安徽省县中联盟2024-2025学年高二上学期12月联考（B卷）数学试卷(含答案)

这是一份安徽省县中联盟2024-2025学年高二上学期12月联考（B卷）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的( )
A.第42项B.第41项C.第9项D.第8项
2．过点且与直线垂直的直线方程是( )
A.B.C.D.
3．已知函数的图像在点处的切线方程为，则( )
A.8B.3C.4D.-4
4．已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点P的轨迹与圆的位置关系是( )
A.相交B.外切C.外离D.内切
6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.单调减区间是B.-2是极大值点
C.没有最大值D.最多能有四个零点
7．在直三棱柱中，，，若点P满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，若直线l交C于A，B两点，且，点O关于l的对称点为D，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，则( )
A.
B.是的一个极值点
C.在上的平均变化率为1
D.在处的瞬时变化率为2
10．已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点P是椭圆C上的任意一点，若点P到点的距离与点P到定直线的距离之比为定值，则( )
A.椭圆C的标准方程为
B.
C.
D.若直线与椭圆C相交于M，N两点，则
11．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，M为内部一动点（不包含边界），过M分别作平面、平面、平面的垂线，垂足分别为P，Q，R.则( )
A.直线与直线是异面直线
B.为定值
C.三棱锥的外接球表面积的最小值为
D.当时，平面与平面的夹角为
三、填空题
12．在等比数列中，若，则____________.
13．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为___________.
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，若对任意实数x，，且当时，，则不等式的解集为___________.
四、解答题
15．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点且与圆C相切的直线方程.
16．已知数列的前n项和为，，且数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
17．已知函数的两个极值点分别为2，3.
(1)求a，b的值，并求出函数的极值；
(2)已知，求证：不等式在上恒成立.
18．如图，在四棱柱中，底面为矩形，，平面平面，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，二面角的正弦值为，求.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为A，B，且.
(1)求E的方程；
(2)若点P为直线上的一点，直线交E于另外一点M（不同于点B）.
①记，的面积分别为，，且，求点P的坐标；
②若直线交E于另外一点N，点G是直线上的一点，且，其中O为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知数列1，，，，3，…，，…，
即，，
，，，…，，…，
则数列的第n项为，
令，解得，
所以9是该数列的第41项.
故选：B.
2．答案：A
解析：设与直线垂直的直线方程是，
代入点，得，
解得，所以所求的直线方程是.
故选：A
3．答案：C
解析：因为切线方程为，
可知当时，，且切线斜率为3，
即，，所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：在中取得，
故，
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：，得，
则，
整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为，半径，
两圆的圆心距为，
满足，
所以两个圆外离.
故选：C.
6．答案：D
解析：由图可知：当或时，，
当或时，，
因此函数在和上单调递减，
在和上单调递增，
∴函数在上不单调，A错误；-2不是极值点，B错误；
函数在处取得极大值，
当不小于函数在，上的所有函数值时，
函数有最大值，C错误；
当，，，
且函数在，上的图像都与x轴相交时，
函数在，，，上各有1个零点，共有4个零点，
因此最多能有四个零点，D正确.
故选：D.
7．答案：B
解析：分别取，中点D，，则，
即平面，连接，
因为，所以，以D为原点，
分别以，，所在直线为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，，
，，
则，，
因为，
，，
易知平面的一个法向量是，
设直线与平面所成角为，，
则，
所以时，，
即的最大值是.
故选：B.
8．答案：C
解析：由A，B两点在抛物线上，
所以可以设点，，
则，
由直线l交C于A，B两点，故直线l不与x轴平行或重合，
故可设直线l解析式为，
联立，
得，，
所以，解得，
所以直线l与x轴的交点为，
由O，D关于直线l对称，
所以，且D点不与O点重合，
故可知D的轨迹方程为：（不经过原点），
所以，，即.
故选：C.
9．答案：BD
解析：利用复合函数的求导法则，
由，所以A错误；
因为，当时，
，
且时，，时，
，故为极大值点，所以B正确；
由在上的平均变化率为
，所以C错误；
因为，当时，
，所以D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对于A，由题意，
所以，则，
所以椭圆C的标准方程为，A正确；
对于BC，设，依题意得，又，
所以，
所以恒成立，
可得且，且，
显然，解得，，B错误，C正确；
对于D，由，
解得，或，
所以交点为，，
则，D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：对于B，设，，，由题意，
即，
所以，
即为定值，故B正确；
对于C，设三棱锥的外接球的半径为R，
由题意可知，，两两垂直，
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
即R的最小值为，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故C正确；
对于D，如图，
以O为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，，，
因为，
所以，此时，为的中心，
，，，
因为，，，，平面，
所以平面，
故即为平面的一个法向量，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，故D错误；
由D可知，当M为的中心时，，
则，
所以，所以直线与直线共面，故A错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：由，
得，所以.
故答案为：.
13．答案：2
解析：设，，
可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，
且直线，可得，
，，即有，
即，
，，故双曲线C的离心率为.
故答案为：2
14．答案：
解析：令，则，
由题意可得当时，，
即在上单调递增，
由，
则，
即，故为偶函数，
故在上单调递减，
则不等式
可化为，
即，即，
则有，即，
即，
即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，
解得，，
因此圆C的圆心，半径，
所以圆C的标准方程为；
(2)点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即，
由，解得，
因此方程为，
所以经过点且与圆C相切的直线方程为或.
16．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)当时，.
因为时，，满足上式，
所以数列的通项公式为；
(2)，
所以
.
因为，所以，
又数列是递增数列，所以，
所以.
17．答案：(1)，，极大值为，极小值为
(2)证明见解析
解析：(1)因为，
所以，
因为函数的两个极值点分别为2，3，
所以
解得
此时，
.
所以当时，，
当时，，当时，，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
满足的两个极值点分别为2，3，极大值点为2，极小值点为3，
所以函数的极大值为，极小值为.
(2)证明：等价于，
即，
令，则，
若，则恒成立，
在上单调递增，
所以；
若，令，得，
当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，也是最小值.
令，，则，
所以在上单调递减，
.
综上所述，在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
18．答案：(1)证明见详解
(2)1
解析：(1)连接，与交于点G，连接、，
所以点G为的中点；
在中，因为G，F分别为、中点，
所以，且，
因为E为的中点，所以，且，
所以，且，
因此四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
(2)取中点H，连接，，
所以，又，则；
因为，点F是的中点，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
平面，所以，，
因此，以点F为坐标原点，以，，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
设，由，，得；
则，，，，
所以，，；
设平面的法向量，
由，得，
令，解得，
则平面的一个法向量；
设平面的法向量，
由，得，
令，解得，
则平面的一个法向量；
设二面角的平面角为，
则，
由题意知，则，
即，解得，即.
19．答案：(1)
(2)①或
②是，2
解析：(1)由题意知
解得，，
所以E的方程为.
(2)由题意可知，，，设
因为直线交E于另外一点M（不同于点B），
所以，又双曲线的渐近线为，
故，解得，
所以直线，即，
由，
消y得，
所以，
解得，
所以.
①因为，，
又，所以，
解得或，即点P的坐标为或.
②直线，即，
由，
消y得，，
即，所以，
解得，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，
解得，
所以直线恒过定点，
又，即，又点A是的中点，所以，
所以是定值，且定值为2.