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四川省南充市西充中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）
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这是一份四川省南充市西充中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．等于（ ）
A．1B．C．D．
2．若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（ ）
A．iB．C．1D．
3．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acsA，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
7．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．把上所有的点向右平移个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
13．已知向量，若，则m= ．
14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量．
(1)求；
(2)求．
16．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
17．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
18．某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在的人数；
(2)用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数.
19．在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
①
②
③
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再结合共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意，，则，
所以.
故选：C
3．【答案】C
【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为.
【详解】
正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为.
故选C.
4．【答案】A
【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求.
【详解】
由题意可得，
由正弦定理可得，可得，
在上的投影为，
所以在上的投影向量为，
即在上的投影向量为.
故选A．
5．【答案】D
【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.
【详解】解：因为c＝2acsA，
由余弦定理可得，将a＝3，b＝5代入整理得，
所以.
故选：D.
6．【答案】C
【分析】根据已知条件直接化简求解即可.
【详解】因为向量满足，且，
所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，
其中，则，
故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为，
故选：C
8．【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图中，O为AB中点，
（极化恒等式）,
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取中点，则由极化恒等式知，
，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.
由图，可知最大时，P在D点，即，此时，
最小时，P在O点，即，此时.
综上所得，取值范围为.
故选D.
9．【答案】ABC
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，，则或，故A是假命题；
对于B，若，，有可能出现，故B是假命题；
对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题；
对于D，，，则或，
若，则由得，
若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题.
故选：ABC.
10．【答案】BD
【详解】先平移变换后伸缩变换：先把上所有点向左平移个单位长度得到，又因为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线，故B正确.
先伸缩变换后平移变换：因为，所以先将上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，又因为： ，则再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，即可得到，故D正确.
【方法总结】三角函数图象变换主要包括平移变换、周期变换、振幅变换．
平移变换（左右）：将图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到（）；
周期变换：若，则将上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到；若，则将上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到；
振幅变换：若，则将上各点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到；若，则将上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到.
11．【答案】ABD
【详解】对于A：因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，故A正确；
对于B：若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，故B正确；
对于C：若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，故C错误；
对于D：若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，故D正确；
故选ABD.
【关键点拨】向量与三角形四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
12．【答案】1800
【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解.
【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有名学生，可得，
解得人，即该校共有1800名学生.
故答案为：1800.
13．【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算即得.
【详解】向量，由，得，
所以.
故答案为：
14．【答案】5
【分析】将条件代入余弦定理，即可求解.
【详解】因为，，，
又由余弦定理有：，
即且，解得：.
故答案为：5.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用数量积的坐标运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量的坐标运算，得到，再根据模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，
所以.
16．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）取的中点，根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证；
（2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵，为中点，∴且，
∵且，
∴且，
∴四边形MECB是平行四边形，
∴.又平面PAB，平面，
∴平面；
（2）∵平面，平面，
∴，
又,
故，
∴，
∵，平面,
∴平面，又平面，
∴平面平面．
17．【答案】(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.
(2)最小值为，相应的.
【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；
（2）根据余弦函数的图象可求出结果.
【详解】（1），
函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）当时，，
所以当，即时，取得最小值.
18．【答案】(1)0.016，290人
(2)
(3)49.5
【分析】（1）根据频率和为1求的值，进而估计人数；
（2）根据题意结合平均数的公式运算求解即可；
（3）分析可知上四分位数在之间，结合百分位数的定义运算求解.
【详解】（1）由题意可知每组的频率依次为：，
因为，解得，
估计每天户外锻炼时长在的人数为（人）.
（2）由题意知，平均时长为
（min），
所以估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长为.
（3）因为，
且，
可知高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数，即分位数在之间，
设高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的分位数为，
则，解得，
所以高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数是49.5.
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及二倍角公式求解即可；选②，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得；选③，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.
（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式，结合正切函数的性质求出范围.
【详解】（1）选①：在中，由及正弦定理得，
则，又，于是，
而，解得，又，则，
所以；
选②：在中，，且，
则，即，
由正弦定理得，又，
于是，而，则，又，
所以；
选③：在中，由及正弦定理得，
得，即，
由余弦定理得，又，
所以；
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知，即，由为锐角三角形，
得，即，于是，
所以，即的取值范围为，
所以.
