2024-2025学年安徽省淮北市高三上册第二次月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省淮北市高三上册第二次月考数学质量检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质. 现有四个函数:①y=x|sinx|，②y=x2csx，③y=x·ex;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．①②③④B．①③②④C．②①③④D．③②①④
6．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
8．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．已知，若，则组成集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C．的定义域为，则的定义域为
D．不等式解集为，则
11．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数在0,+∞上单调递减，则的值为 ．
13．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
14．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时， 求函数的值域．
16．如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角C：
(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．
17．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是侧棱上的动点．
（1）若为的中点，证明平面；
（2）求证：不论点在何位置，都有；
（3）在（1）的条件下，求二面角的大小．
18．已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx关于直线对称.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由题意集合，，，则，.
故选：A.
2．【正确答案】A
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应点的坐标为.
故选：A
3．【正确答案】A
【详解】，，，所以．
故选：A.
4．【正确答案】B
【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可.
【详解】因为，，所以在上恒成立，
只需在上的最大值小于，
因为在上单调递减，在上单调递增，
其中，故在上的最大值为，所以，
所以是的充要条件，因为，但，
所以是的一个必要不充分条件，B正确；
其他两个选项也既不是充分也不必要条件.
故选：B
5．【正确答案】D
【详解】①由且定义域为R，故为奇函数且，第三个图象符合要求；
②由且定义域为R，故为偶函数，第二个图象符合要求；
③对于在上恒正且，第一个图象符合要求；
④对于，由对勾函数的性质，在上恒正且图象关于原点对称，第四个图象符合要求.
综上，序号安排为③②①④.
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】当时，，得成立，
因为函数恰有两个零点，
所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当时，只需满足，解得.
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，
当时，，即的值域为，
若，则，即的值域为，而，符合要求；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
综上所述，.
故选：B.
8．【正确答案】C
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.
【详解】由于，所以的定义域为，
所以，
，
，
所以是奇函数，
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由得，
即，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故选C.
9．【正确答案】BD
【详解】对于A，，即，
当且仅当，即，时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，，所以，则，
所以，
当时，取最小值，故C错误；
对于D，由得，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：BD.
10．【正确答案】ACD
【分析】对于A选项，考虑时，，满足要求，即可判断A项；对于B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B项；对于C选项，由，可求定义域判断C项；对于D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D项.
【详解】对于A选项，，又因为，
当时，，满足，当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，所以A错误；
对于B选项，当时，不等式为恒成立，
可得对一切实数恒成立，
当时，由对一切实数恒成立，
可得，解得，
综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，
所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，
所以B正确；
对于C选项，因为的定义域为，所以，解得，
所以的定义域为，所以C错误；
对于D选项，不等式解集为，
则且为方程的两个根，所以，
则，所以，所以D错误.
故选ACD.
11．【正确答案】AD
【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即可得.
【详解】对于A项，由为奇函数，得，即，
因此函数的图象关于点对称，所以A正确；
对于B项，由，得，则，
又因为，于是，
令，得，即，
则，，因此函数是周期函数，周期为4，
由，得，所以B错误；
对于C项，显然函数是周期为4的周期函数，
所以，，
则，所以C错误；
对于D项，，，则，所以D正确.
故选AD.
【思路导引】函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称；
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．【正确答案】5
【详解】由题可知，，解得或，
当时，幂函数在0,+∞上单调递增，不合题意，
当时，幂函数在0,+∞上单调递减，符合题意，
故5．
13．【正确答案】
【详解】，
由题意知，在(0,+∞)上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述
故
14．【正确答案】
【分析】
将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案.
【详解】
由题意，，设，则问题可转化为.
因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.
设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.
故答案为.
本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结.
15．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
【详解】（1）设，，，
所以，即，
解得，
所以，解得，
即；
（2）由（1）得，当，，
所以函数可转化为，，
当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即函数的值域为.
16．【正确答案】(1);
(2).
【详解】（1）解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，所以，
又因为，所以，所以，所以．
（2）在中，由余弦定理可得，
解得舍去，
在中，，
由正弦定理可得，
即，
解得，
所以．
17．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】（1）如图，连接与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以是中点，
因为是侧棱上的动点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，，，
所以，，
同理可得，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（3）如图，以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，，
设二面角的大小为，
则，
结合图像易知，二面角的大小为.
18．【正确答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.
【详解】（1）切点为,
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得.
（2）由题意可知，则Fx的定义域为，
，，
当时，，则Fx在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则Fx在上单调递减，在上单调递增,
综上所述，当时，Fx在上单调递减；
当时，Fx在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
由
，
可知曲线y=gx关于直线对称．
19．【正确答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意得定义域为，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得，当时，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），
若证成立，只需证成立即可，
定义域为，，
又在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上有唯一实根，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，.
（3）若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，
在上单调递增，
，，
，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到的取值范围是.