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    四川省内江市第一中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题(含解析)

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    四川省内江市第一中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题(含解析)

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    这是一份四川省内江市第一中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、单选题(本大题共8小题)
    1.样本数据24,13,14,18,12,14,20,16的75%分位数为( )
    A.17B.18C.19D.20
    2.设复数是虚数单位),则( )
    A.B.C.D.
    3.某射击运动员射击5次的成绩如下表:
    下列结论正确的是( )
    A.该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
    B.该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
    C.该射击运动员5次射击的环数的方差为1
    D.该射击运动员5次射击的环数的方差为
    4.已知向量,满足,,且,的夹角为,则向量在向量方向上的投影向量的模为( )
    A.B.C.D.
    5.柜子里有双不同的鞋,分别用,,,,,表示只鞋,如果从中随机地取出只,则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为( )
    A.B.C.D.
    6.如图,中,为边的中点,为的中点,则( )

    A.B.
    C.D.
    7.当时,曲线与的交点个数为( )
    A.3B.4C.6D.8
    8.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度,设计了测算方案.如图,在该建筑物旁水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点M的仰角分别为,,,且,则该古建筑的高度为( )

    A.B.C.D.
    二、多选题(本大题共3小题)
    9.已知平面向量,,与的夹角为,则( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    10.函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的有( )

    A.
    B.
    C.在区间上单调递减
    D.为偶函数
    11.我们知道正.余弦定理推导的向量法,是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积,进而得到长度与角度之间的关系.如图,直线与的边,分别相交于点,,设,,,,则下列结论正确的有( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    三、填空题(本大题共3小题)
    12.已知,,则的值为 .
    13.为估计某草场内兔子的数量,使用以下方法:先随机从草场中捕捉兔子100只,在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只,若尾巴上有记号的兔子共有10只,估计此草场内约有兔子 只.
    14.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李华答对每道题目的概率都是,若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,则李华最终通过面试的概率为 .
    四、解答题(本大题共5小题)
    15.在中,内角,,的对边分别为,,,,,
    (1)求角;
    (2)以,,为边长的三个正三角形的面积依次为,,,若,求的面积.
    16.2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图.
    (1)确定的值,并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数;
    (2)从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家,再从这20家专项贷款金额在内的企业中随机抽取3家,求这3家的专项贷款金额都在内的概率.
    17.已知函数的最大值为3,
    (1)若的定义域为,求的单调递增区间;
    (2)若,,求的值.
    18.如图,在斜坐标系中,,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,且,的夹角为,定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对,记为.在斜坐标系中,完成如下问题:
    (1)若,,求的坐标;
    (2)若,,且,求实数的值;
    (3)若,,求向量的夹角的余弦值.
    19.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步.欲知为田几何?”其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角,,的对应边分别为,,,面积为,则“三斜求积”公式为,
    (1)若,,,求面积;
    (2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个:①;②,其中;
    (3)若,且,求面积的最大值.
    参考答案
    1.【答案】C
    【详解】数据从小到大排序为12,13,14,14,16,18,20,24,则,
    所以75%分位数为.
    2.【答案】D
    【详解】∵
    ∴===
    故选D.
    3.【答案】D
    【详解】该射击运动员5次射击的平均环数为,
    5次射击的环数的方差.
    结合选项可知:ABC错误,D正确.
    故选:D.
    4.【答案】B
    【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
    【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为.
    故选:B
    5.【答案】C
    【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解.
    【详解】设,,分别表示三双鞋的左只,,,分别表示三双鞋的右只,
    则从中随机取出只的所有可能为,,,,,,,,,,,,,,,
    共种,
    其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有,,,,,,,,,共种,
    所以概率为,
    故选:C.
    6.【答案】A
    【分析】利用向量的基本定理与混合运算,结合图形即可得解.
    【详解】在中,为边的中点,为的中点,
    则.
    故选A.
    7.【答案】C
    【分析】画出两函数在上的图象,根据图象即可求解
    【详解】因为函数的的最小正周期为,
    函数的最小正周期为,
    所以在上函数有三个周期的图象,
    在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:
    由图可知,两函数图象有6个交点.
    故选C.
    8.【答案】C
    【分析】设,利用三角函数分别表示,然后分别在中利用余弦定理表示,因为,所以可得,进而求解即可.
    【详解】设,
    在中,,
    在中,,
    在中,,
    在中,由余弦定理得:,
    在中,由余弦定理得:,
    因为,所以,
    即,解得,
    所以该古建筑的高度为.
    故选C.
    9.【答案】BCD
    【分析】利用向量平行的坐标公式判断A选项;利用向量的坐标求模长,从而判断B选项;
    利用向量垂直的坐标公式判断C选项;利用向量数量积的坐标公式判断D选项.
    【详解】对于A,若,则,故A错误;
    对于B,若,则,故,故B正确;
    对于C,若,则,则,故C正确;
    对于D,若,则,
    解得,故D正确.
    故选:BCD
    10.【答案】AC
    【分析】由图列方程组可判断A项,代入点可判断B项,结合图象及其周期可判断C项,令计算可判断D项.
    【详解】由图可知,,