一、单选题（本大题共8小题）
1．等于（ ）
A．1B．C．D．
2．若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（ ）
A．iB．C．1D．
3．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acsA，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
7．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．把上所有的点向右平移个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
13．已知向量，若，则m= ．
14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量．
(1)求；
(2)求．
16．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
17．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
18．某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在的人数；
(2)用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数.
19．在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
①
②
③
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再结合共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意，，则，
所以.
故选：C
3．【答案】C
【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为.
【详解】
正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为.
故选C.
4．【答案】A
【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求.
【详解】
由题意可得，
由正弦定理可得，可得，
在上的投影为，
所以在上的投影向量为，
即在上的投影向量为.
故选A．
5．【答案】D
【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.
【详解】解：因为c＝2acsA，
由余弦定理可得，将a＝3，b＝5代入整理得，
所以.
故选：D.
6．【答案】C
【分析】根据已知条件直接化简求解即可.
【详解】因为向量满足，且，
所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，
其中，则，
故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为，
故选：C
8．【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图中，O为AB中点，
（极化恒等式）,
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取中点，则由极化恒等式知，
，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.
由图，可知最大时，P在D点，即，此时，
最小时，P在O点，即，此时.
综上所得，取值范围为.
故选D.
9．【答案】ABC
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，，则或，故A是假命题；
对于B，若，，有可能出现，故B是假命题；
对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题；
对于D，，，则或，
若，则由得，
若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题.
故选：ABC.
10．【答案】BD
【详解】先平移变换后伸缩变换：先把上所有点向左平移个单位长度得到，又因为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线，故B正确.
先伸缩变换后平移变换：因为，所以先将上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，又因为： ，则再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，即可得到，故D正确.
【方法总结】三角函数图象变换主要包括平移变换、周期变换、振幅变换．
平移变换（左右）：将图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到（）；
周期变换：若，则将上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到；若，则将上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到；
振幅变换：若，则将上各点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到；若，则将上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到.
11．【答案】ABD
【详解】对于A：因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，故A正确；
对于B：若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，故B正确；
对于C：若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，故C错误；
对于D：若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，故D正确；
故选ABD.
【关键点拨】向量与三角形四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
12．【答案】1800
【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解.
【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有名学生，可得，
解得人，即该校共有1800名学生.
故答案为：1800.
13．【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算即得.
【详解】向量，由，得，
所以.
故答案为：
14．【答案】5
【分析】将条件代入余弦定理，即可求解.
【详解】因为，，，
又由余弦定理有：，
即且，解得：.
故答案为：5.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用数量积的坐标运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量的坐标运算，得到，再根据模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，
所以.
16．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）取的中点，根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证；
（2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵，为中点，∴且，
∵且，
∴且，
∴四边形MECB是平行四边形，
∴.又平面PAB，平面，
∴平面；
（2）∵平面，平面，
∴，
又,
故，
∴，
∵，平面,
∴平面，又平面，
∴平面平面．
17．【答案】(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.
(2)最小值为，相应的.
【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；
（2）根据余弦函数的图象可求出结果.
【详解】（1），
函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）当时，，
所以当，即时，取得最小值.
18．【答案】(1)0.016，290人
(2)
(3)49.5
【分析】（1）根据频率和为1求的值，进而估计人数；
（2）根据题意结合平均数的公式运算求解即可；
（3）分析可知上四分位数在之间，结合百分位数的定义运算求解.
【详解】（1）由题意可知每组的频率依次为：，
因为，解得，
估计每天户外锻炼时长在的人数为（人）.
（2）由题意知，平均时长为
（min），
所以估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长为.
（3）因为，
且，
可知高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数，即分位数在之间，
设高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的分位数为，
则，解得，
所以高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数是49.5.
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及二倍角公式求解即可；选②，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得；选③，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.
（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式，结合正切函数的性质求出范围.
【详解】（1）选①：在中，由及正弦定理得，
则，又，于是，
而，解得，又，则，
所以；
选②：在中，，且，
则，即，
由正弦定理得，又，
于是，而，则，又，
所以；
选③：在中，由及正弦定理得，
得，即，
由余弦定理得，又，
所以；
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知，即，由为锐角三角形，
得，即，于是，
所以，即的取值范围为，
所以.
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