四川省内江市第六中学2024−2025学年高二上学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第六中学2024−2025学年高二上学期入学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ）
A．这组数据的平均数为7B．这组数据的众数为7
C．这组数据的中位数为7D．这组数据的方差为7
4．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则α//β
D．若，，，则
5．某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ）
A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上
B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%
C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多
D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多
6．如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ）

A．B．
C．D．
7．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，设该容器的体积为 ，该容器最多能盛的水的体积为，则=（ ）

A．B．C．D．
8．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，，是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为
11．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为 ．
13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 .
14．已知正四面体的棱长为，若该正四面体能在底面半径为2的圆锥内任意转动，则该圆锥体积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值．
17．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．

(1)求证：平面PAB；
(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．
(1)若，求的值；
(2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．
(3)若，求的值．
19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程,
在复数集内的根为，容易得到,
设实系数一元三次方程①,
在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为,
展开得②,
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
.
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
(1)对于方程在复数集内的根为，求的值；
(2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系；
(3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用正弦定理结合进行求解即可.
【详解】由正弦定理得：，则，
由得，所以，
故选：C．
2．【答案】C
【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点.
【详解】因为，
所以对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
3．【答案】D
【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可.
【详解】9，5，7，6，8，7这组数据从小到大排列，5，6，7，7，8，9，
所以众数为7，中位数为7，平均数为，
方差为：，
故选：D
4．【答案】B
【分析】对于A，由面面平行的判定定理得；对于B，由线面平行的性质得；对于C，与相交或平行；对于D，与相交、平行或异面．
【详解】m，n是两条直线，，是两个平面，
对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误；
对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；
对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：B.
5．【答案】D
【分析】根据两个图，结合选项，即可判断.
【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；
快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%，
所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确；
快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确；
快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人數占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确．
故选D.
6．【答案】C
【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意知，，
由，得，所以，
在中，，
即，
即，整理得.
故选：C
7．【答案】B
【详解】如图：

连接，，，当三点在水平面时，该容器盛水最多.
因为，所以.
又因为，所以，到平面的距离之比为，
所以，所以.
故选B.
8．【答案】D
【分析】先设，根据条件求出，利用向量减法的几何意义和三角形三边关系定理求出的范围，再结合二次函数的单调性即可求得.
【详解】设，则，由两边平方得，，整理得，，
因是非零不共线向量，则，即，解得，，
此时函数是增函数，故，即的取值范围为.
故选：D.
9．【答案】BCD
【详解】，
对于A，的最小正周期为，故A错误，
对于B, ,故的图象关于直线对称，B正确，
对于C，，故的图象关于点对称，C正确，
对于D，时，，故在上单调递增，D正确，
故选BCD.
10．【答案】CD
【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项；
对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值；
对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心1,0到点的距离再加上半径，即可判断.
【详解】A选项：若，则，故A错误；
B选项：若，则，故B错误；
C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，
所以，解得，
则，故C正确；
D选项：设，因为，
所以，即，其表示圆心为1,0，半径为2的圆.
而，其表示圆上的点到点的距离.
因为圆心1,0到点的距离为，
所以的最大值为，故D正确.
故选：CD.
11．【答案】ACD
【详解】因为，所以由正弦定理得，
又因为，所以，
即，
整理得，即
对于A项，因为A，B，C均为锐角，所以，即，故A项正确；
对于B项，因为，，所以，
因为A，B，C均为锐角，所以，即，解得，
所以的取值范围为，故B项错误；
对于C项，由正弦定理得，，
所以，所以．故C项正确；
对于D项，由A项知，，由B项知，，所以，
所以，，
令，则，所以，，
令，，
则，所以在上单调递增，
又，，所以，
即的取值范围为，故D项正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】根据题意求圆锥的底面半径和母线长，进而求圆锥的高和体积.
【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得．
因为半径为的球的表面积为，即，解得，
则圆锥的高．
所以该圆锥的体积．
故答案为：．
13．【答案】
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，解得：.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】先计算出正四面体的外接球半径，再分析该球与圆锥S与内部相切的情形即可．
【详解】解：先计算正四面体的外接球半径，如图所示：
记正四面体的底面三角形的中心为，
由正四面体的性质可知，平面，正四面体的外接球的球心在上，设其半径为，
∵平面，∴，
可知，，
则有，
，即，解得，
当正四面体的外接球在圆锥内部相切时，正四面体可在圆锥内任意转动，
取圆锥的一个轴截面，如图所示：
为正四面体的外接球球心，为圆锥S底面圆的圆心，
为圆和圆锥的其中一个切点，为圆锥的高，
可知，，，
则，，
则，圆锥的体积为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的组合问题，解题的关键是先求出正四面体的外接球半径，将问题转化为外接球在圆锥内部相切的情况.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图计算可得,再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得；
（2）先借助分层随机抽样定义计算出从50,60，60,70，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得.
【详解】（1），则，
；，
故40百分位数在80,90层，则40百分位数为，
平均数；
（2）因为按比例分配的分层随机抽样，
故50,60，60,70，三层中抽取的样本量分别为：
；
；
从这6人中随机抽取两人，记50,60中抽取的人编号为1，
60,70抽取的人编号为2、3，
抽取的人编号为4、5、6，
记事件 “抽取的两人都及格”，
，
所以；
，所以；
.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解.
（2）借助等面积法及基本不等式即可得解.
【详解】（1），
由正弦定理可知：，
又，化简得，
即，
所以，，
即，因为，所以，从而；
（2）由题意可得：，
且，即，
化简得，
而，解得，等号成立当且仅当，
的面积，等号成立当且仅当，
综上所述，的面积的最小值为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，E为PC中点，证明见解析
【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可；
【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，

因为M，Q分别为PD，PA的中点，
所以，，
又因为N为BC的中点，
所以，．
所以，，
所以四边形MNBQ为平行四边形，所以，
又因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
（2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB．
证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，，
所以且，
所以四边形ABCD是平行四边形，所以．
因为E，M分别为PC，PD中点，所以，
所以，
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
同理可知平面PAB，又因为平面平面，
所以平面平面PAB．

18．【答案】(1)12
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量的数量积定义计算即可；
（2）由正弦定理求出，再由三角形面积公式得出面积，利用三角恒等变换化简即可得出最值；
（3）由三角形面积间的关系得出，利用（2）中结论化简为，再由三角恒等变换化简求出角正切值即可得解.
【详解】（1）中，，
所以
所以.
（2）在中，，，
由正弦定理得，即，
在中，，
所以，所以
所以
，
因为，所以，
所以当且仅当，即时，的面积取最大值为.
（3）当时，，
即，
因为，
所以，
设且，由（2）得，，且，
所以，
所以，
即，
两边同除以，得，
解得或（舍去），
此时.
19．【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值；
（2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系；
（3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值；
【详解】（1）由阅读材料可知：，且，
则有；
（2）由材料可知，一元四次方程可改写为，
展开得
，
故可得
；
（3）由题有的三个实根为.
设，
展开得，
故，
令，则，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为.
【关键点拨】本题第三问关键是由题有的三个实根为，
设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值.