四川省遂宁市射洪中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）

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单选题 1 D 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C
多选题 9 B C 10 A B D 11 A C D
三．填空题. 12 __5__ 13 __9__ 14 ____
四．解答题.
15.【详解】（1）已知向量，又，设，
又，则，解得，所以或；
（2）由题知，，，，所以，，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以向量与向量的夹角为．
16.【详解】（1）由，，得，
，于是.
（2）由，得，又，
，
由得：
．
17.【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
18.【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
．
（2）成绩落在，内的频率为，
落在，内的频率为，
设第75百分位数为，
由，得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在，的市民人数为，
成绩在，的市民人数为，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
19.【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
（3）存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.