    所以,
    所以,
    将点代入可得:,,
    又因为,
    所以,
    所以,故A项正确,B项错误;
    对于C项,因为,所以,
    由图可知,在上单调递减,
    即:在上单调递减,故C项正确;
    对于D项,因为,
    所以,
    当时,,
    所以不是偶函数,故D项错误.
    故选:AC.
    11.【答案】ABD
    【分析】利用余弦定理可判断A;利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B;利用特殊值可判断C错误;设,在两边同乘向量,根据数量积定义即可判断D.
    【详解】对A,由余弦定理知,,

    上述三个等式相加得,A正确;
    对B,因为,
    所以,B正确;
    对C,当时,式子左边,右边,
    由得,
    此时,只有当时,等式才成立,由于角的任意性,所以等式不一定恒成立,C错误;
    对D,设,则,
    则,
    因为,所以,
    即,
    整理得,D正确.
    故选:ABD
    12.【答案】
    【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可.
    【详解】,,故,
    所以.
    故答案为:
    13.【答案】
    【分析】利用简单随机抽样,结合样本估计总体可解.
    【详解】假设草场约有n只兔子,则,则.
    故答案为:600.
    14.【答案】
    【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.
    【详解】依题意,李华3道题都没有答对的概率为,
    所以李华最终通过面试的概率为.
    故答案为:.
    15.【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由边化角,再结合,即可求解;
    (2)先表示出,再由求得,结合余弦定理及平方关系求得,再由面积公式求解即可.
    【详解】(1)由,
    可得:,


    又,,
    所以,即.
    (2)由题意得, ,,
    则,即,
    由余弦定理得,所以,
    由,得,则.
    16.【答案】(1),万元
    (2)
    【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程,即可求出,再求出众数;
    (2)首先求出、组中抽取的企业数,利用列举法列出所有可能得结果,再根据古典概型的概率公式计算可得.
    【详解】(1)由频率分布直方图得,
    解得,
    因为专项贷款金额在的频率最大,所以估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数为万元
    (2)由题意知分层抽样抽取比例为,
    抽样的家中小微企业中专项贷款金额在内应抽取的企业有家.
    在抽取的家中小微企业中,专项贷款金额在内的有家,记为,,,;
    专项贷款金额在内的有家,记为.
    从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为,,,,,,,,,共10种,
    其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况为,,,共4种,
    所以所求概率.
    17.【答案】(1)和
    (2)
    【分析】(1)利用二倍角公式将化简并利用最值可得,再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间;
    (2)代入解析式可求得,再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求,最后利用诱导公式可求.
    【详解】(1)将化简可得,
    因为,所以.
    此时,
    当时,
    令.得;
    令,得,
    所以的单调递增区间为和.
    (2)由(1)知.
    由,得,
    所以.又因为.所以,
    所以.
    所以,
    所以.
    18.【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【分析】(1)用,表示,借助,的线性运算求解可得;
    (2)用,表示,将转化为的运算,利用数量积的运算律求解可得;
    (3)用,表示,利用,求及,再由两向量夹角公式可得.
    【详解】(1)若,,则,

    故的坐标为.
    (2)若,,且,
    则,,
    由已知得,.
    所以
    ,解得.
    (3)若,,
    则,

    所以,
    又,
    向量,的夹角的余弦值为.
    19.【答案】(1);
    (2)推导见详解;
    (3).
    【分析】(1)将所给边长代入公式直接计算即可;
    (2)选①:利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得;选②:利用平方差公式因式分解,再结合完全平方公式可证;
    (3)利用正弦定理边化角整理可得,根据两边和大于第三边求出的范围,然后根据面积公式和二次函数性质可解.
    【详解】(1)因为,,,
    所以.
    (2)选①:
    .
    选②:

    记,则.
    (3)因为,所以,
    由正弦定理边化角得,
    所以,即,
    由解得,所以,
    因为

    所以 当时,取得最大值.
    第1次
    第2次
    第3次
    第4次
    第5次
    9环
    9环
    10环
    8环
    9环

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