苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程综合测试(含解析)

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苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程综合测试(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两平行线x＋y－1＝0与2x＋2y－7＝0之间的距离是(　　)A．3eq \r(2)　 B．eq \f(3,2)eq \r(2)　C．eq \f(5,4)eq \r(2)　 D．62．已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)A．2x＋3y－7＝0　 B．3x＋2y－8＝0　C．2x－3y－1＝0　 D．3x－2y－4＝03．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　)A．1　 B．－1　C．－2或－1　 D．－2或14．直线xcosα＋eq \r(3)y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))　 B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))　 D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))5．若直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋9y＋9＝0平行，则实数n的值为(　　)A．3　 B．－3　C．1或3　 D．3或－36．若直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))　C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))　 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))7．已知直线l：x－y－1＝0，直线l1：2x－y－2＝0.若直线l2与直线l1关于直线l对称，则直线l2的方程是(　　)A．x－2y＋1＝0　 B．x－2y－1＝0　C．x＋y－1＝0　 D．x＋2y－1＝08．数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．”后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)A．(－4,0)　 B．(0，－4)　C．(4,0)　 D．(4,0)或(－4,0)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有(　　)A．截距相等的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示与y轴平行的直线C．经过点P(1,1)且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝010．若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　)A．－3　 B．1　C．－1　 D．311．光线自点(2,4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5,0)，则反射光线还经过(　　)A．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，\f(9,8)))　 B．点(14,1)　C．点(13,2)　 D．点(13,1)12．下列m的值中，不能使三条直线4x－y＝4，mx－y＝0和2x＋3my＝4构成三角形的有(　　)A．4　 B．－6　C．－1　 D．eq \f(2,3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题第一个空2分、第二个空3分．13．若直线l的倾斜角α满足4sinα＝3cosα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是________________.14．无论实数k取何值，直线(k＋2)x＋(k－3)y＋k－3＝0都恒过定点，则该定点的坐标为________.15．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和直线l2：x－3y＋10＝0截得的线段的中点恰好为P，则直线l的方程为________，此时被截得的线段长为________.16．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，且点Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)有下列3个条件：①l′与l平行且过点(－1,3)；②l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4；③l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．从中任选1个，补充到下面的问题中并解答．问题：已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，且________，求直线l′的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知△ABC的顶点A(－1,5)，B(－1，－1)，C(3,7)．(1)求边BC上的高AD所在直线的方程；(2)求边BC上的中线AM所在直线的方程；(3)求△ABC的面积．19．(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(2)若直线l与x轴、y轴分别交于点M，N，求△MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程．20．(12分)已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD是直角梯形(点A，B，C，D按逆时针方向排列)．21．(12分)在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(1,1)，直线l：x＋y＋1＝0.(1)在直线l上找一点C使得AC＋BC最小，并求这个最小值和点C的坐标；(2)在直线l上找一点D使得|AD－BD|最大，并求这个最大值和点D的坐标．22．(12分)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0，直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq \f(7\r(5),10).(1)求实数a的值．(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq \f(1,2)；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5)？若能，求点P的坐标，若不能，请说明理由．参考答案与解析1．C　提示　方程x＋y－1＝0可化为2x＋2y－2＝0，所以两平行线之间的距离为eq \f(|－2－－7|,\r(22＋22))＝eq \f(5,4)eq \r(2)　2.D　提示　由题意知kl＝－eq \f(1,－\f(2,3))＝eq \f(3,2)，故直线l的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x－2)，即3x－2y－4＝0　3.D　提示　由题意知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝eq \f(a＋2,a).因此eq \f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1　4.B　提示　直线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)cosα∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).设直线的倾斜角为θ，则－eq \f(\r(3),3)≤tanθ≤eq \f(\r(3),3)，所以0≤θ≤eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)≤θ＜π　5.B　提示　由题意知eq \f(1,n)＝eq \f(n,9)，解得n＝±3.当n＝3时，3x＋9y＋9＝0，即x＋3y＋3＝0，两直线重合(舍去)　6.B　提示　将两直线方程组成方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))因为直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点在第一象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq \f(1,6)＜k＜eq \f(1,2)　7.B　提示　因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知点(0，－2)在l1上，设其关于l的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)－\f(y－2,2)－1＝0，,\f(y＋2,x－0)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以点(1,0)，(－1，－1)在l2上，从而可得l2的方程为x－2y－1＝0　8.A　提示　设C(m，n)．由重心坐标公式得△ABC的重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋m,3)，\f(4＋n,3)))，代入欧拉线的方程得eq \f(2＋m,3)－eq \f(4＋n,3)＋2＝0，整理得m－n＋4＝0　①.易得边AB的中点为(1,2)，kAB＝eq \f(4－0,0－2)＝－2，所以边AB的垂直平分线的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以△ABC的外心为(－1,1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②.联立①②解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，所以顶点C的坐标是(－4,0)　9.BD　提示　对于A，若直线过原点，横、纵截距都为0，则不能用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，与y轴平行的直线方程为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设P(x，y)是经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2∥P1P可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD　10.AB　提示　若两直线垂直，则a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0，解得a＝－3或a＝1.