安徽省五河第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考检测数学试题（含答案）

这是一份安徽省五河第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考检测数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点在函数的图象上，当时，可能等于（ ）
A．或B．或C．或D．0
2．已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．1或B．1C．3D．或3
3．已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是
① 圆心在直线上；
② 的取值范围是；
③ 圆半径的最小值为；
④ 存在定点，使得圆恒过点.
A．①②③B．①③④C．②③D．①④
4．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A．的最小值为0
B．的最大值为7
C．两个圆心所在直线的斜率为
D．两个圆的公共弦所在直线的方程为
10．已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆恒相交
C．y轴被圆C截得的弦长为
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为
11．若直线与圆交于两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为
B．圆的半径为3
C．当时，直线的倾斜角为
D．的取值范围是
三、填空题
12．若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ．
13．若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则
14．已知实数，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知圆过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程.
16．已知直线过定点．
(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；
(2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
17．已知两直线和的交点为．
(1)若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
(2)若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程．
18．已知圆经过三点．
(1)求圆的方程．
(2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
19．已知直线，圆.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围.
【详解】表示点Mx1,y1与点所成直线的斜率k，
又Mx1,y1是在部分图象上的动点，
如图，当接近时，
当为0,1时，，则，只有C满足.
故选：C.
2．C
【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解.
【详解】因为是圆的方程，
所以，解得或，
又因为圆的圆心为，
且圆关于直线对称，所以，
即，解得，（舍）或，
故选：C.
3．D
【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为对称轴为线段的中垂线，
所以圆心在直线上，故①正确；
因为二次函数与轴有两点不同交点，
所以，即，故②错误；
不妨设在的左边，则，
设圆方程为 ，则
，解得，
，
因为，所以即，故③错误；
由上得圆方程为，
即，恒过点，故④正确.
故选D.
【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.
4．C
【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
有，
故,当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为
故选:
5．B
【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.
【详解】设，，由中点坐标公式得，
所以，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
6．C
【分析】由题意作图，表示出边界线，根据所过点以及切线性质，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
当直线位于直线时，交点一定有两个，
由，则，易知，
设直线，由图可知为切线，则，解得，
由图可得：.
故选：C.
7．B
【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】圆心为，半径为，
若圆上有四个点到直线的距离等于1，
所以到直线的距离小于，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
8．D
【分析】分析出圆M与圆N的公共弦AB，满足，当的坐标为1,0时，，利用余弦定理计算可得,由余弦函数的单调性确定最大，即为最大，计算即可得出结果.
【详解】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为1,0时，，
在中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为.
故选：D
9．BC
【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D.
【详解】圆，圆心，半径.
圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径，
两圆圆心距，，，
A选项错误，B选项正确.
两个圆心所在直线的斜率， C选项正确.
又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
对于B，由，则圆心，半径，
，故B正确；
对于C，令，整理圆的方程为，解得，
轴被圆截得的弦长为，故C正确；
对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，
由直线的斜率，直线的斜率，且，
则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】将圆化成标准方程，算出圆心坐标与半径大小，从而判断出A、B两项的正误；当时，求出直线的斜率，得到倾斜角，从而判断出C项的正误；求出圆心到直线的距离的表达式，结合，求出的取值范围，进而判断出的取值范围，可得D项的正误．
【详解】对于A、B，圆的标准方程为：，圆心，半径，故A项不正确，B正确；
对于C，当时，直线的方程为，所以直线的斜率，倾斜角，故C项正确；
对于D，圆心，到直线的距离，
由,，得，所以，故D项错误．
故选：BC．
12．
【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解.
【详解】因为，
所以
又因为，
且，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
13．或
【分析】由圆的方程可确定圆心与半径，再结合三角函数值可得圆的半径，进而可得参数
【详解】

如图所示，
圆化为标准方程为，
圆心C0,1，半径，
过点与圆相切的两条直线的夹角为，
所以或，
又点到圆心0,1的距离为，则或，
即或，
解得或，
故答案为：或.
14．
【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.
【详解】根据题意，设直线：，设点
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据点，可知线段中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线，可知点坐标，进而可得圆方程；
（2）当切线斜率不存在时直线方程为成立，当切线斜率存在时，设点斜式，根据点到直线距离，即可得解.
【详解】（1）由已知，，
则其中点为，，
所以中垂线的斜率，
则中垂线为，所以点在上，
又点在直线，
联立，解得，即，
半径，
所以圆的方程为；
（2）由（1）得，，
当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切；
当过点的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，
解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，切线方程为或.
16．(1)或或
(2)最小值为24，直线
【分析】（1）求出直线过的定点，分，和两种情况，当，时，设的方程为，根据点在直线上求出直线方程，若，求出直线方程，若，求出直线方程，当，根据直线过原点，且过点求出直线的方程；
（2）求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出的最小值时的值.
【详解】（1）直线，则直线过定点，
①当，时，设的方程为．
点在直线上，．
若，则，
直线的方程为，
若，则，，
直线的方程为；
②当时，直线过原点，且过点，
直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或或；
（2）令，则；令，则，
直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为24，此时，
直线．
17．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意联立方程求得交点，根据直线平行求得斜率，可得答案；
（2）设出圆的标准方程，利用点的坐标以及切线的性质，建立方程组，可得答案.
【详解】（1）联立方程组，解得，
所以直线和的交点．
因为直线与直线平行，故可设直线．
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为．
（2）设所求圆的标准方程为，
直线的斜率为，故直线CP的斜率为，
由题意可得，解得，
故所求圆的标准方程为．
18．(1)
(2)直线经过定点，该定点的坐标为
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.
【详解】（1）设圆W的方程为，
则，解得
则圆W的方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，
则，整理得．
又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则．
，
则，
整理得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，故舍去．
所以，
故直线的方程为，即，经过定点．
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．

【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)点Q恒在直线上，理由见解析.
【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
【详解】（1）证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
（3）设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
C
B
C
B
D
BC
BCD
题号
11









答案
BC