高中苏教版 (2019)4.3 等比数列教学设计

这是一份高中苏教版 (2019)4.3 等比数列教学设计，共9页。教案主要包含了等比数列的概念，等比数列中的基本计算，等比数列的判定与证明等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值．
导语
同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列．
一、等比数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，…；
③－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现eq \f(92,9)＝9，eq \f(93,92)＝9，eq \f(94,93)＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)，…；对于③eq \f(\f(1,4),－\f(1,2))＝－eq \f(1,2)，…；也有相同的取值规律．
知识梳理
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
(1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…；
(2)10,10,10,10,10，…；
(3)eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4，…；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 (1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为eq \f(2,3)；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
跟踪训练1 (多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有( )
A．数列1,2,6,18，…
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，已知eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a3,a2)＝2
C．常数列a，a，…，a，…
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N*
答案 ABC
解析 A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
C，当a＝0时，不是等比数列；
D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列．
二、等比数列中的基本计算
例2 (教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：
(1)4，a,9；
(2)1，b，c，－8.
解 (1)根据题意，得eq \f(a,4)＝eq \f(9,a)，
所以a2＝36，所以a＝6或a＝－6.
(2)根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,1)＝\f(c,b)，,\f(c,b)＝\f(－8,c)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝4，))所以b＝－2，c＝4.
反思感悟 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列．
特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2＝ab，若G2＝ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数．
跟踪训练2 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则eq \f(a,b)的值为( )
A．±eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．±1
答案 D
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
所以a＝eq \f(1＋3,2)＝2，b＝±eq \r(1×4)＝±2，
所以eq \f(a,b)的值为±1.
三、等比数列的判定与证明
例3 (教材144页例3改编)(1)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列，则aeq \\al(2,2)＝a1·a3是否成立？
(2)若在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，有aeq \\al(2,2)＝a1·a3，那么数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))一定是等比数列吗？
解 (1)因为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列，所以eq \f(a2,a1)＝eq \f(a3,a2)，即aeq \\al(2,2)＝a1·a3成立．
(2)不一定，比如数列0,0,0，…或1,2,4,5,6,7…，虽然满足aeq \\al(2,2)＝a1·a3，但是它们不是等比数列．
反思感悟 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性．
跟踪训练3 判断下列数列是否为等比数列：
(1)an＝2n；(2)an＝n2；(3)an＝3×2n；(4)an＝2n＋1.
解 由等比数列的定义可知，eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列．
(1)eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n,2n－1)＝2，是等比数列；
(2)eq \f(an,an－1)＝eq \f(n2,n－12)，不是常数，故不是等比数列；
(3)eq \f(an,an－1)＝eq \f(3×2n,3×2n－1)＝2，是等比数列；
(4)eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n＋1,2n－1＋1)，不是常数，故不是等比数列．
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)根据等比数列的定义进行简单的运算．
(3)等比数列的判定与证明．
2．方法归纳：定义法，方程(组)思想．
3．常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列．
1．下列数列是等比数列的是( )
A．10,100,1 000,1 000 0
B．4,6,9,12
C．－1,0,1,2
D．lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
答案 A
解析 A满足等比数列的定义，其余均不满足．
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
答案 AB
解析 ∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6，故选AB.
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D．22,42,62,82，…成等比数列
答案 AC
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，故不是等比数列，D错误．
4．若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝__________.
答案 2
解析 由题意a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以有(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2.
课时对点练
1．下列数列是等比数列的是( )
A．1,11,111,1111 B．1，－2,4，－8
C．1,5,25，－125 D．22,32,42,52
答案 B
解析 由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是．
2．若2，a,6成等比数列，则a等于( )
A．1 B．±2eq \r(3) C．2 D．－2
答案 B
解析 由等比中项的性质可得，
a2＝2×6＝12，
所以a＝±2eq \r(3).
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
答案 C
解析 根据等比数列的定义eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a2,a1)＝\f(a3,a2)，,\f(a3,a2)＝\f(a4,a3)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a2,8)＝\f(a3,a2)，,\f(a3,a2)＝\f(64,a3)，))解得a3＝32.
4．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B．54 C．36 D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
5．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))满足bn＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an))，则“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列”是“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列，公比为q，则eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an)))＝|q|，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列，充分性成立，
若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列，公比q＝2，
若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为：2,4,8，－16，－32，…，满足eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an)))＝2，但eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))不是等比数列，
必要性不成立，
∴“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列”是“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列”的充分不必要条件．
6．(多选)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4 B．4 C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 AB
解析 由题意a2＝eq \f(1,4)，a3＝eq \f(1,2)，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7＝8，a8＝16，设a4与a8的等比中项为x，则有x2＝16，所以x＝±4.
7．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 由eq \f(a3,a2)＝q，所以a3＝a2q＝2q，由eq \f(a4,a3)＝q，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8．在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为eq \r(2)的等比数列，则cs B＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 由sin A，sin B，sin C成公比为eq \r(2)的等比数列，即sin B＝eq \r(2)sin A，sin C＝2sin A，
由正弦定理可知b＝eq \r(2)a，c＝2a，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2×a×2a)＝eq \f(3,4).
9．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式，判断它是否为等比数列．
(1)an＝3n；(2)an＝5×32－n；(3)an＝n－1；(4)an＝3.
解 由等比数列的定义可知，eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列．
(1)eq \f(an,an－1)＝eq \f(3n,3n－1)，不是常数，故不是等比数列；
(2)eq \f(an,an－1)＝eq \f(5×32－n,5×32－n－1)＝eq \f(1,3)，是等比数列；
(3)eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n－1－1)＝eq \f(n－1,n)，不是常数，故不是等比数列；
(4)eq \f(an,an－1)＝eq \f(3,3)＝1，是等比数列．
10．已知在等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a2＝1，求a1＋a3的取值范围．
解 设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q，由等比数列的定义可知a1＝eq \f(1,q)，a3＝q，
所以a1＋a3＝q＋eq \f(1,q)，
当q>0时，a1＋a3＝q＋eq \f(1,q)≥2eq \r(q·\f(1,q))＝2，当且仅当q＝1时，等号成立；
当q<0时，a1＋a3＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－q＋\f(1,－q)))≤－2eq \r(－q·\f(1,－q))＝－2，当且仅当q＝－1时，等号成立；
综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
则由b2＝ac，可得eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)，所以a，b，c成等比数列，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．
12．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则eq \f(a1＋a2,a5)等于( )
A．18 B．20 C．22 D．24
答案 D
解析 设这根木棰总长为1, 每天截取其一半，剩下的部分记为an，
则{an}构成a1＝eq \f(1,2)，公比q＝eq \f(1,2)的等比数列，
所以a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(1,4)，…，a5＝eq \f(1,25)，
所以eq \f(a1＋a2,a5)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,4),\f(1,32))＝24.
13．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前三项，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的第四项是( )
A．8 B.eq \f(1,2) C．8或2 D．8或eq \f(1,2)
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为eq \f(1,2).
14．在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.
答案 －4
解析 由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋2))2＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋3))，解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件．
当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件．
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及eq \f(bsin B,c)的值．
解 (1)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2) ，∴∠A＝60°.
(2)在△ABC中，由正弦定理得：sin B＝eq \f(bsin A,a)，
∵b2＝ac，∠A＝60°，
∴eq \f(bsin B,c)＝eq \f(b2sin A,ac)＝sin A＝eq \f(\r(3),2).