故选AB　11.AD　提示　由题意得k＝tan135°＝－1.设点(2,4)关于直线l：y＝－x＋1的对称点为(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－4,m－2)＝1，,\f(n＋4,2)＝－\f(m＋2,2)＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝－1，))所以反射光线所在直线的方程为y＝eq \f(0－－1,5－－3)·(x－5)＝eq \f(1,8)(x－5)．当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y＝eq \f(9,8).故反射光线过点(13,1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，\f(9,8)))　12.ACD　提示　①当l1：4x－y＝4平行于l2：mx－y＝0时，m＝4；②当l1：4x－y＝4平行于l3：2x＋3my＝4时，m＝－eq \f(1,6)；③当l2：mx－y＝0平行于l3：2x＋3my＝4时，3m2＋2＝0，无解；④当三条直线经过同一个点时，把直线l1与l2的交点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，\f(4m,4－m)))代入2x＋3my＝4中得eq \f(8,4－m)＋eq \f(12m2,4－m)－4＝0，解得m＝－1或eq \f(2,3).综上，满足条件的m为4或－eq \f(1,6)或－1或eq \f(2,3)　13.3x－4y－9＝0　提示　因为4sinα＝3cosα，所以tanα＝eq \f(3,4)，从而直线l的方程为y＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－9＝0　14.(0，－1)　提示　方程(k＋2)x＋(k－3)y＋k－3＝0可化为k(x＋y＋1)＋2x－3y－3＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1))　15.x＋4y－4＝0　2eq \r(17)　提示　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程中得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.易求得两交点分别为(－4,2)，(4,0)，所以截得的线段长为2eq \r(17)　16.eq \f(9,4)　提示　因为动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0.又点Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，所以eq \r(4－12＋0＋m2)＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2.又a＞0，c＞0，所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2\r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))＝eq \f(9,4)，当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)，即c＝eq \f(4,3)，a＝eq \f(2,3)时等号成立　17.选择条件①：因为直线l：3x＋4y－12＝0，所以kl＝－eq \f(3,4).因为l′∥l，所以kl′＝kl＝－eq \f(3,4)，从而直线l′：y＝－eq \f(3,4)(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0　选择条件②：因为l′⊥l，所以kl′＝eq \f(4,3).设l′在x轴上的截距为b，则l′在y轴上的截距为－eq \f(4,3)b.由题意可知S＝eq \f(1,2)|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))＝4，解得b＝±eq \r(6)，所以直线l′：y＝eq \f(4,3)(x＋eq \r(6))或y＝eq \f(4,3)(x－eq \r(6))　选择条件③：因为l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，所以l′与l关于原点对称．任取点(x0，y0)在l上，设其在l′上的对称点为(x，y)，所以x＝－x0，y＝－y0，从而－3x－4y－12＝0，因此直线l′：3x＋4y＋12＝0　18.(1)因为kBC＝eq \f(7－－1,3－－1)＝2，所以kAD＝－eq \f(1,2)，从而边BC上的高AD所在直线的方程为y－5＝－eq \f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－9＝0　(2)因为M是BC的中点，所以M(1,3)，从而边BC上的中线AM所在直线的方程为eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,－1－1)，即y＝－x＋4　(3)由题意知边BC所在直线的方程为eq \f(y－－1,7－－1)＝eq \f(x－－1,3－－1)，即2x－y＋1＝0，BC＝eq \r(3＋12＋7＋12)＝4eq \r(5)，所以点A到直线BC的距离h＝eq \f(|2×－1－5＋1|,\r(22＋1))＝eq \f(6,5)eq \r(5)，从而△ABC的面积＝eq \f(1,2)BC·h＝12　19.(1)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a＋2.因为l不过第二象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋1≥0，,a＋2≤0，))解得a≤－2，从而a的取值范围为(－∞，－2]　(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a＋2，所以OM＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,a＋1)))，ON＝|a＋2|，从而S△MON＝eq \f(1,2)OM·ON＝eq \f(1,2)eq \f(a＋22,|a＋1|)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a＋1|)＋|a＋1|＋2))≥2，当且仅当|a＋1|＝eq \f(1,|a＋1|)，即a＝0时等号成立，因此△MON面积的最小值为2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0　(第20题)20．设所求点D的坐标为(x，y)．如图，由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直．①若BC⊥CD，AD⊥CD.因为kBC＝0，所以直线CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，所以eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)．②若AD⊥AB，AD⊥CD.因为kAD＝eq \f(y－3,x)，kCD＝eq \f(y,x－3)，又AD⊥AB，所以eq \f(y－3,x)·3＝－1.又AB∥CD，所以eq \f(y,x－3)＝3.联立上述两式解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,5)，,y＝\f(9,5)，))此时AD与BC不平行，故所求点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5)))　21.(1)设点A关于直线l的对称点为A′(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝1，,\f(x＋2,2)＋\f(y＋3,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－3，))即A′(－4，－3)，所以直线A′B的方程为eq \f(y＋3,1＋3)＝eq \f(x＋4,1＋4)，即4x－5y＋1＝0.当C为直线4x－5y＋1＝0与直线x＋y＋1＝0的交点时，AC＋BC最小．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－5y＋1＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(1,3)，))所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3)))，从而AC＋BC的最小值为A′B＝eq \r(1＋42＋1＋32)＝eq \r(41)　(2)由题意知直线AB的方程为eq \f(y－3,1－3)＝eq \f(x－2,1－2)，即2x－y－1＝0.当D为直线2x－y－1＝0与直线x＋y＋1＝0的交点时，|AD－BD|最大．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以D(0，－1)，从而|AD－BD|的最大值为AB＝eq \r(2－12＋3－12)＝eq \r(5)　22.(1)直线l2的方程可化为2x－y－eq \f(1,2)＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq \f(7\r(5),10)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq \f(7\r(5),10)，亦即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2).又a＞0，解得a＝3　(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)·eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，解得c＝eq \f(13,2)或eq \f(11,6)，所以2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))·eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)；联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满足三个条件