四川省内江市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.
3.考试结束后，监考人将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位数定义即可得解.
【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，
所以75%分位数为.
故选：C.
2. 设复数是虚数单位),则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵
∴===选D．
3. 某射击运动员射击5次的成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
B. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C. 该射击运动员5次射击的环数的方差为1
D. 该射击运动员5次射击的环数的方差为
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均值和方差的公式即可求解.
【详解】该射击运动员5次射击平均环数为，
5次射击的环数的方差.
结合选项可知：ABC错误，D正确.
故选：D.
4. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：B
5. 柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解.
【详解】设，，分别表示三双鞋的左只，，，分别表示三双鞋的右只，
则从中随机取出只的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，，
共种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有，，，，，，，，，共种，
所以概率为,
故选：C.
6. 如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选：A.
7. 当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
8. 某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可.
【详解】设，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,所以，
即，解得，
所以该古建筑的高度为.
故选：C.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标公式判断A选项；利用向量的坐标求模长，从而判断B选项；
利用向量垂直的坐标公式判断C选项；利用向量数量积的坐标公式判断D选项.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故，故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，若，则，
解得，故D正确.
故选：BCD
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）

A.
B.
C. 在区间上单调递减
D. 为偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】由图列方程组可判断A项，代入点可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令计算可判断D项.
【详解】由图可知，，
，
所以，
所以，
将点代入可得：，，
又因为，
所以，
所以，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为，所以，
由图可知，在上单调递减，
即：在上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，
当时，，
所以不是偶函数，故D项错误.
故选：AC.
11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断CD.
【详解】对A，由余弦定理知，，
，
上述三个等式相加得，A正确；
对B，因为，
所以，B正确；
对CD，设，则，
则，
因为，所以，
即，
整理得，C错误，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三.填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可.
【详解】，，故，
所以.
故答案：
13. 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只.
【答案】
【解析】
【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解.
【详解】假设草场约有n只兔子，则，则.
故答案为：600.
14. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
四.解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，
（1）求角；
（2）以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由边化角，再结合，即可求解;
（2）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
【小问1详解】
由，
可得：
,
又，
所以，即
【小问2详解】
由题意得， ，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则；
16. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：

（1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ；
（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为.
①求的值 ；
②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.
【答案】（1），中位数.
（2）①，②.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算；
（2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得
，
解得.
设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为，
在内的评率为，
所以在内，
则，解得，
所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元.
【小问2详解】
①由题意，抽样比为，
专项贷款金额在内的中小微企业共有家，
所以应该抽取家，即.
②专项贷款金额在内和在内的频率之比为，
故在抽取的5家中小微企业中，
专项贷款金额在内的有家，分别记为,
专项贷款金额在内的有家，记为,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为
共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有
共4种，
所以所求概率为.
17. 已知函数的最大值为3，
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求，最后利用诱导公式可求.
【小问1详解】
将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
【小问2详解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
所以.
18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，，求的坐标；
（2）若，，且，求实数的值；
（3）若，，求向量的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得；
（2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得；
（3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得.
【小问1详解】
若，，则，
则
故的坐标为.
【小问2详解】
若，，且，
则，，
由已知得，
所以
，解得.
【小问3详解】
若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，
（1）若，，，求面积；
（2）用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①；②，其中；
（3）若，且，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）推导见详解； （3）.
【解析】
【分析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可；
（2）选①：利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得；选②：利用平方差公式因式分解，再结合完全平方公式可证；
（3）利用正弦定理边化角整理可得，根据两边和大于第三边求出的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解.
【小问1详解】
因为，，，
所以
【小问2详解】
选①：
.
选②：
，
记，则.
【小问3详解】
因为，所以，
由正弦定理边化角得，
所以，即，
由3a+a>23a+2>aa+2>3a解得，所以，
因为
，
所以 当时，取得最大值.第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
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