4,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点,且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则双曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.关于椭圆有以下结论,其中正确的有( )
A.离心率为B.长轴长是
C.焦点在轴上D.焦点坐标为,
10.在正方体中,若E为的中点,则与直线CE不垂直的有( )
A.ACB.BDC.D.
11.已知点,,直线(其中),若直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的值可能是( )
A.0 B.1C.2D.4
12.如图,正方体的棱长为2,动点P,Q分别在线段,AC上,则下列命题正确的是( )
A.直线BC与平面所成的角等于
B.点到平面的距离为
C.异面直线和所成的角为
D.线段PQ长度的最小值为
三、双空题
13.已知,,且,则__________,____________.
四、填空题
14.若圆,与圆相交于A,B,则公共弦AB的长为______________.
15.已知点,平面过原点,且垂直于向量,则点M到平面的距离为_____________.
16.已知双曲线 的右顶点为A, 若以点A为圆心, 以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点, 点O为坐标原点,且,则双曲线C的离心率为_____________.
五、解答题
17.已知空间三点,,,设,.
(1)求;
(2)与互相垂直,求实数k的值.
18.直线l经过两直线和的交点.
(1)若直线l与直线平行,求直线l的方程;
(2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程.
19.如图,在边长为2的正方体中,E是BC的中点,F是的中点,
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20.在平面直角坐标系中,圆C的圆心在直线上,且圆C经过点和点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求经过点且与圆C恰有1个公共点的直线的方程.
21.已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.
22.如下图,已知点是离心率为的椭圆上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.
参考答案
1.答案:A
解析:因为平面的一个法向量为,平面的一个法向量,
所以,所以
所以.
故选:A.
2.答案:D
解析:化为,
斜率为,所以倾斜角为.
故选:D.
3.答案:C
解析:由椭圆方程可知,,所以,
椭圆的离心率.
故选:C.
4.答案:A
解析:设点A关于直线的对称点,设军营所在区域为的圆心为C,
根据题意,为最短距离,先求出的坐标,
的中点为,直线的斜率为1,
故直线为,
由,解得,,
所以,
故,
故选:A.
5.答案:B
解析:因为为空间的一个标准正交基底,
所以,
所以.
故选:B.
6.答案:C
解析:圆是以为圆心,以2为半径的圆,
又直线被圆所截得的弦长为4,
直线过圆心,,
,
当且仅当时等号成立,
的最小值为,
故选:C.
7.答案:C
解析:以D为坐标原点,DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
所以,
因为,所以异面直线与所成角的余弦值为,
故选:C.
8.答案:A
解析:因为椭圆的方程为,所以椭圆的焦点坐标为,
由题意,双曲线C的焦点在y轴上,且,
设双曲线C的方程为,则有,
其渐近线方程为,即,
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则有,所以,
所以双曲线C的方程为,
故选:A.
9.答案:AD
解析:将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在x轴上,故C错误;
焦点坐标为,故D正确;
长轴长是4故B错误
因为,所以,离心率故A正确.
故选:AD.
10.答案:ACD
解析:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1.
则,,,,,,,
,,,,.
,
,
.
.
与CE不垂直的有AC、、,
故选:ACD.
11.答案:BC
解析:由,得,
因为
所以,解得,所以直线l恒过定点,
因为点,,直线与线段有公共点,
所以直线l的斜率k满足:,即,
得,
故选:BC.
12.答案:ABD
解析:由题意得:
正方体的棱长为2
对于选项A:连接,设交于O点
,
平面
即为直线BC与平面所成的角,且,故A正确;
对于选项B:连接,设交于O点
平面
点C到平面的距离为,故B正确;
对于选项C:连接、,由正方体性质可知
故异面直线和所成的角即为和所成的角
又
为等边三角形
故C错误;
对于选项D:过P作,过M作,
连接PQ,PQ为异面直线之间的距离,这时PQ距离最小;
设,为等腰直角三角形,则,
也为等腰直角三角形,则
为直角三角形
故
当时,取最小值,故,故D正确;
故选:ABD.
13.答案:,
解析:,,
则,
由,可得,解之得
14.答案:
解析:由题意AB所在的直线方程为:,即,
因为圆心O到直线的距离为1,所以.
故答案为:.
15.答案: 2
解析:由题可知点M到平面的距离即为在的投影,
,,
,,
在的投影为.
16.答案:
解析:如图所示:
取MN的中点B,连接AB.则.
由知,,
又因为点到渐近线的距离,
所以,即,
又,代入化简得,即,
解得或(舍去),故.
故答案为:.
17.答案:(1);
(2)或.
解析:(1)由题设,,
所以.
(2)由,,而,
所以,
可得或.
18.答案:(1)
(2)或
解析:由,解得,
所以两直线和的交点为.
当直线l与直线平行,设l的方程为,
把点代入求得,
可得l的方程为.
(2)斜率不存在时,直线l的方程为,满足点到直线l的距离为5.
当l的斜率存在时,设直限l的方程为,即,
则点A到直线l的距离为,求得,
故l的方程为,即.
综上,直线的方程为或.
19.答案:(1)见解析;
(2)
解析:证明:(1)以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,
设平面的法向量是
则,取,
所以平面.
(2)是面的法向量,
即平面与平面夹角的余弦值为.
20.答案:(1);
(2)或
解析:(1)直线PQ的斜率,PQ中点坐标为,
所以PQ中垂线方程为,即,
由得,圆心,所以,
所以圆C的标准方程为:.
(2)当该直线斜率不存在,即直线方程为时,成立,
当该直线斜率存在时,设其方程为:,即,
因为该直线与圆C恰有1个公共点,
所以圆心到直线距离,得.
所以切线方程为或.
21.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题设,抛物线准线方程为,
抛物线定义知:可得,故
(2)由题设,直线l的斜率存在且不为0,设
联立方程,得,
整理得,则.
又P是线段AB的中点,,即
故
22.答案:(1);
(2)证明见解析.
解析:(1)由题意,可得,代入得,
又,解得,
,
所以椭圆C的方程为.
(2)证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,,
设,,
由得,
所以,解得,
,①
,②
设直线AB,AD的斜率分别为,,
则(),
分别将①②式代入(),
得,
所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值0.